1、第2讲空间点、线、面的位置关系考纲展示命题探究1平面的基本性质2空间直线的位置关系(1)位置关系的分类 (2)平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补(4)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角范围：.3空间直线、平面的位置关系注意点对异面直线定义的理解(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线(3)异面直线不具
2、有传递性，即若直线a与b异面，b与c异面，则a与c不一定是异面直线.1思维辨析(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分()(3)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，并记作A.()(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面()(6)没有公共点的两条直线是异面直线()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()A一定平行B一定相交C一定是异面直线D平行、相交、是异面直线都有可能答案D解析当a，b，c共面时，ac；
3、当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交3如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，AA1a，BAB1B1A1C130，则AB与A1C1所成的角为_，AA1与B1C所成的角为_答案3045解析ABA1B1，B1A1C1是AB与A1C1所成的角，AB与A1C1所成的角为30.AA1BB1，BB1C是AA1与B1C所成的角，由已知条件可以得出BB1a，AB1A1C12a，ABa，B1C1BCa.四边形BB1C1C是正方形，BB1C45.考法综述点、线、面的位置关系是立体几何的核心内容，高考既有单独考查直线和平面位置关系的题目，也有以多面体为载体考查线面位置关系的题目高考试题对点、线、面的位
4、置关系的考查以理解和掌握为主，试题一般为中等难度命题法点、线、面位置关系的判断及异面直线所成的角典例(1)已知矩形ABCD中，AB1，BC.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直(2) 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点已知AB2，AD2，PA2.求：三角形PCD的面积；异面直线BC与AE所成的角的大小解析(1)如图作AMBD
5、，垂足为M；作CNBD垂足为N，若存在某个位置，使得ACBD，则BD平面AMC，BD平面ANC，矛盾，故A错误；当翻折到点A在平面BCD上的射影H落在BC上时，由CDCB，CDAH，所以CDABH，所以CDAB，故B项正确，D项错误；若存在某个位置使得ADBC，则再由CDCB得CB平面ACD，所以ACB90，这样|AB|BC|，而AB1，BC，矛盾，故C项错误(2)因为PA底面ABCD，所以PACD.又因为ADCD，所以CD平面PAD.从而CDPD.因为PD2，CD2，所以三角形PCD的面积为222.解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则点B(2,0,0)，C(2，2，0)，E(1，1)则(
6、1，1)，(0,2，0)设与的夹角为，则cos，所以.由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是.解法二：取PB的中点F，连接EF，AF, 则EFBC，从而AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角在AEF中，由EF，AF，AE2知AEF是等腰直角三角形，所以AEF.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.答案(1)B(2)见解析【解题法】异面直线的判定及其所成角的求法(1)判定空间两条直线是异面直线的方法判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面(2)求解异面直线所成角的常用
7、方法有两种平移法a平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移最终将空间角转化为平面角，利用解三角形的知识求解(常结合余弦定理求解)b因为异面直线所成角的取值范围是090，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角向量法a向量法求异面直线所成角关键在于找出两异面直线的方向向量，可以求两向量的坐标，也可以把所求向量用一组基向量表示，求两向量的数量积b设异面直线a，b所成的角为，则cos，其中a，b分别是直线a，b的方向向量两向量的夹角范围是0，而两异面直线所成角的范围是，应注意加以区分1若空间中n个不同的点两两距离都相等，则
8、正整数n的取值()A至多等于3 B至多等于4C等于5 D大于5答案B解析首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除C、D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等，于是排除A，故选B.2若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由“m且lm”推出“l或l”，但由“m且l”可推出“lm”，所以“lm”是“l”的必要而不充分条件，故选B.3.已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n答案B
9、解析A选项m、n也可以相交或异面，C选项也可以n，D选项也可以n或n与斜交根据线面垂直的性质可知选B.4直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案C解析解法一：取BC的中点Q，连接QN，AQ，易知BMQN，则ANQ即为所求，设BCCACC12，则AQ，AN，QN，cosANQ，故选C.解法二：如图，以点C1为坐标原点，C1B1，C1A1，C1C所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，不妨设BCCACC11，可知点A(0,1,1)，N，B(1,0,1)，M.，.cos，.根
10、据与的夹角及AN与BM所成角的关系可知，BM与AN所成角的余弦值为.5如图，在三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_答案解析如下图所示，连接ND，取ND的中点E，连接ME，CE，则MEAN， 则异面直线AN，CM所成的角即为EMC.由题可知CN1，AN2，ME.又CM2，DN2，NE，CE，则cosCME.6. 如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为_答案解析取BF的中点N，连接MN，E
11、N，则ENAF，所以直线EN与EM所成的角就是异面直线EM与AF所成的角在EMN中，当点M与点P重合时，EMAF，所以当点M逐渐趋近于点Q时，直线EN与EM的夹角越来越小，此时cos越来越大故当点M与点Q重合时，cos取最大值设正方形的边长为4，连接EQ，NQ，在EQN中，由余弦定理，得cosQEN，所以cos的最大值为.7如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值解(1)证明：连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF.在菱形
12、ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，可得EG平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长，建立空间直角坐标系Gxyz.由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F，C(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.8如
13、下图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB.(1)证明：PEFG；(2)求二面角PADC的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值解(1)证明：由PDPC4知，PDC是等腰三角形，而E是底边CD的中点，故PECD.又平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，故PE平面ABCD，又FG平面ABCD，故PEFG.(2)平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，ADCD，AD平面PDC，而PD平面PDC，故ADPD，故PDC为二面角PADC的平面角在R
14、tPDE中，PE，tanPDC，故二面角PADC的正切值是.(3)连接AC.由AF2FB，CG2GB知，F，G分别是AB，BC且靠近点B的三等分点，从而FGAC，PAC为直线PA与直线FG所成的角在RtADP中，AP5.在RtADC中，AC3.在PAC中，由余弦定理知，cosPAC，故直线PA与直线FG所成角的余弦值是.已知在空间四边形ABCD中，ABCD3，点E、F分别是边BC和AD上的点，并且BEECAFFD12，EF，求异面直线AB和CD所成角的大小错解错因分析对异面直线所成角的概念和范围不熟悉，误将图中的EGF作为所求直线AB与CD所成的角正解在BD上取靠近B的三等分点G，连接FG、G
15、E，如图所示在BCD中，EGDC.同理，在ABD中，GFAB.所以EG和FG所成的锐角(或直角)就是异面直线AB和CD所成的角，即EGF就是AB与CD所成的角或其补角在BCD中，由GECD，CD3，得EG1.在ABD中，由FGAB，AB3，得FG2.在EFG中，EG1，FG2，EF，由余弦定理，得cosEGF.所以EGF120.所以直线AB与CD所成角为60.心得体会时间：45分钟基础组1.2016衡水中学期末设a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中，其逆命题不成立的是()A当c时，若c，则B当b时，若b，则C当b，且c是a在内的射影时，若bc，则abD当b，且c时，若c，
16、则bc答案B解析A的逆命题为：当c时，若，则c，由线面垂直的性质知c；B的逆命题为：当b时，若，则b，显然错误；C的逆命题为：当b，且c是a在内的射影时，若ab，则bc，由三垂线的逆定理知bc；D的逆命题为：当b，且c时，若bc，则c，由线面平行的判定定理可得c.故选B.22016衡水二中热身对于空间的两条直线m，n和一个平面，下列命题中的真命题是()A若m，n，则mn B若m，n，则mnC若m，n，则mn D若m，n，则mn答案D解析对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线
17、平行，故D正确32016武邑中学期末已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面答案D解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.42016衡水二中预测已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面M，b平面N，MNc.若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；若ab，则必有ac；若ab，ac，则必有MN.其中正确命题的个数是()A0 B1C2 D3答案C解析命题正确，命题错误其中命题中a和b有可能垂直；命题中当bc时，平面M，N有
18、可能不垂直，故选C.5. 2016枣强中学月考已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案B解析如图，连接A1B.由题意知A1D1綊BC，所以四边形A1D1CB为平行四边形，故D1CA1B.所以A1BE为异面直线D1C与BE所成的角不妨设AA12AB2，则A1E1，BE，A1B，在A1BE中，cosA1BE，故选B.6. 2016衡水二中猜题设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交， 则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b
19、一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)答案解析由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行或异面，故错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故错；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故错72016衡水二中一轮检测如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是_答案解析由于ACA1C1，所以BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所成的角在BA1C1中，A1B，A1C11，BC1，cosBA1C1.82016冀州中学周测如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是
20、AC、BD的中点，若CD2AB2，EFAB，则EF与CD所成的角等于_答案30解析如图所示，设H为DA的中点，连接HF，HE，则易得FHEF.在RtEFH中，HE1，HF，HEF30，即EF与CD所成的角为30.92016冀州中学热身如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为_答案解析过F点作HFBE，过A点作EF的垂线AG，垂足为G.连接HG，HE，AH.如图，设正方形ABCD的边长为2，平面AEF平面BCDFE，且AGEF，AG平面BCDFE.BEBHAEAF1，EHEF.G为EF的中点，EG，AG.又HF2
21、，HEG90，在RtEHG中，HG.在RtAGH中，AH.HFBE，AF与BE所成的角即为AFH.在AHF中，AF1，HF2，AH，HAF90，cosAFH.102016枣强中学周测如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_答案90解析连接D1M，则D1M为A1M在平面DCC1D1上的射影，在正方形DCC1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，D1MDN，由三垂线定理得A1MDN.即异面直线A1M与DN所成的角为90.112016冀州中学预测在三棱锥SACB中，SABSACACB90，AC2，BC，SB，则SC与AB所
22、成角的余弦值为_答案解析解法一：如图，取BC的中点E，分别在平面ABC内作DEAB，在平面SBC内作EFSC，则异面直线SC与AB所成的角为FED，过F作FGAB，连接DG，则DFG为直角三角形由题知AC2，BC，SB，可得DE，EF2，DF，在DEF中，由余弦定理可得cosDEF.解法二：如图，以A为原点，以AB，AS所在直线分别为y，z轴，以垂直于y轴、z轴的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则由AC2，BC，SB，得B(0，0)，S(0,0，2)，C，(0，0)，设SC与AB所成的角为，4，|4，cos.122016衡水二中期中如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB6
23、0，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值解(1)在四棱锥PABCD中，PO平面ABCD，PBO是PB与平面ABCD所成的角，即PBO60.在RtAOB中，AB2，BOABsin301.在RtPOB中，POOB，POBOtan60，底面菱形的面积S2222，四棱锥PABCD的体积VPABCD22.(2)如图所示，取AB的中点F，连接EF，DF.E为PB中点，EFPA，DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)在RtAOB中，AOABcos30OP，在RtPOA中，PA，EF.
24、在正三角形ABD和正三角形PDB中，DFDE，由余弦定理得cosDEF.异面直线DE与PA所成角的余弦值为.能力组13.2016枣强中学模拟已知m、n为异面直线，m平面，n平面，l，则l()A与m、n都相交B与m、n至少一条相交C与m、n都不相交D至多与m、n中的一条相交答案B解析若l与m、n都不相交，则lm，ln.mn与已知矛盾，故C、D不正确A中与m、n都相交，也不一定，如lm，n与l相交于一点142016衡水二中期末直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90答案C解析分别取AB，AA1，A1C1的中点D
25、，E，F，则BA1DE，AC1EF.所以异面直线BA1与AC1所成的角为DEF(或其补角)，设ABACAA12，则DEEF，DF，由余弦定理得，cosDEF，则DEF120，从而异面直线BA1与AC1所成的角为60.152016武邑中学猜题如图是三棱锥DABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于()A. B.C. D.答案A解析由题意得如图的直观图，从A出发的三条线段，AB，AC，AD两两垂直且ABAC2，AD1，O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE1，又可知AE1，由于OEAB，故DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角在Rt
26、DAE中，DE，由于O是中点，在RtABC中可以求得AO，在直角三角形DAO中可以求得DO.在DOE中，由余弦定理得cosDOE，故所求余弦值为.162016冀州中学仿真如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点(1)求证：AE与PB是异面直线；求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥AEBC的体积解(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为，A，B，E，平面即为平面ABE，P平面ABE，这与P平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线取BC的中点F，连接EF、AF，则EFPB，所以AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，AF，AE，EF，cosAEF，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.(2)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为PA1，VAEBCVEABC1.
