1、第3课时函数的最值1.理解函数最大值和最小值的概念.2.掌握求在闭区间a,b上连续函数f(x)的最大值和最小值的思想方法和步骤.3.掌握函数极值与最值的区别与联系.如图,设铁路线AB=50 km,点C处与B之间的距离为10 km,现将货物从A运往C,已知1 km铁路费用为2元,1 km公路费用为4元,在AB上M处修筑公路至C,使运费由A到C最省,求M的具体位置.问题1:函数的最值函数的最值分为函数的最大值与最小值,函数的最大值和最小值是一个整体性概念,必须是整个区间上所有函数值中的最大者,必须是整个区间上的所有函数值中的最小者.问题2:函数的最值与极值的区别(1)函数的最大值、最小值是比较整个
2、定义域内的函数值得出的,极大值、极小值是比较附近的函数值得出的;(2)函数的极值可以有多个,但最值只能有个;(3)极值只能在区间内取得,最值可以在处取得;(4)有极值未必有最值,有最值也未必有极值;(5)极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得,那么最值必定是.问题3:求函数f(x)在a,b上的最值的步骤:(1)求f(x)在开区间(a,b)内所有使的点.(2)计算函数f(x)在区间内使f(x)=0的所有点及的函数值,其中最大的一个为,最小的一个为.问题4:利用导数可以解决以下类型的问题:(1)恒成立问题;(2)函数的即方程根的问题;(3)不等式的证明问题;(4)求参数的取值范围问题.1.下列
3、说法正确的是( ).A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数f(x)在区间a,b上的最大值是M,最小值是m,若M=m,则f(x)( ).A.等于0B.大于0C.小于0 D.以上都有可能3.函数y=xe-x在x2,4上的最小值为.4.设f(x)=ax3-6ax2+b在区间-1,2上的最大值为3,最小值为-29,且a0,求a,b的值.利用导数求函数的最值求函数f(x)=x3-4x+4在0,3上的最大值与最小值.利用函数的最值求参数的范围函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是(
4、).A.0a1B.0a1C.-1a1D.0a),当x(-2,0)时,f(x)的最小值为 1,则a的值等于.设f(x)=x3-x2-2x+5.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当x-1,2时,f(x)m恒成立,求实数m的取值范围.1.下列命题中正确的是().A.一个函数的极大值总是比极小值大B.函数的导数为0时对应的点不一定是极值点C.一个函数的极大值总比最大值小D.一个函数的最大值可以比最小值小2.函数f(x)=x3-x2-x+1在-1,1上的最大值为( ).A.B.C.D.3.如果函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在-2,2上的最大值为3,那么函数在此区间上的最小值为.4.已知
5、f(x)=x3-x2-2x+a,对任意x-1,2有f(x)3a2,求a的取值范围.(2012年重庆卷)已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.(1)求a,b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在-3,3上的最小值.考题变式(我来改编):第3课时函数的最值知识体系梳理问题1:最大值最小值问题2:(1)极值点(2)一(3)端点(5)极值问题3:(1)f(x)=0(2)端点最大值最小值问题4:零点基础学习交流1.D最值是极值与闭区间端点处的函数值比较之后得到的.2.A由题意知函数在闭区间上所有函数值相等,故其导数为0.3.y=,当x2,4时,y0,即函数y=xe-x
6、在x2,4上单调递减,故当x=4时,函数有最小值为.4.解:f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f(x)=0,得x=0或x=4,则函数f(x)在-1,2上的单调性及极值情况如下表所示:x-1,0)0(0,2f(x)+0-f(x)极大值f(0)=b=3.又f(-1)=-a-6a+3=-7a+3,f(2)=8a-24a+3=-16a+30时,x2,f(x)0时,-2x2,所以在0,3上,当x=2时,f(x)取极小值,极小值为f(2)=-.又由于f(0)=4,f(3)=1,因此,函数f(x)=x3-4x+4在0,3上的最大值是4,最小值是-.【小结】设函数f(x)在a,b上连续,即在(
7、a,b)内可导,则求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤为:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在a,b上的最值.探究二:【解析】f(x)=3x2-3a,在开区间(0,1)内有最小值,最小值点一定不是端点,且在(0,1)内,在(0,1)上f(x)有极值,即f(x)=0有根,f(0)f(1)0.即(-3a)(3-3a)0,得0a1.问题上述求解过程正确吗?结论结果正确,但过程不正确,因为上述过程不能体现在区间(0,1)内f(x)有极大值还是极小值,也就是f(x)有最大值,还是最小值,正解如下:由题意f(x)=3x2-3a的图像
8、在(0,1)内与x轴有交点,且函数图像由下到上与x轴相交. 得0a0.若2-a2,f(x)=3x2+(4-2a)x, 令f(x)=0,解得x=0或x=.当0x时,f(x)时,f(x)0,当x(0,+)时,F(x)min=F()0,即()3+(2-a)()2+40,解不等式得a5,2a5.当x=0时,F(x)=4满足题意.综上所述,a的取值范围为(-,5.【小结】本题的关键是构造新函数,将问题转化为函数的最小值不小于0,再求参数范围.思维拓展应用应用一:(1)f(x)=6x2-12x,令f(x)=0,解得x=0或x=2. 当0x2时,f(x)0,函数递减;当-2x0,函数递增.又f(-2)=-4
9、0+a, f(0)=a, f(2)=-8+a,所以f(x)min=f(-2)=-40+a,由已知得-40+a=-37,解得a=3.(2)由(1)知函数f(x)在-2,2上的最大值为f(0)=a=3.应用二:1f(x)是奇函数,f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当x(0,2)时,f(x)=-a,令f(x)=0得x=,又a,00,则x,f(x)在(0,)上递增;令f(x),f(x)在(,2)上递减,f(x)max=f()=ln-a=-1,ln=0,得a=1.应用三:(1)由已知得f(x)=3x2-x-2,令f(x)=0,即3x2-x-2=0,解得x=1或x=-,当x(-,-)时,f(x)0,f
10、(x)为增函数,当x(-,1)时,f(x)0,f(x)为增函数,f(x)的递增区间为(-,-)和(1,+),递减区间为(-,1).(2)当x-1,2时,f(x)7,即m的取值范围为(7,+).基础智能检测1.B2.D令f(x)=3x2-2x-1=0得x=1或x=-,因为f(1)=f(-1)=0,f(-)=,所以函数在-1,1上的最大值为.3.-37f(x)=6x2-12x,令f(x)=0,得x=0或x=2,列表得:x-2(-2,0)0(0,2)2f(x)+0-f(x)m-40mm-8故当x=0时,f(x)max=m=3,当x=-2时,f(x)min=3-40=-37.4.解:对任意x-1,2有
11、f(x)3a2成立,转化为f(x)max3a2,f(x)=3x2-x-2,令f(x)=0,解得x=1或x=-,x-1(-1,-)-(-,1)1(1,2)2y+0-0+y+a+aa-2+a当x=2时,f(x)max=2+a,即a+23a2,解得a1.全新视角拓展解:(1)因f(x)=ax3+bx+c,故f(x)=3ax2+b.由于f(x)在点x=2处取得极值c-16.故有即化简得解得a=1,b=-12.(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).令f(x)=0,得x1=-2,x2=2.当x(-,-2)时,f(x)0,故f(x)在(-,-2)上为增函数;当x(-2,2)时,f(x)0,故f(x)在(2,+)上为增函数.由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x2=2处取得极小值f(2)=c-16.由题设条件知16+c=28得c=12.且f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4,因此f(x)在-3,3上的最小值为f(2)=-4.
