1、高一数学 2021-04 阶考 第 1页共 2 页树德中学高 2020 级高一下期 4 月阶段性测试数学试题一、选择题（每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）1.0000cos8 cos22sin8 sin 22（）A.23B.21C.21D.232.已知向量1,2a，3,0b，若aba rrr，则实数 （）A0B 12C 35D 343.已知3cos,(,)52，则 tan()4 的值为（）A.7B.7C.8D.84.下列结论表述正确的是（）A若,a bR，则222abab恒成立B若,a bR，则2abba恒成立C若0a，0b，则2222abab成立D函
2、数131yxxx的最小值为 35.已知|3,ba在b方向上的投影为32，则a b 的值为（）A 92B92C2D.26.将函数sin 23 cos2yxx的图像沿 x 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，则 的最小值为（）A.12B.65C.125D.127.0000(1tan11)(1tan 47)(1tan88)(1tan124)=（）A.2B.2C.4D.48.在 ABC中，60,23BABBC，则 tan A 的值为（）A.32B.12C.2D.39.已知不等式 263 2 sincos6 cos04442xxxfxm对于任意的566x恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A.3
3、m B.3m C.3m D.33m10.在 ABC中,4ABAC BC,120BAC,3BEEC,若 P 是 BC 边上的动点,则 AP AE 的取值范围是()A.1,3B.2,33C.2 10,33D.10 1,311.已知 ABC的内角,A B 及其对边,a b 满足tantanababAB，则 ABC为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.不能确定12.如图,在 ABC中,E F 分别为边,AB AC 上的点,且3,3,ABAE ACAF P 为 EF 上任意一点,实数,x y 满足0PAxPByPC,设,ABCPBCPCA PAB的面积分别为123,S S SS,记3
4、12123,SSSSSS,则当23取最大值时,3xy的值为()A.52B.32C.14D.12二、填空题(本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分)13.一艘船以 32 海里/小时的速度向正北航行，在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 30，半小时后航行到 B 处，在 B 处看到灯塔 S 在船的北偏东 75，则灯塔 S 与 B 点的距离为海里14.设0a，0b，若 22ab，则 12ab的最小值为15.已 知 直 角 梯 形 ABCD 中，,90,2,1,ADBCADCADBCP是 腰 DC 上 的 动 点，则23PAPB的最小值为_16.在 ABC中，有以下四个说法：若 ABC为锐角三角
5、形，则BAcossin；若 AB,则cos2cos2AB；存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍；存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的三倍；其中正确的说法有_（把你认为正确的序号都填在横线上）12 题图高一数学 2021-04 阶考 第 2页共 2 页三、解答题（本大题共 6 小题，17 小题 10 分，18-22 每小题 12 分，共 70 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题共 10 分）（1）求值：132sin102cos10；（2）化简：1111 cos21 sin2222（32）。18.（本小题共 12 分）如图，D、E 分
6、别是ABC的边 BC 的三等分点，设,ABm ACn，60BAC。（1）用,m n 分别表示,AD AE；（2）若15,3 3AD AEBC，求ABC的面积。19.（本小题共 12 分）已知向量cos,tan()224xxa（2，(2 sin(),tan()2424xxb，令()f xa b。（1）若1()3f x，求sin 2x 的值；（2）是否存在实数(0,)x，使()()02f xf x，若存在，则求出 x 的值；若不存在，请说明理由。20（本小题共 12 分）如图，在凸四边形 ABCD 中，C、D 为定点，CD3，A，B 为动点，满足ABBCDA1。（1）若4C，求cos A的值；（2
7、）设 BCD和 ABD的面积分别为 S 和T，求22ST的最大值。21.（本小题共 12 分）如图所示，某镇有一块空地 OAB，其中3km,60,90OAOABAOB。当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 OMN，其中,M N 都在边 AB 上，且30MON，挖出的泥土堆放在 OAM地带上形成假山，剩下的 OBN地带开设儿童游乐场。设AOM。（1）若=15，问此时人工湖用地 OMN的面积是堆假山用地 OAM的面积的多少倍；（2）为节省投入资金，人工湖 OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 OMN的面积最小，最小面积是多少。22.（本小题共 12 分）已知函
8、数()sincossincos1(,)f xaxbxcxxa b cR（1）当1abc 时，求()f x 的值域；（2）当1,0ac时，设()()1g xf x，且()g x 关于直线6x对称，当30,2x时，方程()0g xm恰有两个不等的实根，求实数 m 的取值范围；（3）当3,2,0abc时，若实数,m n p 使得()()1mf xnf xp对任意实数 x 恒成立，求cos2021pmn的值。高一数学 2021-04 阶考 第 3页共 2 页树德中学高 2020 级高一下期 4 月阶段性测试数学试题答案一选择题1-5:DCBCB6-10:ACAAC11-12:BD二填空题13.8 21
9、4.415.716.三解答题17.【详解】（1）原式132cos10sin1022cos103sin102sin10cos10sin 202sin(3010)2sin 20（2）原式222111112cossincoscossincos222222222sinsincos222，33sincos0222422所以，原式=sin(sincos)222=cos 218.【详解】（1）根据向量的线性运算法则，可得13ADABBDABBC12121()33333ABACABABACmn，221212()333333AEABBEABBCABACABABACmn所以2133ADmn，1233AEmn（2）
10、由 BCACABmn，因为3 3BC，可得222()23 3BCmnmnmnm n,即22227mnm n，又由222112225()()153333999AD AEmnmnmnm n ，解得9m nur r，所以918cos60mn，所以ABC的面积19 3|sin 6022 Smn。19.【详解】（1）()2 2 cossin()tan()tan()2242424xxxxf xa b 1tantan122222 2 cos(sincos)222221tan1tan22xxxxxxx22cossin2cos1222xxxsincosxx由1()sincos3f xxx，平方得11 sin 2
11、9x，8sin 2.9x（2）由()()02f xf x得，sincossin()cos()022xxxx，2cos0 x，又(0,)x2x但是当2x时，tan()24x无意义，所以不存在满足条件的实数。20.【详解】（1）连接 BD，CD=3，AB=BC=DA=1，在BCD 中，利用余弦定理得：BD2=BC2+CD2-2BCCDcosC=4 2 3cosC；在ABD 中，BD2=2-2cosA，4-23 cosC=2-2cosA，则 cosA=3 cosC-1；cosA2631122（2）由 S=12BCCDsinC=32sinC，T=12ABADsinA=12sinA，cosA=3 cos
12、C-1，S2+T2=34sin2C+14sin2A=34（1-cos2C）+14（1-cos2A）=32cos2C+32cosC+34=32（cosC36）2+78。则当 cosC=36时，S2+T2 有最大值 78。21.【详解】（1）由15 时，在三角形OAM 中，由正弦定理得sin60sin60sin15sin15OMAMAMOM，在三角形OMN 中，18060153075ONA ，由正弦定理得sin30sin60sin30sin30sin75sin75sin75 sin15MNOMOMAMMN.高一数学 2021-04 阶考 第 4页共 2 页所以sin 60sin30sin 60si
13、n30sin 60sin302sin 6031sin 75 sin15cos15 sin15sin302MNAM.以O 为顶点时，OMN和OAM的高相同，所以3,3OMNOMNOAMOAMSMNSSSAM，即人工湖用地 OMN的面积是堆假山用地OAM的面积的3 倍.（2）在三角形OAN 中，180603090ONA，由正弦定理得333 sin603 3sin60sin 90coscos2cosONON.在三角形OAM 中，18060OMA，由正弦定理得333 sin603 3sin60sin 18060sin60sin602sin60OMOM.所以113 33 3271sin3024 2cos
14、2sin6016 sin60cosOMNSOMON 27116sin cos60cos sin60cos 227127116161313 1 cos2sincoscossin 222422271271168133133sin 2cos2sin 2cos24442222712718432sin 2603sin 2602 .由于0,60AOM，所以当 26090,15 时，OMNS最小值为227 232712723km444232323.22.【详解】（1）由()sincossincos1f xxxxx，令sincos2 sin()2,24txxx 所以21sin cos2txx，即221(1)(
15、)122ttf tt ，所以值域为32 20,2（2）由2()sincos1sin()g xxbxbx，又()g x 关于直线6x对称22max13()()11622gg xbbb3b()sin3 cos2sin()3g xxxx，令11,336tx，即 2sintm在11,36 上有两个不等实根 sin2mt 在11,36 上有两个不等实根作出图象得 m 的取值范围是 2132mm 或。（3）当3,2,0abc时，则()3sin2cos1f xxx由题可得()13sin()1f xx，()13sin()1f xpxp，其中20 且32tan，于是()()1mf xnf xp可化为 13sin()13 sin()1mxnxpmn，即 13sin()13 sin()cos13 sincos()(1)0mxnxpnpxmn，所以 13(cos)sin()13 sincos()(1)0mnpxnpxmn。由已知条件，上式对任意 xR恒成立，故必有cos0(1)sin0(2)10(3)mnpnpmn，若0n，则由(1)知0m，显然不满足(3)式，故0n。所以，由(2)知 sinp=0，故 p=2k+或 p=2k(kZ)。当 p=2k时，cosp=1，则(1)、(3)两式矛盾。故 p=2k+(kZ)，cosp=1。由(1)、(3)知12mn，所以cos120211011pmn 。
