1、审题即弄清题意，是解题的基础，也是正确、迅速解题的前提，要想有效解决问题，关键要过审题关著名数学教育家波利亚说过：“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图”事实上，考生常常对此掉以轻心，致使解题失误或陷入繁冗之中据统计，高考试卷通常控制在2 000个左右的印刷符号，若以每分钟300400个符号的速度读题审题，约需57分钟，考虑到有的题要读两遍以上，仅审题就要约15分钟能否迅速准确地理解问题，在很大程度上影响和决定了高考成绩的好坏从这个意义上讲，高考数学谋试在“审”，成试在“审”，一点都不过分下面从实例出发，就高考数学解题中审题要注意的几个环节综述如下：逐字逐句，仔细分析是审题的重要策略
2、之一在数学解题中，经常会出现一些容易看错的或易被忽视的或容易误解的字词，如果麻痹大意，就会导致失误因此，要善于“斟字酌句”，认真思考，弄清含义，为正确解题创造条件例1(2015郑州模拟)已知锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b是和2的等比中项，c是1和5的等差中项，则a的取值范围是_审题(1)要求a的取值范围，应建立关于a的不等式；(2)由条件“b是和2的等比中项”和“c是1和5的等差中项”可分别求出b和c的值；(3)根据ABC为锐角三角形，利用余弦定理即可建立关于a的不等式但是，题目条件并没有明确a是否为最大边，故应分类讨论提醒本题易误认为a为最大边，由b2c2a20
3、得出结论，从而忽视c为最大边的情形，掉入漏解陷阱题目中没有明确a是否为最大边，由此找到分类的依据解析因为b是和2的等比中项，所以b1；因为c是1和5的等差中项，所以c3.又因为ABC为锐角三角形，当a为最大边时，有解得3a；当c为最大边时，有解得2a3.由得2a，所以a的取值范围是(2，)答案：(2，)即时应用1直线l过点P(5，2)，并且在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程为_解析(1)当直线过原点时，方程为2x5y0；(2)当直线不过原点时，用直线方程的截距式，设所求方程为1，把已知点P(5，2)的坐标代入方程，得a7.此时所求方程为1，即xy70.故所求直线方程为2x5y0和xy70
4、.答案：2x5y0和xy702已知曲线yx3，则过点P(2，4)的切线方程为_解析设曲线yx3与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率ky|xx0x，切线方程为yy0x(xx0)，即yxx(xx0)把P(2，4)的坐标代入，即42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20.解得x02或x01.故所求切线方程为4xy40或xy20.答案：4xy40或xy20许多题目都存在关键性的词语，抓住它们就会把握事物的本质属性，找到解题的突破口因此，审题时，除了熟悉问题的整体背景，注意各个部分之间的区别和联系外，还要特别注意根据“关键词”展开思维
5、例2(2015兰州模拟)李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数学问题，如图所示，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后(点A与B重合)再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作(如在第一次操作后，原线段AB上的、均变成，变成1等)那么在线段AB上(除A，B)的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是_审题本题的关键词是新定义中的“一次操作”，要解决此题，首先要读懂“一次操作”的真正含义：先对折再拉长到与原线段长度相等的线段即为1个单位长度，第一次操作后，在处为对折点，均匀拉长后变成1，原线段AB上的、均变成，这在题目中已有提示第二次操作后，在线段处有两
6、个数和为对折点，均匀拉长后这两个数都变为1，根据题意，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点对应的数为和，这样马上可以得出结论解析在第一次操作后，原线段AB上的、均变成，变成1，在第二次操作后，原线段AB上的、均变成1，所求点所对应的数之和是1.答案：1即时应用1已知双曲线C：x21，过点P(1，1)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有_条解析当直线l斜率存在时，令l：y1k(x1)，代入x21中整理有(4k2)x22k(k1)xk22k50.当4k20，即k2时，l和双曲线的渐近线平行，有一个公共点当k2时，由0，解得k，即k时，有一个切点直线l斜率不存在时，x1
7、也和曲线C有一个切点综上，共有4条满足条件的直线答案：42在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，在ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于M，则AMAC的概率为_解析由于在ACB内任作射线CM，所以CM在ACB内等可能分布，如图所示，基本事件的区域应是ACB，在线段AB上取一点C，使得ACAC，连接CC，故P(AMa，且对任意xR都有f(x)0，则M的最小值为()A.B.C. D.审题本题是多元问题，解多元问题的思路是将多元问题转化为二元或一元问题由条件f(x)0恒成立可知即c.从而M，故问题转化为求的最小值，可考虑令t，从而化简并求得的最小值，即求得问题的答案解析选D由题意
8、得a0，b24ac0，即c，则M.令t，则t1，于是M(t1)，当且仅当t1，即b(1)a，ca时等号成立所以M的最小值为.即时应用1在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若6cos C，则的值是_解析由6cos C，得b2a26abcos C.根据余弦定理，化简整理得2(a2b2)3c2，将通过切化弦化简，得.根据正、余弦定理得4.答案：42设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1，2，3，)，则它的通项公式an_解析由(n1)anaan1an0，得(n1)an1nan(an1an)0.又an0，an1an0，(n1)an1nan0，即(n1)an1nan
9、.故数列nan为常数列nana11，即an.答案：审题时，思路不能只停留在原题上，而应积极地将其转换成熟悉和易解的问题其方法有：把实际问题转换成数学问题，把几何问题转换成代数问题，把代数问题转换成三角问题等，不一而足因此，我们在审题时，要注意分析题意，善于转换例4(2015绍兴模拟)水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部若要使带子全部包住管道且不重叠(不考虑管道两端的情况)，需计算带子的缠绕角度(指缠绕中将部分带子拉成如图所示的平面ABCD时的ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分)若带子宽度为1，水管直径为2，则的余弦值为_审题解决本题的关键是如何将空间图形转化为平面图形，而将空间图
10、形中的点和量与平面图形中的点和量对应起来是解决本题的难点，如果以AB所在的母线把它剪断，拿出其中的一段并压平，画出其平面图形(如下图)，点A与点C是重合点，所以AC的长就是水管的周长，AH的长是带子宽度，通过互余关系，角转换到AHC中，使这些已知量都集中在同一个三角形内，再以三角函数来求解问题解析如图，沿一条母线剪开，侧面是一个矩形，带子ABCD是一个平行四边形，过点A作AHBC于H，ABCCAH，AC2，在RtAHC中，cos .答案：即时应用1函数y的最小值为_解析原函数等价于y，即求x轴上一点到A(1，1)，B(3，2)两点距离之和的最小值将点A(1，1)关于x轴对称，得A(1，1)，连
11、接AB交x轴于点P，则线段AB的值就是所求的最小值，即|AB|.答案：2(2015长春模拟)已知函数f(x)ax2bx1(a，bR且a0)有两个零点，其中一个零点在区间(1，2)内，则的取值范围为_解析因为a0，所以二次函数f(x)的图象开口向上，又因为f(0)1，所以要使函数f(x)的一个零点在区间(1，2)内，则有即如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子表示平面区域内的点P(a，b)与点Q(1，0)连线的斜率而直线QA的斜率k1，直线4a2b10的斜率为2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P，Q连线的斜率的取值范围为(2，1)答案：(2，1)有些题目中某些条件给
12、出的并不明显，需要对这些条件进行再加工；也有某些条件虽然题目已经给出，但解题者却没有把它作为条件来使用，从而使解题遇阻，需要对这些条件进行再认识例5若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是()A(1，2)B(2，)C3，) D(3，)审题由三角形三内角的度数成等差数列，可以立即得到B的度数，B60.设三角形的三个内角为A，B，C；A为钝角，则ABC，设角A，B，C的对边依次为a，b，c，则m，但是下一步，如何判断m的范围，就不知如何做了注意到，这里有一个隐含条件，即B60，A90，则C2sin A，从而将问题转化为求2sin A的最大值问题解析选B设
13、ABC的三边为a，b，c，且abc.又ABC为钝角三角形且三内角的度数成等差数列，所以B60，且A90.故0C2sin A.又A(90，180)，2sin A(0，2)故m2.即时应用1设双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为()A2B.C. D.解析选A直线l过(a，0)，(0，b)两点，直线l的方程为1，即bxayab0.又原点到直线l的距离为c.c，即c2又c2a2b2，a2(c2a2)c4即c4a2c2a40，化简得(e24)(3e24)0，e24或e2，又0a2，e24，即e2，故选A.2函数f(x)x33a
14、x2b有极值，又在其曲线上极大值点和极小值点分别为A、B，若线段AB(不含端点)与曲线交于点M(1，0)，求a，b的值解由f(x)3x26ax0，得x0或x2a.即A(0，b)，B(2a，4a3b)又A，B，M三点共线，即(1，b)(12a，4a3b)，4a3bb(12a)又M在曲线上，013ab.联立方程解得或又M在线段AB的内部，故012a，即a，a1，b2.数形结合也是审题的一种重要方法一旦题目与数轴、单位圆、图象、几何图形等存在联系，就可通过画图利用其直观性和几何性来帮助分析、思考，甚至根据图形直接找出答案因此，我们要养成利用图形的直观性来分析问题的思维习惯例6(2015天水模拟)已知
15、向量ae，|e|1，对任意tR，恒有|ate|ae|，则()Aae Ba(ae)Ce(ae) D(ae)(ae)审题解这个题目时，如果不仔细研究已知条件之间的关系，很容易采用下面的解法，即从不等式|ate|ae|的计算入手，有a22teat2e2a22eae2，即t22eat2eae20，因为该不等式对任意tR恒成立，所以4(ea)28ea4e20，因而(ea1)20.于是eae20，所以e(ae)0，e(ae)故选C.这是一个非常好的解法，但是运算量还是大了一些如果认真思考已知条件，向量ae，且不等式|ate|ae|对任意实数t都成立，可以从向量本身的意义来思考，并借助图形解决如图，a，e，
16、则ae，设ate，由题设，|恒不小于|，显然，仅当时才能实现，因此，e(ae)解析选C如图，设a，e，D为直线AC上的一点，且te，则ae，ate，由题意|ate|ae|，知|，即|是点B到直线AC上点的距离的最小值，故，即e(ae)即时应用1已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x2)f(x)，且当x1，)时，f(x)x，则满足f(2x)f(x)的x的取值范围是_解析f(x)的图象关于直线x1对称，所以f(x)f(2x)如图可知不等式f(2x)f(x)的解集为.答案：2已知点A(1，1)，B(3，0)，C(2，1)，若平面区域M由所有满足 (12，01)的点P组成，则M的面积为_解析由向量的
17、平行四边形法则，可知点P构成的区域为图中阴影部分的平行四边形BDEF及其内部，它与平行四边形ABDC是全等的，于是易求得其面积为3.答案：3结论是解题的最终目标，解决问题的思维很多情形下都是在目标意识下启动和定向的审视结论要探索已知条件和结论间的联系与转化规律，善于从结论中捕捉解题信息，确定解题方向例7已知，为锐角，且求2的值审题由2的构成特点，可知本题化简变形时，不宜按照常规对，的三角函数都采用降次，而需要把已知表达式中的含的三角函数升次，含的三角函数降次，即把和2的表达式拼凑出来解由得，3sin2cos 2，由得，3sin cos sin 2，得，cos(2)0，因为，为锐角，所以02，故
18、2.即时应用1已知函数f(x)，那么f(1)f(2)ff(3)ff(4)ff(2 015)f_解析f(x)，f(a)f1.f(1)f(2)ff(3)ff(4)ff(2 015)f12 014.答案：2设L为曲线C：y在点(1，0)处的切线(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方解(1)设f(x)，则f(x).所以f(1)1，即L的斜率为1.又L过点(1，0)，所以L的方程为yx1.(2)证明：令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0x1时，x210，ln x0，所以
19、g(x)0，故g(x)单调递减；当x1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递增当x1时，g(x)取得最小值所以，g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线L的下方解题，常常会困惑于找不到突破口，此时可考虑从特殊的点、特殊的值、特殊的图形等出发进行试探，取得部分成果，发现规律，从而获得解题途径例8如图，在ABC中，点M是BC的中点，过点M的直线与直线AB、AC分别交于不同的两点P、Q，若，则_.审题由题目条件可知，直线PQ过定点M，但斜率未知，即直线方程未定，而所要求的结果为定值，故的值与P、Q的位置无关，从而可采用特殊直线求解解析由题意可知，的值与点P、Q
20、的位置无关，而当直线BC与直线PQ重合时，有1，所以2.答案：2即时应用1如图所示，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP3，则_解析把平行四边形ABCD看成正方形，则点P为对角线的交点，AC6，则18.答案：182如图，抛物线yax2bxc与x轴的一个交点A在点(2，0)和(1，0)之间(包括这两点)，顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点，则a的取值范围是_解析当交点A在(2，0)，且顶点C在F(3，2)时，抛物线的开口最大设这时的解析式为：ya(x3)22，把点(2，0)代入解析式得025a2，解得a，当交点在(1，0)，且顶点C在D(1，3)时，抛物线的开口最小设这时的解析式为：ya(x1)23，把点(1，0)代入解析式得04a3，解得a.所以a的取值范围是a.答案：
