1、滚动测试卷四(第一九章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2021广西桂林、崇左、贺州高三4月联考)已知集合A=(x,y)|3x-y=0,B=(x,y)|x+my+1=0.若AB=,则实数m的值为()A.-3B.-13C.13D.32.设复数3-i2 021在复平面内对应的点为A,则过原点和点A的直线的倾斜角为()A.6B.-6C.23D.563.将函数f(x)=sin2x+6的图象向右平移6个单位,则所得的图象对应的函数解析式是()A.y=sin 2xB.y=cos 2xC.y=sin2x+23D.y=sin2x-64.已知函数y=f
2、(x)的定义域为x|x0,满足f(x)+f(-x)=0,当x0时,f(x)=lnx-x+1,则函数y=f(x)的大致图象是()5.在ABC中,D是边AB上一点.若AD=2DB,CD=13CA+CB,则=()A.23B.13C.-13D.-236.(2021新高考)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|MF2|的最大值为()A.13B.12C.9D.67.(2021广西南宁模拟)某制药公司生产某种胶囊,其中胶囊中间部分为圆柱,且圆柱高为l,左右两端均为半球形,其半径为r.若该胶囊的表面积为S,则它的体积V取最大值时r的值为()A.S4B.S2C.SD.S6
3、8.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD为正方形,AA1平面ABCD,AB=1,AA1=2,点P是平面A1B1C1D1内的一个动点,则三棱锥P-ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为()A.1B.2C.12D.149.已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上的一个动点,则点P到点Q的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值是()A.5B.8C.17-1D.15-110.设等差数列an的前n项和为Sn,若a2=-11,a5+a9=-2,则当Sn取最小值时,n等于()A.9B.8C.7D.611.若直线l与曲线y=x和圆x2+y2=15都相
4、切,则l的方程为()A.y=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+1212.(2021江苏常熟模拟)南宋数学家杨辉在1261年所著的详解九章算法中首次提出“杨辉三角”,如图所示,这是数学史上的一个伟大的成就.在“杨辉三角”中,已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为Sn,设bn=5log2(Sn+1)-1,将数列bn中的整数项组成新的数列cn,则c2 021的值为()A.5 043B.5 047C.5 048D.5 052二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设实数x,y满足约束条件x+y0,x-y-20,x0,则z=3x+2y的最大
5、值为.14.正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上,若该正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为26,则这个球的表面积为.15.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45.若SAB的面积为515,则该圆锥的侧面积为.16.(2021广西北海模拟预测)过F(a2+b2,0)作与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线平行的直线,分别交两渐近线于A,B两点,若O,A,F,B四点共圆(O为坐标原点),则双曲线的离心率为.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosA+33a=c.(
6、1)求cosB;(2)如图,D为ABC外一点,在平面四边形ABCD中,D=2B,且AD=1,CD=3,BC=6,求AB的长.18.(12分)(2021浙江高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,ABC=120,AB=1,BC=4,PA=15,M,N分别为BC,PC的中点,PDDC,PMMD.(1)证明:ABPM;(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.19.(12分)已知动圆C与圆E:x2+(y-1)2=14外切,并与直线y=-12相切.(1)求动圆圆心C的轨迹;(2)若从点P(m,-4)作曲线的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB恒过定点.20.(12分)已知
7、xn是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列xn的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn.21.(12分)(2021北京高考)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形的面积为45.(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点P(0,-3)的直线l的斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC交y=-3于点M,N,若|PM|+|PN|15,求k
8、的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=x-1x-alnx,(1)若f(x)无极值点,求a的取值范围;(2)设g(x)=x+1x-(lnx)2,当a取(1)中的最大值时,求g(x)的最小值;(3)证明:i=1n12i(2i+1)ln2n+12n+1(nN*).答案：1.B解析因为AB=,所以直线3x-y=0与直线x+my+1=0平行,所以3m-(-1)1=0,所以m=-13.经检验,当m=-13时,两直线平行.2.D解析设直线的倾斜角为,0,),复数3-i2021=3-i在复平面内对应的点是A(3,-1),原点(0,0),直线过原点和点A,直线的斜率k=-1-03-0=-33,即tan=
9、-33,=56.故选D.3.D解析f(x)=sin2x+6,将函数f(x)=sin2x+6的图象向右平移6个单位,所得的图象对应的函数解析式是y=sin2x-6.4.A解析因为函数y=f(x)的定义域为x|x0,满足f(x)+f(-x)=0,所以函数f(x)是奇函数,排除C项、D项.当x=e时,f(e)=1-e+1=2-e0.因为PA=15,所以z0=22.故P(3,0,22),N32,12,2,所以AN=-332,52,2,DP=(3,0,22),DM=(3,0,0).设平面PDM的法向量n=(x,y,z),由nDP=0,nDM=0,得3x+22z=0,3x=0,取n=(0,1,0).设直线
10、AN与平面PDM所成角为,所以sin=|cos|=|ANn|AN|n|=156.因此,直线AN与平面PDM所成角的正弦值为156.19.(1)解由题意知,圆E的圆心为E(0,1),半径为12.设动圆圆心C(x,y),半径为r.因为圆C与直线y=-12相切,所以d=r,即y+12=r.因为圆C与圆E外切,所以|CE|=12+r,即x2+(y-1)2=12+r.联立,消去r,可得x2=4y.所以动圆圆心C的轨迹是以E(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.(2)证明由已知得直线AB的斜率一定存在.不妨设直线AB的方程为y=kx+b.联立x2=4y,y=kx+b,整理得x2-4kx-4b=0,其中
11、=16(k2+b)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4b.由抛物线的方程可得,y=14x2,y=12x.过点A(x1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1=12x1(x-x1),又y1=14x12,代入切线方程整理得,y=12x1x-14x12.切线过P(m,-4),代入整理得,x12-2mx1-16=0,同理可得x22-2mx2-16=0.x1,x2为关于x的方程x2-2mx-16=0的两个根,x1+x2=2m,x1x2=-16.由可得,x1x2=-4b=-16,x1+x2=4k=2m.b=4,k=m2,直线AB的方程为y=m2x+4.直线AB恒过定点(
12、0,4).20.解(1)设数列xn的公比为q,由已知q0.由题意得x1+x1q=3,x1q2-x1q=2.所以3q2-5q-2=0.因为q0,所以q=2,x1=1,因此数列xn的通项公式为xn=2n-1.(2)过P1,P2,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,Qn+1.由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,由题意bn=(n+n+1)22n-1=(2n+1)2n-2,所以Tn=b1+b2+bn=32-1+520+721+(2n-1)2n-3+(2n+1)2n-2.又2Tn=320+521+722+(2n-1)2n-2+(2n+1)
13、2n-1,-得-Tn=32-1+(2+22+2n-1)-(2n+1)2n-1=32+2(1-2n-1)1-2-(2n+1)2n-1.所以Tn=(2n-1)2n+12.21.解(1)因为椭圆E过点A(0,-2),所以b=2.又以四个顶点围成的四边形的面积为45,所以122a2b=45,解得a=5.所以椭圆E的标准方程为x25+y24=1.(2)由题意知,直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx-3,B(x1,y1),C(x2,y2).由x25+y24=1,y=kx-3,得(5k2+4)x2-30kx+25=0.由=400(k2-1)0,得k1或k-1.又x1+x2=30k5k2+4,x1x2=
14、255k2+4,所以y1+y2=k(x1+x2)-6=-245k2+4,y1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2x1x2-3k(x1+x2)+9=36-20k25k2+4.直线AB的方程为y+2=y1+2x1x,令y=-3,得x=-x1y1+2,所以M-x1y1+2,-3.同理,N-x2y2+2,-3.所以|PM|+|PN|=x1y1+2+x2y2+2=x1(y2+2)+x2(y1+2)(y1+2)(y2+2)=x1(kx2-1)+x2(kx1-1)y1y2+2(y1+y2)+4=2kx1x2-(x1+x2)y1y2+2(y1+y2)+4=2k255k2+4-30k5k2+436-20k2
15、5k2+4-485k2+4+4=|5k|15,所以-3k3.又k1,所以-3k-1或1k3.故k的取值范围为-3,-1)(1,3.22.(1)解求导函数,可得f(x)=x2-ax+1x2,函数f(x)无极值点,方程x2-ax+1=0在区间(0,+)内无根或有唯一根,方程a=x+1x在区间(0,+)内无根或有唯一根,又x+1x2(当且仅当x=1时取等号),x+1xmin=2,a2.故a的取值范围是(-,2.(2)解当a=2时,f(x)=x-1x-2lnx,g(x)=x+1x-(lnx)2,由(1)知,f(x)在区间(0,+)内单调递增,当x(0,1)时,f(x)=x-1x-2lnxf(1)=0,
16、即x-1x2lnxf(1)=0,即x-1x2lnx0;当x0时,x-1x|2lnx|=|lnx2|,令x2=t0,t-1t|lnt|,两边平方,得t+1t-2(lnt)2,当t0时,t+1t-2(lnt)2成立,当且仅当t=1时取等号,当x=1时,函数g(x)取最小值2.(3)证明由上知,当x1时,x+1x-(lnx)22,当x1时,x-1xlnx成立,令x=2n+12n,得2n+12n-2n2n+1ln2n+12n,即12n(2n+1)ln2n+12n,不等式:i=1n12i(2i+1)ln21+121+ln2n+12nln21+221+1+ln2n+22n+1=ln2n20+121+12n-1+12n+1=ln2n+12n+1.即i=1n12i(2i+1)ln2n+12n+1(nN*).
