1、山东省实验中学2015届高三第三次诊断考试数学（理）试题2014.12说明：试题分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共5页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.【试卷综析】整份试卷的阅读量、运算量和思维量都比较大，难度适中，区分度明显。客观地说试题的设计、考查的要求和复习的导向都比较好，对高中数学知识、方法和思想的整体把握，综合训练使得相当一部学生的数学教与学的成效得到应有的体现，对教师和学生的教与学的积极性有一定的提高.使学生不仅学好概念、定理、法则等内容，而且能领悟其中的数学思想方法，并通过不断积累，逐渐内
2、化为自己的经验，并自觉地应用于数学学习和问题解决的过程之中，不断提升数学学习的效益.第I卷（共50分）【题文】一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）【题文】1.已知A. B.C. D. 【知识点】集合 A1【答案】【解析】B 解析：由题意可知所以B为正确选项.【思路点拨】根据集合的运算可求出正确结果.【题文】2.幂函数的图象过点，则A. B.1C. D.2【知识点】幂函数的概念 B8【答案】【解析】C 解析：根据幂函数的概念可知所以代入点可得，所以【思路点拨】根据函数的概念可求出字母的值，再进行计算.【题文】3.已知向量，若垂直，则m的值为A. B.
3、C. D. 【知识点】向量的数量积 F3【答案】【解析】B 解析：由题意可知向量的坐标为，因为垂直，所以数量积等于零，得，B正确.【思路点拨】根据向量的坐标运算，再求向量的数量积可得结果.【题文】4.圆被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为A.1：2B.1：3C.1：4D.1：5【知识点】直线与圆相交的性质 H4【答案】【解析】B 解析：圆的圆心为（1，0）到直线xy=0的距离为=弦长为2=根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形，较短弧长为21=，较长的弧长为2=较短弧长与较长弧长之比为1：3故选B【思路点拨】根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到
4、直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得【题文】5.等比数列，前三项和，则公比q的值为A.1B. C. D. 【知识点】数列的概念；积分的运算. B13 D1【答案】【解析】D 解析：由题意可计算， ，D为正确选项.【思路点拨】根据积分和运算可求出前三项和，再由等比数列前n项和公式可求出公比.【题文】6.复数（是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【知识点】复数的运算 L4【答案】【解析】A 解析：可将复数化为，所以复数不可能在第一象限，所以选A【思路点
5、拨】由复数的运算可以化简，再根据实部与虚部判定所在象限.【题文】7.直线与双曲线有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是A. B. C. D. 【知识点】直线与双曲线的位置关系 H8【答案】【解析】D 解析：由题意可知当双曲线的渐近线斜率不等于时，即时，即有两个不同的交点，所以，所以正确选项为D.【思路点拨】由直线与双曲线的位置关系可求渐近线的斜率，再求出离心率.【题文】8.若函数（）在R上既是奇函数，又是减函数，则的图象是【知识点】函数的图象 B8【答案】【解析】A 解析：由（）在R上既是奇函数，又是减函数，所以,再由对数的图象可知A正确.【思路点拨】根据函数图象的移动可直接找出图象.【题
6、文】9.设偶函数的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，,的值为A. B. C. D. 【知识点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【答案】【解析】C 解析：因为f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，KML=90，KL=1，所以A=，T=2，因为T=，所以=，函数是偶函数，0，所以 =，函数的解析式为：f（x）=sin（x+），所以故选：C【思路点拨】通过函数的图象，利用KL以及KML=90求出求出A，然后函数的周期，确定，利用函数是偶函数求出，即可求解【题文】10.已知函数，把函数的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的
7、前n项的和A.45B.55C.90D.110【知识点】数列的性质 B9 D2【答案】【解析】C 解析：当0x2时，有2x20，则f（x）=f（x2）+1=2x2，当2x4时，有0x22，则f（x）=f（x2）+1=2x4+1，当4x6时，有2x24，则f（x）=f（x2）+1=2x6+2，当4x8时，有4x16，则f（x）=f（x2）+1=2x-8+3，以此类推，当2nx2n+2（其中nN）时，则f（x）=f（x2）+1=2x2n2+n，即方程在（2，4，（4，6，（2n，2n+2上的根依次为0，2，4，6，8综上所述方程的偶数零点按从小到大的顺序0，2，4，6，8其通项公式为：an=2n2，
8、前n项的和为,C正确.【思路点拨】根据函数的性质判断出零点，再由数列的特点求出通项与数列的和.第II卷（非选择题，共100分）【题文】二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡指定横线上.）【题文】11.由所围成的封闭图形的面积为_.【知识点】定积分的概念 B13【答案】【解析】 解析：因为函数在上的积分为，所以围成的封闭图形的面积等于四边形的面积减去曲线与x轴围成的面积.【思路点拨】根据定积分与图形的关系可分割求出面积.【题文】12.已知不等式组表示的平面区域的面积为9，点在所给平面区域内，则的最大值为_.【知识点】简单的线性规划 E5【答案】【解析】 解析：由
9、平面区域的面积为9，可知，由图可知目标函数的最大值在点处取得，所以【思路点拨】利用线性规划的概念求出取得最大值时的点，再代入目标函数求出最大值.【题文】13.已知离心率为的双曲线C：的左焦点与抛物线的焦点重合，则实数_.【知识点】圆锥曲线的概念 H6 H7【答案】【解析】-12 解析：由题意可得所以双曲线的左焦点为，再根据抛物线的概念可知【思路点拨】根据双曲线与抛物线的概念即可建立关系式，再求出m的值.【题文】14.公差为d，各项均为正整数的等差数列中，若的最小值等于_.【知识点】等差数列的概念 D2【答案】【解析】11 解析：因为各项均为正整数，所以d也为正整数，只能为24，12，8，6，4
10、，3，2，1那么对应的n为1，3，4，5，7，9，13，25，所以的最小值为11【思路点拨】根据等差数列的定义可对关系式进行分析，在相应的值中求出最小值.【题文】15.定义函数那么下列命题中正确的序号是_.（把所有可能的图的序号都填上）.函数为偶函数；函数为周期函数，且任何非零实数均为其周期；方程有两个不同的根.【知识点】函数的性质 B4【答案】【解析】 解析：由题意可知成立，所以函数为偶函数，正确，不是周期函数，所以错误，=0时，为有理数，所以在此处没有根，所以只有一个根，错误【思路点拨】根据函数性质的定义，对各项进行分析，判定正误.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分.【题文】16
11、.（本题满分12分）已知向量，函数.（I）求函数的单调递增区间；（II）如果的三边满足，且边b所对的角为，试求的范围及函数的值域.【知识点】平面向量数量积；三角函数中的恒等变换；正弦函数的单调性 C4 F3【答案】【解析】(I) (II) （，1+ 解析：（1）向量=（sin，cos）=（cos，cos），函数f（x）=sin（）+，令2k2k+，解得故函数f（x）的单调递增区间为（2）由已知b2=ac，cosx=，cosx1，0xsin（）1，sin（）+1+f（x）的值域为（，1+【思路点拨】（1）利用向量的数量积公式及辅助角公式，化简函数，即可求得函数f（x）的单调递增区间；（2）通过b
12、2=ac，利用余弦定理求出cosx的范围，然后求出x的范围，进而可求三角函数的值域【题文】17. （本题满分12分）如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA、OB分别相交于点M、N，若.（I）建立适当基底，利用，把表示出（即求的解析式）；（II）设数列的首项，前项和满足：，求数列通项公式.【知识点】数列递推式；平面向量共线（平行）的坐标表示 D1 F2【答案】【解析】(I) f（x）=（0x1）(II) an=解析：（1），xy（1+x）=0，即函数的解析式为：f（x）=（0x1）；（2）当n2时，由Sn=f（Sn1）=，则又S1=a1=1，那么数列是首项和公差都为1的等差
13、数列，则，即Sn=，n2时，an=SnSn1=；n=1时，a1=1故an=【思路点拨】（1）用分别表示，再利用向量共线的条件，即可得到结论；（2）当n2时，由Sn=f（Sn1）=，则，可得数列是首项和公差都为1的等差数列，由此即可求得数列的通项【题文】18. （本题满分12分）已知直线.（I）若以点为圆心的圆与直线相切于点P，且点P在轴上，求该圆的方程；（II）若直线关于轴对称的直线与抛物线C：相切，求直线的方程和抛物线C的方程. 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系 H4 H8【答案】【解析】(I) （x2）2+（y+1）2=2(II) 当时，直线l的方程为，抛物线C的方程
14、为x2=2y，当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=2y解析：（1）解法1：依题意得点P的坐标为（m，0）以点M（2，1）为圆心的圆与直线l相切与点P，MPl，解得m=1点P的坐标为（1，0）设所求圆的半径r，则r2=|PM|2=1+1=2，所求圆的方程为（x2）2+（y+1）2=2（2）解法1：将直线方程y=x+m中的y换成y，可得直线l的方程为y=xm由得mx2+x+m=0，（m0）=14m2，直线l与抛物线相切=0，解得当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=2y，当时，直线l的方程为，抛物线C的方程为x2=2y【思路点拨】（1）：确定点P的坐标，进而可求圆的半径，从而可求圆的
15、方程；（2）：设出直线为l的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想；【题文】19. （本题满分12分）已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列.（I）求数列的通项公式；（II）设数列的前项和为，求证：.【知识点】数列的求和；等差数列的性质 D2 D4【答案】【解析】(I) an=4n+2(II)略 解析：（）数列an是等差数列，且S5=70，5a1+10d=70，又a2，a7，a22成等比数列，解得a1=6，d=4，或a1=14，d=0（舍），an=4n+2（）由（）得=2n2+4n，=，=Tn+1Tn=，数列Tn是递增数列
16、，【思路点拨】（）由已知条件推导出5a1+10d=70，由此求出首项和公差，从而能求出数列an的通项公式（）由（）得=2n2+4n，从而得到=，由此利用裂项求和法能求出数列的前n项和Tn的值【题文】20. （本题满分13分）已知函数.（I）求函数的单调区间；（II）若函数在区间上不是单调函数，求实数t的取值范围；（III）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【知识点】导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；导数研究函数的极值 B9 B12【答案】【解析】(I) f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+）上单调递减(II) t1 (III) a2 解析：（1）因为f（x）=，x0，则，当0
17、x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值（2）因为函数f（x）在区间（t，t+）（其中t0）上存在极值，所以，解得t1（3）不等式f（x）恒成立，即为a恒成立，记g（x）=，所以=令h（x）=xlnx，则，x1，h（x）0，h（x）在1，+）上单调递增，h（x）min=h（1）=10，从而g（x）0，故g（x）在1，+）上也单调递增，所以g（x）min=g（1）=2，所以a2【思路点拨】因为f（x）=，x0，则，利用函数的单调性和函数f（x）在区间（t，t+）（其中t0）上存在极值，能求出实数a的取
18、值范围不等式f（x）恒成立，即为a恒成立，构造函数g（x）=，利用导数知识能求出实数k的取值范围【题文】21. （本题满分14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的.如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点.椭圆的长轴长是4，椭圆短轴长是1，点分别是椭圆的左焦点与右焦点.（I）求椭圆的方程；（II）过的直线交椭圆于点M，N，求面积的最大值.【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质 H5 H8【答案】【解析】(I) 椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；(II) 解析：（）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c由已知a=2，b=m，椭
19、圆C1与椭圆C2的离心率相等，即，即，即bm=b2=an=1，b=m=1，椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；（）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：联立：，得，即，=192m244（1+4m2）=16m2440，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，F2MN的高即为点F2到直线的距离F2MN的面积，等号成立当且仅当，即时，即F2MN的面积的最大值为【思路点拨】（）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c，易知a=2，b=m，n=，根据椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，可得关于a，b，m，n的方程，解出即可；（）由题意可设直线的方程为：与椭圆C2的方程联立消掉x得y的二次方程，则0，由弦长公式可表示出|MN|，由点到直线的距离公式可表示出F2MN的高h，则F2MN的面积S=，变形后运用基本不等式即可求得S的最大值；
