1、2015-2016学年广西北海市合浦县廉州中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题只有一个选项符合要求，每小题5分，共60分）1已知=b+i，（a，bR）其中i为虚数单位，则ab=（）A3B2C1D12用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A假设三内角都不大于60度B假设三内角都大于60度C假设三内角至多有一个大于60度D假设三内角至多有两个大于60度3数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有（）种A ABCCC34C 43DCCC434证
2、明不等式（a2）所用的最适合的方法是（）A综合法B分析法C间接证法D合情推理法5函数y=，x（，0）（0，）的图象可能是下列图象中的（）ABCD6观察（x2）=2x，（x4）=4x3，（cosx）=sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（x）=（）Ag（x）Bf（x）Cf（x）Dg（x）7用数学归纳法证明“”时，由n=k的假设证明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）ABCD8由1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，得到1+3+（2n1）=n2用的是 （）A特殊推理B演绎推理C
3、类比推理D归纳推理9下面给出了关于复数的三种类比推理：其中类比错误的是（）复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；由向量的性质|2=2可以类比复数的性质|z|2=z2；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义ABCD10下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）A大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数C大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数D大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数11设f（
4、x）是函数f（x）的导函数，y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）ABCD12函数f（x）的定义域为R，f（1）=2015，对任意的xR都有f（x）3x2成立，则不等式f（x）x3+2016的解集为（）A（1，+）B（1，0）C（，1）D（，+）二、填空题（每小题5分，共20分）13若a=x2dx，b=x3dx，c=sinxdx，则a，b，c从小到大的顺序为_14一物体沿斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s=3t3，则当t=1时，该物体在水平方向的瞬时速度为_15有10块相同巧克力，小华每天至少吃一块，4天吃完则共有_种吃法（用数字作答 ）16
5、已知函数f（x）可导，且f（x）f（x），若a0则f（a）与eaf（0）的大小为：_三、解答题（17题10分，其余各题12分，共70分）17（理）（1）求证：当a2时， +2；（2）已知xR，a=x2+，b=2x，c=x2x+1，试证明a，b，c至少有一个不小于118如图所示，抛物线y=1x2与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上已知工业用地每单位面积价值为3a元（a0），其它的三个边角地块每单位面积价值a元（）求等待开垦土地的面积；（）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大19已知函数y=f
6、（x）=（1）求函数f （x）的图象在x=处的切线方程；（2）求y=f（x）的最大值20设f（n）=（1+）nn，其中n为正整数（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）猜想满足不等式f（n）0的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想21设函数f（x）=（x23x+1）ex（1）求函数f（x）的极大值和极小值（2）直线y=m与函数f（x）的图象有三个交点，求m的范围22设函数f（x）=ax（1）若函数f（x）在（1，+）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的取值范围2015-2016学年广西北海市合浦县廉州中学高二（下
7、）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个选项符合要求，每小题5分，共60分）1已知=b+i，（a，bR）其中i为虚数单位，则ab=（）A3B2C1D1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出【解答】解： =b+i，a+2i=bi1，ab=3故选：A2用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A假设三内角都不大于60度B假设三内角都大于60度C假设三内角至多有一个大于60度D假设三内角至多有两个大于60度【考点】反证法与放缩法【分析】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；
8、“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”故选B3数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有（）种A ABCCC34C 43DCCC43【考点】计数原理的应用【分析】先分组，再分配，最后选
9、组长，根据分步计数原理可得【解答】解：将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题有C123C93C63C33，最后选一名组长各有3种，故不同的分配方案为：C123C93C6334，故选：B4证明不等式（a2）所用的最适合的方法是（）A综合法B分析法C间接证法D合情推理法【考点】分析法和综合法【分析】欲比较的大小，只须比较，先分别求出左右两式的平方，再比较出两平方式的大小从结果来找原因，或从原因推导结果，证明不等式所用的最适合的方法是分析法【解答】解：欲比较的大小，只须比较，（）2=2a1+2，（）2=2a1+，只须比较，的大小，以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法
10、故选B5函数y=，x（，0）（0，）的图象可能是下列图象中的（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可【解答】解：是偶函数，排除A，当x=2时，排除C，当时，排除B、C，故选D6观察（x2）=2x，（x4）=4x3，（cosx）=sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（x）=（）Ag（x）Bf（x）Cf（x）Dg（x）【考点】归纳推理【分析】由已知中（x2）=2x，（x4）=4x3，（cosx）=sinx，分析其规律，我们可以归纳推断出，偶函数的导函数为奇函数，再结合函数奇偶性的性质，即
11、可得到答案【解答】解：由（x2）=2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；（x4）=4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；（cosx）=sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，又g（x）为f（x）的导函数，则g（x）奇函数故g（x）+g（x）=0，即g（x）=g（x），故选A7用数学归纳法证明“”时，由n=k的假设证明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）ABCD【考点】数学归纳法【分析】当n=k+1时，右边=，由此可得结论【解答】解：由所证明的等式，当n=
12、k+1时，右边=故选D8由1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，得到1+3+（2n1）=n2用的是 （）A特殊推理B演绎推理C类比推理D归纳推理【考点】合情推理的含义与作用【分析】观察几个特殊的等式，发现左边是连续奇数的和，右边是自然数的平方，得到的结论是n个连续奇数的和为n2，是由特殊到一般的推理，即归纳推理【解答】解：由已知中等式：1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，由此我们可以推论出一个一般的结论：对于nN*，1+3+（2n1）=n2这里运用了由特殊到一般的数学方法，故用的是归纳推理而演绎推理是一般到特殊的推理，类比推理是特殊到特殊的
13、推理故选D9下面给出了关于复数的三种类比推理：其中类比错误的是（）复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；由向量的性质|2=2可以类比复数的性质|z|2=z2；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义ABCD【考点】类比推理【分析】利用复数的加减法运算法则判断出对；利用复数加法的几何意义判断出对；通过举反例判断出命题错【解答】解：对于复数的加减法运算法则判断出对；对于向量a的性质|2=2，但|z|2是实数，但z2不一定是实数，如z=i，就不成立，故错；对于复数加法的几何意义判断出对，故选：A10下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）A大前提：无限不循环小数是
14、无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数C大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数D大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数【考点】演绎推理的意义【分析】根据三段论推理的标准形式，逐一分析四个答案中的推导过程，可得出结论【解答】解：对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式；故选：B11设f（
15、x）是函数f（x）的导函数，y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）ABCD【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间【解答】解：由y=f（x）的图象易得当x0或x2时，f（x）0，故函数y=f（x）在区间（，0）和（2，+）上单调递增；当0x2时，f（x）0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C12函数f（x）的定义域为R，f（1）=2015，对任意的xR都有f（x）3x2成立，则不等式f（x）x3+
16、2016的解集为（）A（1，+）B（1，0）C（，1）D（，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】令g（x）=f（x）x32016，求导g（x）=f（x）3x2，从而确定不等式的解集【解答】解：令g（x）=f（x）x32016，g（x）=f（x）3x2，对任意的xR都有f（x）3x2成立，对任意的xR，g（x）0，g（x）=f（x）x32016在R上是减函数，且g（1）=f（1）+12016=2015+12016=0，故不等式f（x）x3+2016的解集为（1，+），故选：A二、填空题（每小题5分，共20分）13若a=x2dx，b=x3dx，c=sinxdx，则a，b，c从小到大的顺序为
17、cab【考点】微积分基本定理【分析】利用微积分定理分别求出a，b，c的数值，即可【解答】解：由微积分定理得a=x2dx=，b=x3dx=，c=sinxdx=，所以cab故答案为：cab14一物体沿斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s=3t3，则当t=1时，该物体在水平方向的瞬时速度为9【考点】导数的运算【分析】根据导数的物理意义进行求导即可【解答】解：S（t）=9t2，S（1）=9，故答案为：915有10块相同巧克力，小华每天至少吃一块，4天吃完则共有84种吃法（用数字作答 ）【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】10块相同巧克力可以分为（1，1，1，7），（1，1，
18、2，6），（1，1，3，5），（1，1，4，4），（1，2，2，5），（1，2，3，4），（1，3，3，3），（2，2，3，3），（2，2，2，4），共9组，分别求出每一组的分配种数，再根据分类计数原理可得【解答】解：10块相同巧克力可以分为（1，1，1，7），（1，1，2，6），（1，1，3，5），（1，1，4，4），（1，2，2，5），（1，2，3，4），（1，3，3，3），（2，2，3，3），（2，2，2，4），共9组，其中（1，1，1，7），（2，2，2，4），（3，3，3，1），共有3C41=12种，（1，1，4，4），（2，2，3，3），共有2C42=12种，（1，1，2，6），（
19、1，1，3，5），（1，2，2，5），共有312=36种，（1，2，3，4）共有A44=24种，根据分类计数原理，共有12+12+36+24=84种，故答案为：8416已知函数f（x）可导，且f（x）f（x），若a0则f（a）与eaf（0）的大小为：f（a）eaf（0）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】设函数f（x）=e2x，则导函数f（x）=2e2x，显然满足f（x）f（x），由f（a）=e2a，eaf（0）=ea，比较得出结论【解答】解：由题意知，可设函数f（x）=e2x，则导函数f（x）=2e2x，显然满足f（x）f（x），f（a）=e2a，eaf（0）=ea，当a0时，显然 e2
20、aea ，即f（a）eaf（0）故答案为：f（a）eaf（0）三、解答题（17题10分，其余各题12分，共70分）17（理）（1）求证：当a2时， +2；（2）已知xR，a=x2+，b=2x，c=x2x+1，试证明a，b，c至少有一个不小于1【考点】反证法与放缩法【分析】（1）利用分析法，即可证明；（2）根据题意，首先假设命题错误，即假设a，b，c均小于1，进而可得a+b+c3，再分析a、b、c三项的和，可得矛盾，即可证原命题成立【解答】证明：（1）当a2时，要证成立只需证即证也就是证明a24a2即只需证40由于40显然成立，则原不等式成立（2）假设a，b，c没有一个不小于1，也即a1，b1，
21、c1则有a+b+c3将a，b，c带入得a+b+c=x2+2x+x2x+1=与a+b+c3矛盾则原命题成立18如图所示，抛物线y=1x2与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上已知工业用地每单位面积价值为3a元（a0），其它的三个边角地块每单位面积价值a元（）求等待开垦土地的面积；（）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；定积分在求面积中的应用【分析】（）先由定积分可求等待开垦土地的面积；（）进而可得工业用地面积，三个边角地块面积，由此可得土地总价值，利用导
22、数的方法可求函数的最值【解答】解：（）由，故等待开垦土地的面积为（）设点C的坐标为（x，0），则点B（x，1x2）其中0x1，土地总价值=由y=4a（13x2）=0得并且当时，故当时，y取得最大值答：当点C的坐标为时，整个地块的总价值最大19已知函数y=f （x）=（1）求函数f （x）的图象在x=处的切线方程；（2）求y=f（x）的最大值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）先求函数的定义域，然后求出导函数f（x），求出切点坐标以及f（）即为切线的斜率，在根据点斜式求出切线方程，化成斜截式即可；（2）令f（x）=0得：x=e，然后将定义域（0，+）
23、分成两部分，分别研究函数在（0，e）与（e，+）上的导数符号，从而得到函数的单调性，从而求出最值【解答】解：（1）f （x）定义域为（0，+），f（x）=f （）=e，切点为（，e）又k=f（）=2e2函数y=f （x）在x=处的切线方程为：y+e=2e2（x），即y=2e2x3e（2）令f（x）=0得：x=e当x（0，e）时，f（x）0，f （x）为增函数；当x（e，+）时，f（x）0，f （x）为减函数fmax （x）=f （e）=20设f（n）=（1+）nn，其中n为正整数（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）猜想满足不等式f（n）0的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想
24、【考点】数学归纳法；数列递推式【分析】（1）由f（n）=（1+）nn，可求得f（1），f（2），f（3）的值；（2）猜想：n3，f（n）=（1+）nn0，再利用数学归纳法证明即可：当n=3时，f（3）=0成立；假设当n=k（n3，nN+）时猜想正确，即k0，去证明当n=k+1（n3，nN+）时，f（k+1）=（k+1）0也成立即可【解答】解：（1）f（n）=（1+）nn，f（1）=1，f（2）=2=，f（3）=3=3=，（2）猜想：n3，f（n）=（1+）nn0，证明：当n=3时，f（3）=0成立，假设当n=k（n3，nN+）时猜想正确，即f（k）=k0，k，则当n=k+1时，由于f（k+1）
25、=（1+）（1+）k（1+）=k+k+1，k+1，即f（k+1）=（k+1）0成立，由可知，对n3，f（n）=（n）=（1+）nn0成立21设函数f（x）=（x23x+1）ex（1）求函数f（x）的极大值和极小值（2）直线y=m与函数f（x）的图象有三个交点，求m的范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）由已知得f（x）=（x2x2）ex=（x+1）（x2）ex，令f（x）=0，得x=1或x=2，列表讨论，能求出函数f（x）的极大值和极小值（2）当x0时，f（x）0，由此能求出当0m时，直线y=m与函数f（x）的图象有三个交点【解答】解：（1）f（x）=（x2
26、3x+1）ex，f（x）=（x2x2）ex=（x+1）（x2）ex，由f（x）=0，得x=1或x=2，列表讨论，得：x（，1）1（1，2）2（2，+）f（x）+00+f（x）极大极小f（x）极大=f（1）=，f（x）极小=f（2）=e2（2）当x0时，f（x）0，x时，f（x）0；x+时，f（x）+当0m时，直线y=m与函数f（x）的图象有三个交点22设函数f（x）=ax（1）若函数f（x）在（1，+）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）由已知得f（x）的定义域为（0，1）
27、（1，+），f（x）=a+在（1，+）上恒成立，由此利用导数性质能求出a的最大值；（2）命题“若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立”，等价于“当xe，e2时，有f（x）minf（x）max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围【解答】解：（）由已知得f（x）的定义域为（0，1）（1，+），f（x）在（1，+）上为减函数，f（x）=a+0在（1，+）上恒成立，a=（）2，令g（x）=（）2，故当=，即x=e2时，g（x）的最小值为，a，即aa的最小值为（）命题“若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立”，等价于“当xe，e2时，有f（x）minf（x）max+a”，由（）知，当xe，e2时，lnx1，2，1，f（x）=a+=（）2+a，f（x）max+a=，问题等价于：“当xe，e2时，有f（x）min”，当a，即a时，由（），f（x）在e，e2上为减函数，则f（x）min=f（e2）=ae2+，a，a当a0，即0a时，xe，e2，lnx，1，f（x）=a+，由复合函数的单调性知f（x）在e，e2上为增函数，存在唯一x0（e，e2），使f（x0）=0且满足：f（x）min=f（x0）=ax0+，要使f（x）min，a=，与a0矛盾，a0不合题意综上，实数a的取值范围为，+）2016年10月3日
