1、考点规范练27平面向量基本定理及向量的坐标表示基础巩固1.向量a=(3,2)可以用下列向量组表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)2.(2021贵州花溪模拟)已知向量AC,AD和AB在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,若AC=AB+AD(,R),则+等于()A.2B.-2C.3D.-33.在ABCD中,AD=(2,8),AB=(-3,4),对角线AC与BD相交于点M,则AM=()A.-12,-6B.-12,6C.12,-6D.12,64.已知OA=(5
2、,-2),OB=(-4,-3),且OP+AP+BP=0,其中O为坐标原点,则点P的坐标为()A.(-9,-1)B.13,-53C.(1,-5)D.3,-135.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=a+b(,为实数),则m的取值范围是()A.(-,2)B.(2,+)C.(-,+)D.(-,2)(2,+)6.(2021山东潍坊三模)如图,在平行四边形ABCD中,AE=13AC,若ED=AD+AB(,R),则+=()A.-13B.1C.23D.137.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面第一象
3、限内一点,且AOC=4,且|OC|=2.若OC=OA+OB,则+=()A.22B.2C.2D.428.(2021安徽滁州模拟)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,则a+b=.9.已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为.10.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.11.如图,已知在OCB中,A是CB的中点,D是线段OB上靠近点B的三等分点,DC和OA交于点E,设OA=a,OB=b.(1)用a和b表示向量OC,DC.(2)若OE=OA,求实数的值.能力提升12.在Rt
4、ABC中,A=90,点D是边BC上的动点,且|AB|=3,|AC|=4,AD=AB+AC(0,0),则当取得最大值时,|AD|的值为()A.72B.3C.52D.12513.若,是一组基底,向量=x+y(x,yR),则称(x,y)为向量在基底,下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为()A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)14.已知在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,A(0,2),|OB|2+|OA|2=20,若平面内点P满足PB=3PA,则|PO|的最大值为()A
5、.7B.6C.5D.415.(2021江苏南通模拟)如图,点C在半径为2的AB上运动,AOB=3.若OC=mOA+nOB(m,nR),则m+n的最大值为()A.1B.2C.233D.316.在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且3aBC+4bCA+5cAB=0,则abc=.17.如图所示,在ABO中,OC=14OA,OD=12OB,AD与BC相交于点M,设OA=a,OB=b.(1)试用向量a,b表示OM;(2)过点M作直线EF,分别交线段AC,BD于点E,F.记OE=a,OF=b,求证:1+3为定值.高考预测18.(2021湖北襄阳模拟)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为
6、a,b,c.设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,则角C的大小为()A.30B.60C.90D.120答案：1.B解析由题意知,A选项中e1=0,C,D选项中两个向量均共线,都不符合基底条件,故选B.2.A解析如图所示,建立平面直角坐标系,则AD=(1,0),AC=(2,-2),AB=(1,2).因为AC=AB+AD,所以(2,-2)=(1,2)+(1,0)=(+,2),所以2=+,-2=2,解得=-1,=3,所以+=2.3.B解析因为在ABCD中,有AC=AB+AD,AM=12AC,所以AM=12(AB+AD)=12(-1,12)=-12,6,故选B.4.B解析由题意知,
7、P是OAB的重心,又O为坐标原点,所以A(5,-2),B(-4,-3),所以点P的坐标为0+5-43,0-2-33,即13,-53.5.D解析因为平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=a+b(,为实数),所以a,b一定不共线,所以3m-2-2m0,解得m2,所以m的取值范围是(-,2)(2,+),故选D.6.D解析ED=AD-AE=AD-13AC=AD-13(AB+AD)=23AD-13AB,又ED=AD+AB,AD,AB不共线,根据平面向量基本定理可得=23,=-13,+=13.7.A解析因为A(1,0),|OC|=2,AOC=4,C为坐标平面第一象限内一点,所以C(2,2).又OC=OA
8、+OB,所以(2,2)=(1,0)+(0,1)=(,).所以=2,所以+=22.8.-32,3解析a+2b=(2m-1,4),2a-b=(-2-m,3).向量a+2b与2a-b平行,4(-2-m)-3(2m-1)=0,解得m=-12,则a+b=-32,3.9.(3,3)解析(方法1)由O,P,B三点共线,可设OP=OB=(4,4)(R),则AP=OP-OA=(4-4,4).又因为AC=OC-OA=(-2,6),由AP与AC共线,得(4-4)6-4(-2)=0,解得=34,所以OP=34OB=(3,3),所以点P的坐标为(3,3).(方法2)设点P(x,y),则OP=(x,y).因为OB=(4,
9、4),且OP与OB共线,所以x4=y4,即x=y.又因为AP=(x-4,y),AC=(-2,6),且AP与AC共线,所以(x-4)6-y(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).10.(-1,1)或(-3,1)解析由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或a+b=(-1,0),则a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).11.解(1)OC=OB+BC=OB+2BA=OB+2(OA-OB)=2OA-OB,已知OA=a,OB=b,OC=2a-b.DC=OC-OD=OC-23OB,DC=2a-b-23b=2a-53b.(
10、2)设DE=DC(0),则OE=OD+DE=OD+DC=OD+(OC-OD)=(1-)OD+OC,OD=23OB=23b,OC=2a-b,OE=2a+23-53b.已知OE=OA=a,且a,b不共线,所以=2,且23-53=0,解得=45.12.C解析因为AD=AB+AC,而D,B,C三点共线,所以+=1,所以+22=14,当且仅当=12时取等号,此时AD=12AB+12AC,即D是线段BC的中点,所以|AD|=12|BC|=52.故选C.13.D解析a在基底p,q下的坐标为(-2,2),a=-2p+2q=(2,4).令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),则-x+y=2,x+2y=4,解得
11、x=0,y=2.14.C解析设P(x,y),B(m,n),则PB=(m-x,n-y),PA=(-x,2-y).由PB=3PA,得m-x=-3x,n-y=6-3y,即m=-2x,n=6-2y.因为|OB|2+|OA|2=20,所以4x2+(6-2y)2+4=20,整理得x2+(y-3)2=4,故点P的轨迹为圆心为(0,3),半径为2的圆.故|PO|的最大值为3+2=5.15.C解析以O为原点,OA的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系(图略),则有OA=(2,0),OB=(1,3).设AOC=,则OC=(2cos,2sin).由题意可知2m+n=2cos,3n=2sin,故m+n=cos+33
12、sin=233sin+3.因为0,3,所以+33,23,所以m+n的最大值为233.16.201512解析3aBC+4bCA+5cAB=0,3a(BA+AC)+4bCA+5cAB=0.(3a-5c)BA+(3a-4b)AC=0.在ABC中,BA,AC不共线,3a=5c,3a=4b,解得c=35a,b=34a.abc=a34a35a=201512.17.(1)解由A,M,D三点共线,可设OM=mOA+(1-m)OD=ma+1-m2b.由B,M,C三点共线,可设OM=nOC+(1-n)OB=n4a+(1-n)b.因为a,b不共线,所以m=14n,1-m2=1-n,解得m=17,n=47.故OM=17a+37b.(2)证明因为E,M,F三点共线,所以可设OM=kOE+(1-k)OF=ka+(1-k)b.由(1)知k=17,(1-k)=37,即1=7k,3=7-7k,所以1+3=7.故1+3=7,是个定值.18.B解析因为pq,所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,即a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.又因为0C180,所以C=60.