1、第7节动能和动能定理1物体由于运动而具有的能量叫做动能，表达式为Ekmv2。动能是标量，具有相对性。2力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化，这个结论叫动能定理，表达式为WEk2Ek1。3如果物体同时受到几个力的共同作用，则W为合力做的功，它等于各个力做功的代数和。4动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功，既适用于直线运动，也适用于曲线运动。一、动能 1大小：Ekmv2。2单位：国际单位制单位为焦耳，1 J1Nm1 kgm2/s2。3标矢性：动能是标量，只有大小，没有方向，只有正值，没有负值。二、 动能定理1推导：如图771所示，物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F
2、的作用下发生了一段位移l，速度由v1增加到v2，此过程力F做的功为W。图7712内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。3表达式：WEk2Ek1。4适用范围：既适用于恒力做功也适用于变力做功；既适用于直线运动也适用于曲线运动。1自主思考判一判(1)速度大的物体动能也大。()(2)某物体的速度加倍，它的动能也加倍。()(3)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化。()(4)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零。()(5)物体的动能增加，合外力做正功。()2合作探究议一议(1)同步卫星绕地球做匀速圆周运动，在卫星的运动过程中，其速度是否变化？其动能是否变化？图772
3、提示：速度变化，动能不变。卫星做匀速圆周运动时，其速度方向不断变化，由于速度是矢量，所以速度是变化的；运动时其速度大小不变，所以动能大小不变，由于动能是标量，所以动能是不变的。(2)在同一高度以相同的速率将手中的小球以上抛、下抛、平抛三种不同方式抛出，落地时速度、动能是否相同？提示：重力做功相同，动能改变相同，末动能、末速度大小相同，但末速度方向不同。对动能、动能定理的理解1动能的特征(1)动能是状态量：与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应。(2)具有相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能就不同，一般以地面为参考系。2对动能定理的理解(1)表达式WEk中的W为外力对物体做的总功。
4、(2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量。1(全国丙卷)一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动，在时间间隔t内位移为s，动能变为原来的9倍。该质点的加速度为()A.B.C. D.解析：选A质点在时间t内的平均速度v，设时间t内的初、末速度分别为v1和v2，则v，故。由题意知：mv229mv12，则v23v1，进而得出2v1。质点的加速度a。故选项A正确。2(多选)一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水
5、平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中的速度变化和动能变化分别是()Av10 m/s Bv0CEk1 J DEk0解析：选AD小球速度变化vv2v15 m/s(5 m/s)10 m/s，小球动能的变化量Ekmv22mv120。故A、D正确。3下列关于运动物体的合外力做功和动能、速度变化的关系，正确的是()A物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化B若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零C物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化D物体的动能不变，所受的合外力必定为零解析：选C力是改变物体速度的原因，物体做变速运动时，合外力一定不为零，
6、但合外力不为零时，做功可能为零，动能可能不变，A、B错误。物体的合外力做功，它的动能一定变化，速度也一定变化，C正确。物体的动能不变，所受合外力做功一定为零，但合外力不一定为零，D错误。动能定理的应用1应用动能定理解题的基本思路2动能定理的优越性牛顿运动定律动能定理适用条件只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动均适用应用方法要考虑运动过程的每一个细节只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能运算方法矢量运算代数运算相同点确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析结论应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错典例如图77
7、3所示，用一块长L11.0 m的木板在墙和桌面间架设斜面，桌子高H0.8 m，长L21.5 m。斜面与水平桌面的倾角可在060间调节后固定。将质量m0.2 kg的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数10.05，物块与桌面间的动摩擦因数为2，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失。(重力加速度取g10 m/s2；最大静摩擦力等于滑动摩擦力)图773(1)求角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；(用正切值表示)(2)当角增大到37时，物块恰能停在桌面边缘，求物块与桌面间的动摩擦因数2；(已知sin 370.6，cos 370.8)(3)继续增大角，发现53时物块落地点与墙面的距离最大，
8、求此最大距离xm。思路点拨解答本题时应注意以下两点(1)物块要沿斜面下滑的临界条件是mgsin 1mgcos 。(2)物块平抛的水平距离与桌子长度之和为落地点到墙面的最大距离。解析(1)为使小物块下滑，应有mgsin 1mgcos 满足的条件tan 0.05即当arctan 0.05时物块恰好从斜面开始下滑。(2)克服摩擦力做功Wf1mgL1cos 2mg(L2L1 cos )由动能定理得mgL1sin Wf0代入数据得20.8。(3)由动能定理得mgL1sin Wfmv2代入数据得v1 m/s由平抛运动规律得Hgt2，x1vt解得t0.4 sx10.4 mxmx1L21.9 m。答案(1)a
9、rctan 0.05(2)0.8(3)1.9 m动能定理与牛顿运动定律在解题时的选择方法(1)动能定理与牛顿运动定律是解决力学问题的两种重要方法，同一个问题，用动能定理一般要比用牛顿运动定律解决起来更简便。(2)通常情况下，若问题涉及时间、加速度或过程的细节，要用牛顿运动定律解决；而曲线运动、变力做功或多过程等问题，一般要用动能定理解决。1一辆汽车以v16 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行s13.6 m，如果以v28 m/s的速度行驶，在同样的路面上急刹车后滑行的距离s2应为()A6.4 m B5.6 mC7.2 m D10.8 m解析：选A解法一：急刹车后，汽车做匀减速运动，且两
10、种情况下加速度大小是相同的，由运动学公式可得v122as1，v222as2，两式相比得。故汽车滑行距离s2s123.6 m6.4 m。解法二：急刹车后，水平方向上汽车只受摩擦阻力的作用，且两种情况下摩擦力大小是相同的，汽车的末速度皆为零。Fs10mv12，Fs20mv22，式除以式得。故汽车滑行距离s2s123.6 m6.4 m。2.一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图774所示。则力F所做的功为()图774Amglcos BFlsin Cmgl(1cos )DFl(1sin )解析：选C小球的运动过程是缓慢的，因而小球任何时刻
11、均可看作是平衡状态，力F的大小在不断变化，F做功是变力做功。小球上升过程只有重力mg和F这两个力做功，由动能定理得mg(llcos )WF0，所以WFmgl(1cos )。3一架喷气式飞机，质量为m5103 kg，起飞过程中从静止开始滑行的路程为x5.3102 m时(做匀加速直线运动)，达到起飞速度v60 m/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重力的k倍(k0.02)，求飞机受到的牵引力。解析：以飞机为研究对象，它受到重力、支持力、牵引力和阻力作用，这四个力做的功分别为WG0，W支0，W牵Fx，W阻kmgx。由动能定理得Fxkmgxmv20解得FkmgN1.8104 N。答案：1.8104
12、 N应用动能定理求解多过程问题典例如图775所示，ABCD为一竖直平面内的轨道，其中BC水平，A点比BC高出10 m，BC长1 m，AB和CD轨道光滑。一质量为1 kg的物体，从A点以4 m/s的速度开始运动，经过BC后滑到高出C点10.3 m的D点速度为0。求：(取g10 m/s2)图775(1)物体与BC轨道间的动摩擦因数。(2)物体第5次经过B点时的速度。(3)物体最后停止的位置(距B点多少米)。思路点拨(1)重力做功与物体运动路径无关，其大小为mgh，但应注意做功的正、负。(2)物体第5次经过B点时在水平面BC上的路径为4sBC。解析(1)由动能定理得mg(hH)mgsBC0mv12，
13、解得0.5。(2)物体第5次经过B点时，物体在BC上滑动了4次，由动能定理得mgHmg4sBCmv22mv12，解得v24 m/s13.3 m/s。(3)分析整个过程，由动能定理得mgHmgs0mv12，解得s21.6 m。所以物体在轨道上来回运动了10次后，还有1.6 m，故距B点的距离为2 m1.6 m0.4 m。答案(1)0.5(2)13.3 m/s(3)距B点0.4 m物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程(如加速、减速的过程)，此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则可使问题简化。 1(多选)如图776所示为一滑草场。某条滑道由上下两段高均
14、为h，与水平面倾角分别为45和37的滑道组成，滑草车与草地之间的动摩擦因数为。质量为m的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端(不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失，sin 370.6，cos 370.8)。则()图776A动摩擦因数B载人滑草车最大速度为C载人滑草车克服摩擦力做功为mghD载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为g解析：选AB由题意知，上、下两段斜坡的长分别为s1、s2由动能定理(或功能关系)知：2mghmgs1cos 45mgs2cos 370解得动摩擦因数，选项A正确；载人滑草车在上下两段的加速度分别为a1g(sin 45cos 4
15、5)g，a2g(sin 37cos 37)g，则在下落h时的速度最大，由动能定理知：mghmg s1cos 45mv2解得v，选项B正确，D错误；载人滑草车克服摩擦力做的功与重力做功相等，即W2mgh，选项C错误。2从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k(kEk2，即甲物体获得的动能比乙大，C正确，D错误。5物体在恒定阻力作用下，以某初速度在水平面上沿直线滑行直到停止。以a、Ek、x和t分别表示物体运动的加速度大小、动能、位移的大小和运动的时间。则以下各图像中，能正确反映这一过程的是()解析：选C物体在恒定阻力作用下运动，其加速度随时间不变，随位移不变，选项A、
16、B错误；由动能定理，fxEkEk0，解得EkEk0fx，选项C正确、D错误。6.质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图2所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为()图2A.mv02mg(sx) B.mv02mgxCmgs Dmg(sx)解析：选A由动能定理得Wmg(sx)0mv02，Wmv02mg(sx)。7.物体在合外力作用下做直线运动的v t图像如图3所示。下列表述正确的是()图3A在01 s内，合外力做正功B在02 s内，合外力总是做负功C在12
17、s内，合外力不做功D在03 s内，合外力总是做正功解析：选A由v t图知01 s内，v增加，动能增加，由动能定理可知合外力做正功，A对。12 s内v减小，动能减小，合外力做负功，可见B、C、D错。8.如图4所示，木板长为l，木板的A端放一质量为m的小物体，物体与板间的动摩擦因数为。开始时木板水平，在绕O点缓慢转过一个小角度的过程中，若物体始终保持与板相对静止。对于这个过程中各力做功的情况，下列说法中正确的是()图4A摩擦力对物体所做的功为mglsin (1cos )B弹力对物体所做的功为mglsin cos C木板对物体所做的功为mglsin D合力对物体所做的功为mglcos 解析：选C重力
18、是恒力，可直接用功的计算公式，则WGmgh；摩擦力虽是变力，但因摩擦力方向上物体没有发生位移，所以Wf0；因木块缓慢运动，所以合力F合0，则W合0；因支持力FN为变力，不能直接用公式求它做的功，由动能定理W合Ek知，WGWN0，所以WNWGmghmglsin 。9质量为m的小球用长度为L的轻绳系住，在竖直平面内做圆周运动，运动过程中小球受空气阻力作用。已知小球经过最低点时轻绳受的拉力为7mg，经过半周小球恰好能通过最高点，则此过程中小球克服空气阻力做的功为()A. B.C. DmgL解析：选C小球经过最低点时，有FNmg，解得v1。小球恰好能通过最高点，有mg，解得v2。根据动能定理mg2LW
19、fmv22mv12，解得小球克服空气阻力做功WfmgL，所以C对。10.如图5所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为()图5A.mgR B.mgRC.mgR D.mgR解析：选C在Q点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有FNmgm，FN2mg，联立解得v，下落过程中重力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可得mgRWfmv2，解得WfmgR，所以克服摩擦力做功mgR，C正确。11右端连有光滑弧形槽的水
20、平面AB长为L1.5 m，如图6所示。一个质量为m0.5 kg的木块在F1.5 N的水平拉力作用下，从水平面上A端由静止开始向右运动，木块到达B端时撤去拉力F。木块与水平面间的动摩擦因数0.2，取g10 m/s2。求：图6(1)木块沿弧形槽上升的最大高度；(2)木块沿弧形槽滑回B端后，在水平面上滑动的距离。解析：(1)设木块沿弧形槽上升的最大高度为h，对木块由A端运动到最大高度的过程，由动能定理得FLmgLmgh0解得h0.15 m。(2)设木块沿弧形槽滑回B端后在水平面上滑行的距离为s，由动能定理得mghmgs0解得s0.75 m。答案：(1)0.15 m(2)0.75 m12我国海军歼15
21、舰载机已经在“辽宁”号航母上成功着舰和起飞。现将飞机起飞模型简化为飞机先在水平甲板上做匀加速直线运动，再在倾角为15的斜面甲板上以最大功率做加速运动，最后从甲板飞出的速度为360 km/h，如图7所示。若飞机的质量为18吨，甲板AB180 m，BC50 m。(飞机长度忽略当成质点，不计一切摩擦和空气阻力，取sin 150.3，g10 m/s2)图7(1)如果要求到达甲板B点的速度至少为离开斜面甲板速度的60%，则飞机在水平甲板上运动时的牵引力至少为多少才能使飞机起飞？(2)如果到达B点时飞机刚好达到最大功率，则从飞机开始运动到飞离甲板共需多少时间？解析：(1)由题意知m18 t1.8104 kg，vC360 km/h100 m/s，则B点的速度至少为v0.6vC60 m/s，由动能定理得，FxABmv2，解得F1.8105 N。(2)到达B点时的功率PFv1.08107 W，飞机从A运动到B的时间t1，飞机从B到C的运动过程由动能定理，得Pt2mgsin xBCmvC2mv2，tt1t2，联立解得t11.58 s。答案：(1)1.8105 N(2)11.58 s
