1、广西北流市实验中学2020届高三数学下学期开学考试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合，则图中阴影部分表示（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先计算出集合，然后根据阴影部分表示的含义，可得结果.【详解】由题可知：或根据阴影部分表示的是：属于集合但不属于集合的元素，所以图中阴影部分表示故选：A【点睛】本题考查集合的应用，关键在于理解阴影部分的含义，考验观察能力，属基础题.2.设为虚数单位，设复数，则的虚部为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算化简式子可得，则
2、可得，进一步可得结果.【详解】由题可知：所以，所以的虚部为故选：A【点睛】本题考查复数的运算以及共轭复数，还考查了复数的虚部的理解，牢记概念，属基础题.3.已知曲线：，则“曲线是双曲线”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】“是双曲线”充分必要条件为，即，所以选C.【点睛】判断充分条件和必要条件的方法，设“若p，则q”为原命题，那么：原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；原命题与逆命题都为假时，p是q的既不
3、充分也不必要条件4.若，则下列一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数，幂函数单调性比较大小，简单判断，可得结果.【详解】因为，由，但并不清楚之间大小关系所以大小关系不明确，则A,B不对因为，由，所以有在单调递增，所以，故C正确，D错误故选：C【点睛】本题考查利用函数单调性比较式子大小，比较式子大小常用方法：作差，作商，函数单调性，不等式，放缩等，审清题意，属基础题.5.中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走1260里，又第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子的第三日走的里数为（ ）A. 240B. 120C
4、. 100D. 90【答案】B【解析】【分析】将题目转化成数学语言，得到等差数列关系，求出首项和公差，再求第三日走的里数，即数列的第三项.【详解】由题可知：因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为，其公差为，前项和为.则解得，所以故选：B【点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于简单题.6.如图，将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】如图所示，图1中，连接与相交于点，可得图2中，是等边三角形，平面，利用三棱锥的体积，即可得出详解】解：如图所示，图1中，连接与
5、相交于点，则，图2中，是等边三角形，平面，平面，平面，三棱锥的体积故选：【点睛】本题考查了正方形与等边三角形的性质、线面垂直的判定定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7.执行如图所示的程序框图，若输，则输出的结果为（ ）A. 7B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】执行程序框图，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；结束循环，输出 ，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当
6、型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8.已知实数，则点落在区域内的概率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：画出可行域（如图所示），故选D考点：几何概型及其概率的计算9.若函数同时满足以下三个性质；的最小正周期为；对任意的，都有；在上是减函数， 则的解析式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：根据题意，函数应满足：的最小正周期为；对任意的，都有，用替换式中的可得，即函数的图象关于点
7、对称；在上是减函数；对于A,的周期为，不符合，故不满足题意；对于B，不符合，故不满足题意；对于C，不符合，故不满足题意；对于D，符合，满足题意,故选D.考点：正弦与余弦函数的性质.10.已知数列满足：，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知得，由此利用累加法能求出数列an的通项公式详解】数列满足：，当n2时，ana1+a2a1+a3a2+anan1 =，故选C.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意累加法的运用，是基础题.11.已知函数，若在区间内，曲线与轴有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】
8、依据题意等价转化为函数与图象在有3个公共点即可，采用数形结合，根据图象，计算与相切的临界情况，简单判断可得结果.【详解】当时，显然不符合题意；当时，如图所示：当时，函数与图象必有1个公共点；则当时，只需函数与图象有2个公共点即可，设过原点且与曲线的切线为，切点为，则的斜率，得，即，故且，所以综上所述：故选：A【点睛】本题考查根据函数零点求参数的问题，熟悉等价转化的方法，函数零点个数等价相应方程根的个数等价两个函数图象交点的个数，属中档题.12.已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且为三角形的内心，若成立，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：设的内切圆
9、半径为，由双曲线的定义得，由题意得，故，故选D考点：1双曲线的简单性质；2圆锥曲线的定义、性质与方程【思路点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值，设的内切圆半径为，由，用的边长和表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13.若向量与共线且方向相同，则_【答案】2【解析】【分析】向量共线可得坐标分量之间的关系式，从而求得n.【详解】因为向量与共线，所以；由两者方向相同可得.【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示，熟记共线向量的充要条件是求解关键.14.名同学参加班长和文娱委员的竞选，每个职务只需人，其中甲不能当文娱委员，则共有_种
10、不同结果（用数字作答）【答案】9【解析】【分析】分两种情况：其一，甲当选班长，3种情况；其二，甲没有当选职位，有6种方法，共9种.【详解】当甲当选班长时，则文娱委员就从剩下的3个人中选择，有3种选法；当甲没有当选时，两个职位从剩下的3个人中选择，并排好职位，有种方法；共9种方法.故答案为9.【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：（1）元素相邻的排列问题“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题“除序法”；（4）带有“含”、“不含”、“至多”、“至少”的排列组合问题间接法15.设为坐标原点，抛物线的准线为，焦点为，过且斜率为的直线与抛物线交于两点，且，若直
11、线与相交与，则_【答案】【解析】【分析】依题意可得过且斜率为的直线方程，并与抛物线联立，解得，求解直线方程，然后得点，最后计算，可得结果.【详解】过且斜率为的直线方程为，与抛物线联立得，则直线方程为与的交点，因此故答案为：【点睛】本题考查直线与抛物线的应用，本题重在于计算，属基础题.16.三棱锥的底面是等腰三角形，侧面是等边三角形且与底面垂直，则该三棱锥的外接球表面积为_【答案】【解析】由题意，由余弦定理由正弦定理的外接圆半径等边三角形的高为3，设球的半径为球心到底面的距离为，则所以，所以该三棱锥的外接球的表面积为故答案为20【点评】本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，其中确
12、定球的半径是是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程17.在中，点在边上，已知，（1）求；（2）若，求【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）首先可根据同角三角函数关系求得以及，然后根据三角形内角和为求得，最后根据即可得出结果，（2）首先可根据正弦定理求出，然后根据（1）求出，最后借助余弦定理即可得出结果.【详解】（1）在中，则，故，因为，所以（2）在中，由正弦定理得，在中，结合余弦定理有，化简得，解得或，故或【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理解三角形，考查同角三角函数关系、诱导公式以及两角和的余弦公式，考查化归与转化思想，考查计算能力，
13、体现了综合性，是中档题.18.高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：每周移动支付次数1次2次3次4次5次6次及以上男10873215女5464630合计1512137845（）把每周使用移动支付超过3次用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？（）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户.求抽取的4名用户中，既有男“移动支付
14、达人”又有女“移动支付达人”的概率；为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为，求的分布列及数学期望.附公式及表如下：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（）在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关.（）见解析.【解析】分析：（）由题意完成列联表，结合列联表计算可得.所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关.（）视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取
15、1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为，女“移动支付达人”的概率为.有对立事件公式可得满足题意的概率值为.记抽出的男“移动支付达人”人数为，则.由题意得，由二项分布公式首先求得Y的分布列，然后利用均值和方差的性质可得X的分布列，计算可得，得的数学期望元.详解：（）由表格数据可得列联表如下：非移动支付活跃用户移动支付活跃用户合计男252045女154055合计4060100将列联表中的数据代入公式计算得： .所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关.（）视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为，
16、女“移动支付达人”的概率为.抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为.记抽出的男“移动支付达人”人数为，则.由题意得，；.所以的分布列为01234所以的分布列为03006009001200由，得的数学期望元.点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列，分布列的性质，独立性检验及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.如图，在空间几何体中，平面平面，与都是边长为2的等边三角形，点在平面上的射影在的平分线上，已知和平面所成角为.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【详解】（1）证明：由题意知，与都是边长为2
17、的等边三角形，取中点，连接，则，.又平面平面，平面，作平面，那么，根据题意，点落在上，和平面所成角为，.，四边形是平行四边形，平面，平面，平面.（2）由已知，两两互相垂直，故以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，.，设平面的一个法向量为.，.令，取，又平面的一个法向量，.又由图知，所求二面角的平面角为锐角， 二面角的余弦值为.20.平面上两定点，动点满（为常数）（）说明动点的轨迹（不需要求出轨迹方程）；（）当时，动点的轨迹为曲线，过的直线与交于两点，已知点，证明：【答案】（）答案见解析；（）证明见解析.【解析】【分析】（1）对进行分类，再利用线段和椭圆的概念即可得到结果；（2）由题意
18、可知，可得动点的轨迹方程为，当与轴重合和当与轴垂直时时，易得结论成立；当与轴不重合也不垂直时，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到韦达定理，再直线，的斜率之和为0，即可证明结果.【详解】（）由题意：当时，动点不表示任何图形； 当时，动点的轨迹是线段；当时，动点的轨迹是椭圆（）当时，动点的轨迹方程为：当与轴重合时，当与轴垂直时，直线恰好平分，则当与轴不重合也不垂直时，设直线方程为代入椭圆方程可得设，则，直线，的斜率之和为因为所以，故直线，的倾斜角互补即【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题.21.设函数（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；（2）求证
19、：【答案】（）；（）证明见解析.【解析】【分析】（1）不等式等价于，令，求导再对分类讨论即得解；（2）即证明恒成立，再利用第（1）问的结论即得证.【详解】解：（1）由题知当时，不等式恒成立，因为，故必有在上恒成立此时，该不等式等价于，令，则，故与同号因，当时，在递减，显然不符合故必当时，即时，在上恒成立，即在递增，满足故（2）等价于不等式，两边取对数得，即证明恒成立由（1）知当，时有恒成立故令，即得恒成立即成立【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.选考题：共10分请考生在第2223题中任选一题作答如果多做
20、，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线，直线（为参数）（）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值【答案】（）（为参数），直线的普通方程为；（）.【解析】【分析】（）设，得椭圆的参数方程，消去参数即得直线的普通方程；（）设，可得该点到直线的距离，又由，可得结果.【详解】（）根据题意，曲线，其参数方程为为参数），直线，则；（）设曲线上任意一点的坐标为，该点到直线的距离，其中为锐角，且；则，当时，取得最大值，且其最大值为【点睛】本题考查参数方程的应用，涉及普通方程与参数方程的转化，第（2）问关键在于，审清题意，细心计算，属
21、于基础题选修4-5：不等式选讲23.已知函数（）当时，求不等式的解集；（）若时，恒成立，求的最小值【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）作出函数的图象，结合函数图象可得不等式的解集为（）先化简式子可得，然后画出及的图象，可得的最小值为.【详解】（）法一：当，即解不等式时，作出图象：结合图象及的单调性，又所以的解集为法二：等价于或或解得或或，即（）方法一：由得由，所以，画出及的图象根据图象性质可得，综上故的最小值为方法二：，要使得恒成立，即则必有最小值因此在必单调递减或为常函数，在必单调递增或为常函数即且即又，故在上是增函数，即解恒成立综上故的最小值为【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，解题关键是正确去掉绝对值号，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
