1、考点规范练31等差数列及其前n项和基础巩固1.若an为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于()A.-2B.-12C.12D.22.在等差数列an中,已知a1=2,a2+a3+a4=24,则a4+a5+a6等于()A.38B.39C.41D.423.已知等差数列an的前n项和为Sn,a2=1,且Sn-1,Sn+1,Sn+1(n2)成等差数列,则()A.an=2Sn-nnB.an=2Sn+nnC.an=2Sn-1nD.an=2Sn+1n4.已知数列an是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,an的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是()A.18B.19C
2、.20D.215.设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n=()A.5B.6C.7D.86.(2021山西吕梁一模)已知Sn为等差数列an的前n项和,满足a3=3a1,a2=3a1-1,则数列Snn的前10项和为()A.552B.55C.652D.657.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是斤.(注:“斤”非国际通用单位)8.(2021新高考)记Sn是公
3、差不为0的等差数列an的前n项和,若a3=S5,a2a4=S4.(1)求数列an的通项公式;(2)求使Snan成立的n的最小值.能力提升9.已知数列an为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,给出以下结论:a10=0;S10最小;S7=S12;S19=0.其中一定正确的是()A.B.C.D.10.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石
4、)()A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块11.(2021全国)记Sn为数列an的前n项和,bn为数列Sn的前n项积.已知2Sn+1bn=2.(1)证明:数列bn是等差数列;(2)求an的通项公式.12.已知正项等差数列an的前n项和为Sn,且满足a1+a5=27a32,S7=63.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足b1=a1,且bn+1-bn=an+1,求数列1bn的前n项和Tn.高考预测13.在等差数列an中,已知a1+a4+a7=30,a3+a6+a9=24,则其前9项和S9=.14.(2021广东珠海二模)已知等差数列an满足a1=-1,a4=
5、2a2+a3.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=an2cosn2,求数列bn的前40项和S40.答案：1.B解析由a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-a1=-1,得a1=1.又由a3=a1+2d=1+2d=0,得d=-12.故选B.2.D解析由a1=2,a2+a3+a4=24,得3a1+6d=6+6d=24,解得d=3,所以a4+a5+a6=3a1+12d=42.故选D.3.B解析由题意得2(Sn+1)=Sn-1+Sn+1,n2,2(S2+1)=S1+S3,即2(a1+a2+1)=a1+a1+a2+a3.又a2=1,a3=3.公差d=a3-a2=2,an=a2+(n-2)d=
6、2n-3.又a1=a2-d=-1,Sn=n(a1+an)2=n(an-1)2.an=2Sn+nn,故选B.4.C解析a1+a3+a5=105a3=35,a2+a4+a6=99a4=33,则an的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.5.D解析(方法一)由题知Sn=na1+n(n-1)2d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由Sn+2-Sn=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,所以n=8.(方法二)Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.6.C解析设
7、等差数列an的公差为d,则a1+2d=3a1,a1+d=3a1-1,所以a1=1,d=1,所以Sn=n+n(n-1)2=n(n+1)2,所以Snn=n+12,所以Sn+1n+1-Snn=n+1+12-n+12=12,S11=1+12=1,所以Snn是以1为首项,12为公差的等差数列,数列Snn的前10项和T10=10+10(10-1)212=652.7.184解析用a1,a2,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,由题意,得数列a1,a2,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,即8a1+87217=996,解得a1=65.所以a8=65+717=184.8.解(1)由等差数
8、列的性质可得S5=5a3,则a3=5a3,解得a3=0.设等差数列的公差为d,从而有a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2,S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,从而-d2=-2d,由于公差不为0,故d=2,数列an的通项公式为an=a3+(n-3)d=2n-6.(2)由数列的通项公式可得a1=2-6=-4,则Sn=n(-4)+n(n-1)22=n2-5n,故不等式Snan即n2-5n2n-6,整理可得(n-1)(n-6)0,解得n6,又n为正整数,故n的最小值为7.9.B解析设等差数列an的公差为d,则2a1+3a1+6d=6a1+15d
9、,即a1+9d=0,a10=0,故正确;若a10,d0,a3=7.S7=7(a1+a7)2=7a4=63,a4=9,公差d=a4-a3=2.an=a3+(n-3)d=2n+1,即数列an的通项公式为an=2n+1.(2)bn+1-bn=an+1,且an=2n+1,bn+1-bn=2n+3.又b1=a1=3,当n2时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=(2n+1)+(2n-1)+5+3=n(n+2).当n=1时,b1=3满足上式,bn=n(n+2).1bn=1n(n+2)=121n-1n+2.Tn=1b1+1b2+1bn-1+1bn=121-13+12-14
10、+13-15+1n-1-1n+1+1n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=34-121n+1+1n+2.13.81解析在等差数列an中,由a1+a4+a7=3a4=30,得a4=10.由a3+a6+a9=3a6=24,得a6=8.故S9=9(a1+a9)2=9(a4+a6)2=81.14.解(1)设等差数列an的公差为d,a4=a1+3d,2a2+a3=3a1+4d.由a1=-1,a4=2a2+a3,则-1+3d=-3+4d,得d=2,所以an=2n-3.(2)因为bn=an2cosn2,则当n为奇数时,bn=0;当n为偶数时,若n=4k+2,kN,则bn=-an2,若n=4k+4,kN,则bn=an2.所以S40=(a42-a22)+(a82-a62)+(a122-a102)+(a362-a342)+(a402-a382)=2d(a2+a4+a6+a8+a40)=420a2+201922d=3120.
