1、数 学 选修2-2 人教A版新课标导学第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法1 自主预习学案 2 互动探究学案 3 课时作业学案 自主预习学案夏天，在日本东京的新宿区的一幢公寓内，发生了一宗凶杀案，时间是下午 4时左右警方经过三天的深入调查后，终于拘捕到一个与案件有关的疑犯，但是他向警方做不在现场证明时，说：“警察先生，事发当天，我一个人在箱根游玩直至下午 4 时左右，我到芦之湖划船当时适值雨后天晴，我看到富士山旁西面的天空上，横挂着一条美丽的彩虹，所以凶手是别人，不是我！”你知道疑犯的话露出了什么破绽吗？警方是怎样证明他在说谎的呢？1.综合法的定义利用_和某
2、些数学_、_、_等，经过一系列的_，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法2综合法的特点从“已知”看“_”，逐步推向“_”，其逐步推理，是由_导_，实际上是寻找“已知”的_条件已知条件 定义 公理 定理 推理论证 可知 未知 因 果 必要 P3综合法的基本思路用_表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，_表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ其逻辑依据是三段论式演绎推理4分析法定义从要证明的_出发，逐步寻求使它成立的_条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法Q结论充分需知
3、5分析法的特点分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“_”，执果索因，逐步靠拢“_”，其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的_条件分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理6分析法的基本思路分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件若用_表示要证明的结论，则分析法的推理形式为PP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件已知充分P1(2019烟台期中)分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的()A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析 分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件；分析法是从要
4、证的结论出发，寻求使它成立的充分条件故选AA2(2019桃城区校级期中)下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是间接证明法；分析法是逆推法其中正确的语句是()A2个 B3个C4个D5个C解析 根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故正确根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，是逆推法，故正确，不正确故选C93设 a0，b0，c0，若 abc1，则1a1b1c的最小值为_.解析 a0，b0，c0，abc1，1a1b1cabcaabcbabcc3baabcaaccbbc32baab2caac2cbbc9，当且仅当 abc13时等号成立4
5、设ab0，求证：3a32b33a2b2ab2.证明 因为ab0，所以ab0,3a22b20，所以3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)0，即3a32b33a2b2ab2.互动探究学案命题方向1 用综合法证明不等式A典例 1(1)若 ab0，则下列不等式中，总成立的是()Aa1bb1a Bbab1a1Ca1ab1bD2aba2bab(2)在不等式“a2b22ab”的证明中：因为 a2b22ab(ab)20.所以 a2b22ab.该证明用的方法是_.综合法(3)已知 a，b，cR，且 abc1.求证：a2b2c213.解析(1)因为 ab0，所以1b1
6、a0，所以 a1bb1a.(2)由题设知：本题中证明是从已知的不等式(ab)20 出发，经过推理得出结论，是综合法(3)因为 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.于是(abc)2a2b2c22ab2bc2caa2b2c2(a2b2)(b2c2)(c2a2)3(a2b2c2)，所以 a2b2c213(abc)213，当且仅当 abc 时取等号，原式得证规律总结 综合法证明不等式的主要依据综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有以下几个：a20(aR)；(ab)20(a，bR)，其变形有 a2b22ab，(ab2)2ab，a2b2ab22；若 a，
7、b(0，)，则ab2 ab，特别地，baab2；a2b2c2abbcac(a，b，cR)，由不等式a2b22ab，a2c22ac，b2c22bc，易得a2b2c2abbcca，此结论是一个重要的不等式，在不等式的证明中的使用频率很高；(abc)2a2b2c22(abbcac)，体现了abc，a2b2c2与abbcac这三个式子之间的关系跟踪练习 1在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 A4，bsin(4C)csin(4B)a.求证：BC2.证明 由 bsin(4C)csin(4B)a，应用正弦定理，得sinBsin(4C)sinCsin(4B)sinA，sinB(22
8、sinC 22 cosC)sinC(22 sinB 22 cosB)22.整理得 sinBcosCcosBsinC1.即 sin(BC)1.由于 0B，C5，求证：a5 a3 a2 a.解析 要证 a5 a3 a2 a，只需证 a5 a a2 a3，只需证(a5 a)2(a2 a3)2，即 2a2 a25a52a52 a25a6，即只需证 a25a a25a6，只需证 a25aa25a6，即证 0n1，求证：f(m)f(n)2f(mn2)解析 要证明 f(m)f(n)2f(mn2)，即证(m22m2)(n22n2)2(mn2)22mn22，即证 2m22n2m22mnn2，只需证 m2n22m
9、n，即证(mn)20，因为 mn1，所以(mn)20 显然成立，故原不等式成立综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰，分析法叙述烦琐，在实际解题时，常常把分析法和综合法综合起来运用先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程 利用分析法、综合法证明问题典例 4已知三角形 ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且三个内角 A，B，C 构成等差数列，求证：1ab 1bc3abc.思路分析 本题条件较为简单，但结论中的等式较为复杂，故可首先用分析法，将欲证等式进行转化，转化为一个较为
10、简单的式子，然后再从已知条件入手，结合余弦定理，推导出这个式子即可得证解析 要证 1ab 1bc3abc，即证abcab abcbc 3，化简得 cab abc1，即只需证明 c(bc)a(ab)(ab)(bc)，只需证明 c2a2b2ac.因为三个内角 A，B，C 构成等差数列，所以 2BAC，又因为 ABC180，所以 3B180，即 B60，由余弦定理可得 cos60a2c2b22ac，所以 c2a2b2ac，即 c2a2b2ac 成立，因此原等式成立规律总结 1.有些数学问题的证明，需要把综合法与分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化
11、条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或者称“两头凑法”2在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，但解题的表述过程较为烦琐，而综合法表述证明过程则显得简洁，因此在实际解题过程中，常常将分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法探求得到解题思路，再利用综合法条理地表述解题过程.跟踪练习4在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a1)2(b1)(c1)证明 由已知得2axy，b2cx，c2by，则 xb2c，yc2b，即 xyb2c c2b，从而 2ab2cc
12、2b.要证(a1)2(b1)(c1)，只需证 a1 b1c1，即证 a1b1c12，也就是证 2abc，因为 2ab2c c2b，则只需证b2c c2bbc 成立即可，即 b3c3(bc)(b2bcc2)(bc)bc，即证 b2c2bcbc，即证(bc)20 成立上式显然成立，故(a1)2(b1)(c1)注意隐含条件的挖掘典例 5设 ab0，n 为偶数，求证：bn1an an1bn 1a1b.错解 bn1an an1bn 1a1banbnan1bn1abn.n 为偶数，(ab)n0.又anbn 和 an1bn1 同号，bn1an an1bn 1a1b0，bn1an an1bn 1a1b.辨析
13、这里题目中的条件为 ab0，而不是 a0，b0，因此，应分 a0 且b0 和 a，b 有一个为负值两种情况加以讨论正解 bn1an an1bn 1a1banbnan1bn1abn.当 a0，b0 时，(anbn)(an1bn1)0，(ab)n0，anbnan1bn1abn0，bn1an an1bn 1a1b.当 a、b 中有一个为负值时，不妨设 a0，b0，sinA1，A2，所以ABC 是直角三角形C2若 P a a7，Q a3 a4(a0)，则 P，Q 的大小关系是()APQBPQCPQD由 a 的取值确定解析 取 a1 得 P1 84，PQ，故选 C证明如下：要证 PQ，只需证 P2Q2，
14、只需证 2a72 aa72a72 a3a4，只需证 a27aa27a12，只需证 012，012 成立，Pcb 3设 a 2，b 7 3，c 6 2，则 a，b，c 的大小关系为_.解析 b47 3，c46 2，显然 bc，而 a22，c2(6 2)282 128 48c，acb.4已知 a、b、cR，求证：a2b2c23abc3.解析 分析法：要证a2b2c23abc3，只需证：a2b2c23(abc3)2，只需证：3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ca，只需证：2(a2b2c2)2ab2bc2ca，只需证：(ab)2(bc)2(ca)20，而这是显然成立的，所以a2b2c23abc3成立综合法：a、b、cR，(ab)2(bc)2(ca)20，2(a2b2c2)2(abbcac)，3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ac，3(a2b2c2)(abc)2，a2b2c23abc3.课时作业学案
