1、数 学 选修2-2 人教A版新课标导学第二章 推理与证明 同学们，你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗？你知道人们怎样认识浩瀚无际的宇宙的吗？你看过福尔摩斯探案集吗？你了解哥德巴赫猜想吗？你知道考古学家怎样推断遗址的年代，医生怎样诊断病人的疾病，警察怎样破案，气象专家怎样预测天气，数学家怎样论证命题的真伪吗？这一切都离不开推理而证明的过程更离不开推理本章我们将学习两种基本推理合情推理与演绎推理学习数学证明的基本方法分析法、综合法、反证法等要通过本章的学习养成言之有据，证明过程语言条理、逻辑规范的好习惯.2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理1 自主预习学案 2 互动探究学案
2、3 课时作业学案 自主预习学案内经针刺篇记载了这样一个故事：有一个患头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破脚趾，出了一点血，但头不疼了当时他没有注意后来头疼复发，又偶然碰破同一脚趾，头疼又好了这次引起了他的注意，以后每次头疼时，他就有意刺破该处，都有效应(这个樵夫碰的地方，即现在所称的“大敦穴”)现在我们要问，为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破原脚趾处呢？这里面有怎样的数学知识呢？1归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的_具有某些特征，推出该类事物的_都具有这些特征的推理，或者由_概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称_)由两类对象具有_和其中一类对象的_，推出另一类对象也具有_的推
3、理称为类比推理(简称_)特征归纳推理是由_到_、由_到_的推理类比推理是由_到_的推理部分对象全部对象个别事实归纳某些类似特征某些已知特征这些特征类比部分整体个别一般特殊特殊 2.合情推理含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过_、_、比较、_，再进行_、_，然后提出_的推理我们把它们统称为合情推理通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理过程从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出_观察分析联想归纳类比猜想猜想1(2019周口期末)下列表述正确的是()归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类
4、比推理是由特殊到特殊的推理A BCDA解析 根据题意，归纳推理，就是由部分到整体的推理故对错；由所谓演绎推理是由一般到特殊的推理故对；类比推理是由特殊到特殊的推理故对错，则正确的是，故选A2鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的该过程体现了()A归纳推理 B类比推理C没有推理D以上说法都不对解析 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理B3等差数列an中，an0，公差d0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数 列 bn
5、中，若 bn0，q1，写 出b5，b7，b4，b8 的一个不 等关系_.解析 将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4b8b5b7.4观察下列等式：1323(12)2,132333(123)2,13233343(1234)2，根据上述规律，第四个等式为_.解析 由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加1，因此，第四个等式为1323334353(12345)2.b4b8b5b7 1323334353(12345)2互动探究学案命题方向1 归纳推理典例 1已知下列等式成立：122113，
6、1221142125，12211421162137，122114211621182149，试根据以上几个等式，归纳出一个一般性结论，用等式表示，并用数列中的方法加以证明思路分析 分析给出的各个等式左边的项数，各项的分母的取值特点，分析等号右边的结果与项数的关系，从而写出一般性的结果解析 从给出的各个等式可以看出：第 1 个等式左边有 1 项，右边为1211，第 2 个等式左边有 2 项，右边为2221，第 3 个等式左边有 3 项，右边为3231，第 4 个等式左边有 4 项，右边为4241，由此可以归纳出的一般性的结论为12211421162112n21n2n1(nN*)以下用数列的方法证明
7、该等式成立12211421162112n21 113 135 15712n12n112(11131315151712n112n1)12(1112n1)n2n1.规律总结 由已知数式进行归纳推理的步骤 分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征 提炼出等式(或不等式)的综合特点 运用归纳推理得出一般结论.跟踪练习 1观察下列不等式：121112，13(113)12(1214)，14(11315)13(121416)，15(1131517)14(12141618)，试写出第 n 个不等式解析 第 1 个不等式为121112，即 11111 121，第 2 个不等式为1
8、3(113)12(1214)，即 121(11221)12(121 122)，第 3 个不等式为14(11315)13(121416)，即 131(112211231)13(121 122 123)，第 4 个不等式为15(1131517)14(12141618)，即 141(1122112311241)14(121 122 123 124)，归纳可得第 n 个不等式为 1n1(1131512n1)1n(12141612n)(nN*)下图是用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律，第n个图案中需用灰色瓷砖_块(用含n的代数式表示)命题方向2 图形中的归纳推理4n8 典例 2思
9、路分析 分析给出的 3 个图形中灰色瓷砖数目、白色瓷砖数目以及它们的和之间的关系，猜测一般结论解析 第(1)，(2)，(3)，个图案灰色瓷砖数依次为15312,24816,351520，由此可猜测第n个图案灰色瓷砖数为(n2)(n4)n(n2)4(n2)4n8.规律总结 通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理解答该类问题的一般策略是：B跟踪练习 2有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26 B31C32 D36解析 有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 第
10、一个 第二个 第三个 个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项，以 5 为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 65(61)31.故选 B圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合；球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合这两个定义很相似于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质试将平面上的圆与空间中的球进行类比命题方向3 事物的相似性与类比典例 3解析 圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：弦 截面圆，直径 大圆，周长 表面积，圆面积 球体积，等等于是，根据圆的性质，可以猜测球
11、的性质如下表所示：圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆心的连线垂直于截面圆的性质球的性质与圆心距离相等的两弦相等；圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆是等圆；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于经过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心圆的周长 Cd球的表面积 Sd2圆的面积 Sr2球的体积 V43r3规律总结 运用类比推理要在合适的类比对象
12、之间进行，可以从其形式、结构、维数等不同方向进行例如相等与不等的类比(解一元二次方程与解一元二次不等式的类比)，升维类比(圆与球、三角形与四面体)，概念与性质(分解因式与分解因数、等差数列与等比数列)等等跟踪练习3将平面图形与空间图形作类比，按可作类比的属性填空.四面体 平面图形空间图形点线线面圆球三角形_线线角_边长_周长_面积_二面角 面积 表面积 体积 命题方向4 类比推理典例 4 如图，已知 O 是ABC 内任意一点，连接 AO、BO、CO 并延长交对边分别于 A、B、C，则OAAAOBBBOCCC1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”；OAAAOBBBOCCCSOBCSA
13、BCSOCASABCSOABSABCSABCSABC1.请运用类比思想，对于空间中的四面体 VBCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明思路分析 考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应的结论在证明四面体中类似结论时，可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论解析 在四面体 VBCD 中，任取一点 O，连接 VO、DO、BO、CO 并延长分别交四个面于 E、F、G、H 点，则OEVEOFDFOGBGOHCH1.证明：在四面体 OBCD 与 VBCD 中，设底面 BCD 上的高分别为 h，h，则OEVEhh 13SBCDh13SBC
14、DhVOBCDVVBCD.同理有：OFDFVOVBCVDVBC；OGBGVOVCDVBVCD；OHCHVOVBDVCVBD，OEVEOFDFOGBGOHCHVOBCDVOVBCVOVCDVOVBDVVBCDVVBCDVVBCD1.规律总结 1.类比推理的思维过程大致为：观察、比较 相似性一致性 联想、类推 猜测新的结论2类比推理的一般步骤：(1)通过观察、分析，找出两类事物之间的相似性或一致性(2)通过类比、联想，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)(3)通过推理论证，证明结论或推翻结论一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，
15、那么类比得出的结论就越可靠类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值.跟踪练习 4平面几何里有“设直角三角形 ABC 的两直角边分别为 a，b，斜边上的高为 h，则 1a2 1b2 1h2”，拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱锥 ABCD 的三条侧棱两两垂直，其长分别为 a，b，c，平面 BCD 上的高为 h，则_”1a2 1b21c2 1h2解析 如图所示，设 A 在底面的射影为 O，连接 BO 并延长交 CD 于 E.连接AE，由 ABAC，ABAD 得 AB平面 ACDABAE.设 AEh1，在A
16、BE 中，由已知可得 1a2 1h21 1h2.又易证 CD平面 ABE，CDAE.在ACD 中有 1h21 1b21c2，1a2 1b21c2 1h2.归纳推理具有从特殊到一般，从具体到抽象的认知功能，在求数列的通项公式或前n项和的问题中，经常用归纳推理得出关于前有限项的结论，此时要注意把它们的表达式的结构形式进行统一，以便于寻找规律，归纳猜想得出结论其具体步骤是：(1)通过条件求得数列中的前几项；(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式归纳推理在数列中的应用已知数列an满足a11，an12an1(n1,2,3，)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项an的表达式典
17、例 5 思 路 分 析 由a1求a2由a2求a3由a3求a4由a4求a5 分析a1，a2，a3，a4，a5的结构特征 猜想通项公式an解析(1)已知a11，an12an1，则a22113，a32317，a427115，a5215131.(2)由a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，可归纳猜想出an2n1(nN*)规律总结(1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论(2)解决数列中的归纳推理问题
18、时，通常是将所给等式中的n取具体值1,2,3,4，然后求得a1，a2，a3，a4，的值或S1，S2，S3，S4，的值，根据这些结果进行归纳得到结果跟踪练习5已知a13，an1a(n1,2，)，试通过归纳推理得出数列an的通项公式，并给出证明解析 由 a13，an1a2n，得 a232，a3(32)2322，a4(322)2323，a5(323)2324，an32n1(n1,2，)证明如下：由条件知 an0，于是 lgan1lga2n2lgan(n1,2，)又因为 lga10，故lgan是以 2 为公比的等比数列，进而得 lgan2n1lg3lg32n1，即 an32n1(n1,2，)在下列类比
19、推理中，正确的有_.把a(bc)与loga(xy)类比，则有loga(xy)logaxlogay；把a(bc)与sin(xy)类比，则有sin(xy)sinxsiny.把实数a，b满足：“若ab0，b0，则a0”类比平面向量的数量积，“若ab0，b0，则a0”因类比不当致误典例 6平面上，“在ABC 中，ACB 的平分线 CE 将三角形分成两部分的面积比SAECSBECACBC”，将这个结论类比到空间中，有“在三棱锥 ABCD 中，平面 DEC 平分二面角 ACDB，且与 AB 交于点 E，则平面 DEC 将三棱锥分成两部分的体积比VACDEVBCDESACDSBDC”错解.辨析 没有抓住类比
20、推理的实质正解 中，loga(xy)与sin(xy)都是一个整体，而a(bc)中a与bc是两个各自独立的部分，它们之间没有可类比性；中由a，b两数的积，类比到a，b两向量的数量积，类比形式正确，但类比结论错误；中，将平面上直线将三角形分成两部分的面积比、类比到空间中平面将三棱锥分成两部分的体积比，将角的两边，类比到二面角的两个面，类比形式正确，易证类比结论也是正确的点评 进行类比推理时，要从其形式、结构、维数等类似特征入手，要抓住本质属性中相似或相同之处作类比1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A BCDA解析 观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次
21、，每行、每列有两阴影一空白，即得结果2根据给出的数塔猜测12345697等于()192111293111123941111123495111111234596111111A1111110B1111111C1111112D1111113B解析 由题意得，19211,1293111,123941111,12349511111,1234596111111，可得n位数与9相乘加上n1的结果是(n1)个1，123456971111111，故选B3(2019乃东县校级期中)下面几种推理是合情推理的是_.由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内
22、角和都是180；教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得出凸多边形的内角和是(n2)180.解析 根据题意，依次分析4个推理：对于，在推理过程由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理；对于，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；对于，不是合情推理，对于，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程，是归纳推理；则是合情推理的是.故答案为.4在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b91，则有等式_成
23、立b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)解析 解法 1：从分析所提供的性质入手：由 a100，可得 aka20k0，因而当 n19n 时的情形由此可知：等差数列an之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：an1a19n2a100，类似地，在等比数列bn中，也有性质：bn1b17nb291，因而得到答案：b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)解法 2：因为在等差数列中有“和”的性质 a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，故在等比数列bn中，由 b91，可知应有“积”的性质b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)成立.(1)证明如下：当 n8 时，等式(1)为 b1b2bnb1b2bnbn1b17n，即：bn1bn2b17n1.(2)b91，bk1b17kb291.bn1bn2b17nb172n91.(2)式成立，即(1)式成立；当 n8 时，(1)式即：b91 显然成立；当 8n17 时，(1)式即：b1b2b17nb18nbnb1b2b17n，即：b18nb19nbn1(3)b91，b18kbkb291，b18nb19nbnb2n1791，(3)式成立，即(1)式成立综上可知，当等比数列bn满足 b91 时，有：b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)成立课时作业学案
