1、山西省大同市2019-2020学年高二数学下学期5月线上摸底试题 理（含解析）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.2全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.3回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.5本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，考试时间90分钟.第卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，
2、复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.下列有关命题的说法错误的是（ ）A. 若“”为假命题，则均为假命题B. “”是“”的充分不必要条件C. “”的必要不充分条件是“”D. 若命题，则命题【答案】C【解析】【分析】根据复合命题真假的判断方法判断A；根据充分条件和必要条件可判断B、C；根据含有一个量词的命题的否定可
3、判断D【详解】对A，“”为假命题，则和均为假命题，故A正确；对B，当“”时，“”成立；当“”时，“”不一定成立，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确；对C，当“”时，或，故“”不一定成立；当“”时，“”成立，故“”的充分不必要条件是“”；故C错误；对D，若命题，则命题，故D正确故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，同时考查复合命题，充分条件和必要条件及含有一个量词的命题的否定，属于基础题3.用反证法证明命题：“若能被3整除，那么中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A. 都能被3整除B. 都不能被3整除C 不都能被3整除D. 不能被3整除【答案】B【解析】【分析】根据反证法的步骤和命
4、题的否定，直接对“中至少有一个能被3整除”的进行否定即可.【详解】因为“至少有n个”的否定为“至多有n-1个”.“中至少有一个能被3整除”的否定是：“都不能被3整除”，故应假设都不能被3整除.故本题答案为B.【点睛】反证法即首先假设命题反面成立，即否定结论，再从假设出发，经过推理得到矛盾，得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立.故用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立. 反证法的适用范围是：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，
5、而反面情况较少.4.已知点，椭圆与直线交于点，则周长为（ ）A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】B【解析】因为直线过椭圆左焦点(，0)，所以ABM的周长为|AB|AM|BM|4a8，故选B.5.的三内角、的对边分别为、，则（ ）A. 6B. 9C. 15D. 8【答案】D【解析】【分析】由，可求出的值，再利用余弦定理可求出的值.【详解】解：因为，所以,得，由余弦定理得，所以，得，故选：D【点睛】此题考查了三角形的面积的算法，考查了利用余弦定理解三角形，考查了运算能力，属于基础题.6.设函数在可导，则（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】根据极限的运算法则有结合
6、导数的极限定义求解即可【详解】函数在可导，则 故选：C【点睛】本题主要考查导数的定义和极限的概念和运算，转化为极限形式是解决本题的关键属于基础题.7.已知复数 满足的复数的对应点的轨迹是（）A. 1个圆B. 线段C. 2个点D. 2个圆【答案】A【解析】【详解】因为,所以, (负舍)因此复数的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.8.函数的图象在点切的切线分别交轴，轴于、两点，为坐标原点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求导得到，计算切线方程为，故，代入向量计算得到答案.【详解】，故，故切线方程为：，故，.，即，解得.故选：.【点睛】本题考查了切线方程，向量
7、运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9.在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，是抛物线上的一点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】依题意得，的外接圆半径为，的外接圆圆心应位于线段的垂直平分线上，圆心到准线的距离等于，即有，由此解得,故选B.点睛：本题属于易错题型，一是作图出现困难，不能把数学问题用图形语言表达出来，解析几何一样具有几何的特性，作图很重要；其次对三角形外心概念不明，找不出半径与抛物线参数的等量关系，数学基本知识要牢记10.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，是偶函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C.
8、D. 【答案】D【解析】【分析】依题意构造，则，所以为单调递减函数，又是偶函数，则关于直线x=1对称，即，将转化为，结合的单调性，即可得答案.【详解】因为，构造函数，则故为单调递减函数；又因为是偶函数，关于y轴对称，则关于直线x=1对称，所以，则不等式，可转化为，因为为减函数，所以，即解集为.故选：D.【点睛】本题考查利用导函数判断函数单调性，函数性质的应用，关键在于根据条件，构造，分析其单调性进行求解，属中档题.第卷（非选择题）二、填空题：本题共6个小题.11.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为_【答案】【解析】【分析】由题意可知，进
9、而可得出，再结合可求得、的值，由此可得出双曲线的方程.【详解】由于是边长为的等边三角形，则，由题意可得，解得，因此，双曲线的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，要结合题意得出关于、的方程组，考查计算能力，属于中等题.12. _【答案】【解析】【分析】根据定积分的运算，将函数分为两个部分，分别用定积分的几何意义和微积分基本定理两个内容求解，再合并起来即可【详解】由定积分的几何意义可知表示的为单位圆在第一象限内的面积，即由微积分基本定理可知所以【点睛】本题考查了定积分的求法，定积分几何意义与微积分基本定理的应用，属于基础题13.已知定义在上的函数满足，为的导函数且导函数的图象如图
10、所示，则不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】利用导数图象分析函数的单调性，利用函数单调性结合可得出不等式的解集.【详解】由导数图象可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，由，可得，此时；当时，由，可得，此时.综上所述，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的单调性解函数不等式，涉及函数单调性与导数之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14.函数的最小值为_【答案】【解析】【分析】先求出函数的定义域，再对函数求导，求出函数的极值，即可求出其最小值.【详解】解：函数的定义域为，由，得，令，则，因为当时，当时，所以 在时取得极小值，此时取得最小值，所以的最
11、小值为，故答案为：【点睛】此题考查利用导数求函数的最值，属于基础题.15.如下分组的正整数对：第1组为，第2组为，第3组为，则归纳推理第4组为_【答案】【解析】【分析】由题意第1组各个数之和为3，第2组各个数之和为4，第3组各个数之和为5，按照规律，即可得结果.【详解】由题意可得，第1组各个数之和为3，第2组各个数之和为4，第3组各个数之和为5，则可归纳第4组各个数之和为6，故第4组为.故答案为：【点睛】本题考查归纳推理的应用，注意各组数对的特点，考查分析判断，处理数据的能力，属基础题.16.已知抛物线：焦点为，过点的直线交抛物线于点、，交抛物线准线于点，若是的中点，则弦的长为_【答案】9【解
12、析】【分析】设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，化简后写出根与系数关系，结合抛物线的定义和弦长公式，求得，由此求得的长.【详解】依题意，抛物线，焦点，准线的方程为：.由于直线过，且与轴有交点，所以直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，设，.由消去并化简得，所以.过作，交于；过作，交于.根据抛物线的定义可知，由于是线段的中点，所以是三角形的中位线，所以，即，代入得，解得（负根舍去），所以.所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.数列的前项和为，数列是首项为，公差为（）
13、的等差数列，且，成等比数列（1）求数列与的通项公式；（2）若（），求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可把原来的递推关系转化为，再利用等比数列的通项公式可求的通项，根据，成等比数列可求的公差，从而可求其通项.（2）利用裂项相消法可求.【详解】（1）当时，所以当时，即，因为，故，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以则由，成等比数列，得，解得（舍去）或，所以数列的通项公式为（2）由（1）得，所以数列前项和，【点睛】本题考查数列的通项以及裂项相消法求和，对于含有的递推关系，可以利用把前者转化为关于的递推关系或关于的递推关系，数列的求和，注意观察通项的特征，根据特
14、征选择合适的求和方法.18.如图，已知四边形为梯形，为矩形，平面平面，又，.（1）证明：平面（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意平面，平面，利用勾股定理可得、，再利用勾股定理逆定理可得、，即可得证；（2）取的中点，连接，易得为二面角的平面角，求得后即可得解.【详解】（1）为矩形，且平面平面，平面，平面， ，在梯形中，从而.在中，可知，在中， ，可知，又 ，平面（2）取的中点，连接，由知，由知，为二面角的平面角.由（1）知平面，又 ，.二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了二面角的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.19.已知椭圆与
15、抛物线y2x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，求AOB的面积【答案】（1）；（2）【解析】试题分析:(1)先求椭圆焦点得c，再根据离心率列方程组可得a2，b22 (2)将OP视为底，根据三角形面积公式得S |OP|x1x2|，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简得|x1x2|，最后根据解出k，代入解得AOB的面积试题解析：解：(1)依题意，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意可得c，又e，a2.b2a2c22，椭圆的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得设直线A
16、B的方程为ykx1，代入椭圆方程整理，得(2k21)x24kx20，x1x2，x1x2.将x12x2代入上式整理可得， 2，解得k2.AOB的面积S|OP|x1x2|.20.已知函数（）（1）若，讨论函数的单调性；（2）若方程没有实数解，求实数的取值范围【答案】（1）当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性；（2）由没有实数解，结合a的范围，利用函数的单调性及函数的性质可判断函数的零点存在情况，即可求解【详解】（1）当时，若，则，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；（2）方程没有实数解，即没有实数解，令，则，因为，令可得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递减，故当时，函数取得最小值，解可得，综上，若没有零点，即方程没有实数解，故的范围【点睛】本题考查了利用导数讨论函数的单调性问题，零点问题，导数与函数的综合应用，考查运算求解能力、转化与化归思想，属于较难的压轴题
