1、2012届高三压轴题专题训练(定义新概念型综合题)1、已知在平面直角坐标系中,若在曲线的方程中,以为正实数)代替得到曲线的方程,则称曲线关于原点“伸缩”,变换称为“伸缩变换”,称为伸缩比w.w.w.k.s.5.u.c.o.m()已知曲线的方程为,伸缩比,求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的标准方程;()射线的方程,如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆,若射线与椭圆分别交于两点,且,求椭圆的标准方程;()对抛物线,作变换,得抛物线;对作变换得抛物线,如此进行下去,对抛物线作变换,得抛物线若,求数列的通项公式2对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完
2、后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1a3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.()分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;()若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.3、对于区间上有意义的两个函数和,如果对任意的,均有,则称与在上是接近的,则称否与在上是非接近的。现有两个函数 (1)求的定义域; (2)若在整个给定区间上都有意
3、义,求a的取值范围;讨论在整个给定区间上是不时是接近的。4、(1)已知的三个顶点为,求的面积(2)对于的三个顶点定义三阶行列式(当三点逆时针排列时,三阶行列式的值为正),试对(1)中计算三阶行列式的绝对值的值,说明其与的面积的关系,并由此猜想三阶行列式的绝对值的几何意义(3)若的顶点在直线上运动,顶点,顶点在线段上运动,且三点的横坐标成等差数列,请问的面积是否存在最大值?若存在求出最大值,若不存在,说明理由5、已知二次函数同时满足:不等式的解集有且只有一个元素;在定义域内存在,使得不等式成立。设数列的前(1)求数列的通项公式;(2)设(3)设各项均不为零的数列中,所有满足这个数列的变号数。另6
4、、把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表:13 57 9 11 设是位于这个三角形数表中从上往下数第行,从左往右数第个数。(1) 若,求的值;(2) 已知函数的反函数为,若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为,求数列的前项和。7、在直角坐标平面xoy上的一列点简记为,若由构成的数列满足其中是y轴正方向相同的单位向量,则为T点列(1)判断是否为T点列,并说明理由;(2)若为T点列,且点在的右上方,任取其中连续三点,判定的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形),并予以证明;(3)若为T点列,正整数满足.求证:8、定义函数(1)求证:(2)是否存在区间a,0(a 0的情
5、形。设 若所以,在中另有一根,矛盾。若所以,在中另有一根,矛盾。 以下证明,对任意符合题意。当图象在连接两点(0,0),的线段的上方知当当综上,有且仅有一个解x=0, 满足题意。综上所述: 14分10、解:(1)方法一:如图,分别以CA、DB为、轴建立空间直角坐标系因为,所以,-4分 -6分因为异面直线所成角为锐角,故异面直线与所成的角为-7分 方法二:见文科答案与评分标准ABEDFCABEDFC(2)正子体体积不是定值-8分设与正方体的截面四边形为 , 设 则-9分 故-12分 -14分11、()解:,;,()证明:设每项均是正整数的有穷数列为,则为,从而又,所以,故()证明:设是每项均为非
6、负整数的数列当存在,使得时,交换数列的第项与第项得到数列,则当存在,使得时,若记数列为,则所以从而对于任意给定的数列,由可知又由()可知,所以即对于,要么有,要么有因为是大于2的整数,所以经过有限步后,必有即存在正整数,当时,12、a=1, b=1;m的最小值为5;13、13、解:()依题意, 4分()由,故是公差为的等差数列8分又, 9分由得 10分 得 14、分析:本题属于信息迁移题,主要考查利用导数求函数的极值解:(1),切线方程为(2)函数f(x)=x3x+a(x1,1,aR)的导数是f(x)=3x21,当3x21=0时,即x=,当x时,f(x)=3x210;当x时,f(x)=3x21
7、0,故f(x)在x1,1内的极小值是a同理,f(x)在x1,1内的极大值是a+f(1)=f(1)=a,函数f(x)=x3x+a(x1,1,aR)的最大值是a+,最小值是a,因为|f(x1)f(x2)|fmaxfmin|,故|f(x1)f(x2)|fmaxfmin|=1所以函数f(x)=x3x+a(x1,1,aR)是“Storm函数”15、解:(1); (2),,,有最大值;即每年建造12艘船,年利润最大(8分)(3),(11分)所以,当时,单调递减,所以单调区间是,且16、解:(1)当时, 因为在上递减,所以,即在的值域为故不存在常数,使成立所以函数在上不是有界函数。 4分(没有判断过程,扣2
8、分) (2)由题意知,在上恒成立。5分, 在上恒成立6分 7分设,由得 t1,设,所以在上递减,在上递增,9分(单调性不证,不扣分)在上的最大值为, 在上的最小值为 所以实数的取值范围为。11分(3), m0 , 在上递减,12分 即13分当,即时, 14分此时 ,16分当,即时, 此时 , -17分综上所述,当时,的取值范围是;当时,的取值范围是1817、解:(1);的等比数列,故至少操作7次;(2)而.18、解:(I)是“保三角形函数”,不是“保三角形函数” 1分任给三角形,设它的三边长分别为,则,不妨假设,由于,所以是“保三角形函数”. 3分对于,3,3,5可作为一个三角形的三边长,但,
9、所以不存在三角形以为三边长,故不是“保三角形函数” 4分(II)设为的一个周期,由于其值域为,所以,存在,使得,取正整数,可知这三个数可作为一个三角形的三边长,但,不能作为任何一个三角形的三边长故不是“保三角形函数” 8分(III)的最大值为 9分一方面,若,下证不是“保三角形函数”.取,显然这三个数可作为一个三角形的三边长,但不能作为任何一个三角形的三边长,故不是“保三角形函数”.另一方面,以下证明时,是“保三角形函数”对任意三角形的三边,若,则分类讨论如下:(1),此时,同理,故,同理可证其余两式.可作为某个三角形的三边长(2)此时,可得如下两种情况:时,由于,所以,.由在上的单调性可得;
10、时,同样,由在上的单调性可得;总之,.又由及余弦函数在上单调递减,得,同理可证其余两式,所以也是某个三角形的三边长故时,是“保三角形函数”综上,的最大值为19、解:()设 由 又 3分 于是 由得或; 由得或 故函数的单调递增区间为和,单调减区间为和 4分()由已知可得, 当时, 两式相减得或当时,若,则这与矛盾 6分于是,待证不等式即为为此,我们考虑证明不等式令则,再令, 由知当时,单调递增 于是即 令, 由知当时,单调递增 于是即 由、可知 10分所以,即 11分()由()可知 则 在中令,并将各式相加得 即20、解 ()由得, -1分当时,此时, -2分,所以是直线与曲线的一个切点; -
11、3分当时,此时, -4分,所以是直线与曲线的一个切点; -5分所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点; 对任意xR,所以 -6分因此直线是曲线的“上夹线” -7分()推测:的“上夹线”的方程为 -9分先检验直线与曲线相切,且至少有两个切点:设: ,令,得:(kZ) -10分当时,故:过曲线上的点(,)的切线方程为:y= (),化简得:即直线与曲线相切且有无数个切点 -12分不妨设下面检验g(x)F(x)g(x)F(x)= 直线是曲线的“上夹线”21()当为增函数,1分 2分 同理时,为增函数, 3分4分 又表示满足的正整数的个数5分6分()当为正整数,且,时,为增函数, 8分 9分又表示满足的正整数的个数,10分共个11分 12分()由(2)知:13分= 14分 15分 16分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m