1、滚动测试卷二(第一五章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合A=x|y=log2(x-2),B=x|x29,则A(RB)=()A.2,3)B.(2,3)C.(3,+)D.(2,+)答案:B解析:由题意可知,A=x|x2,B=x|x-3或x3,所以RB=x|-3x3,所以A(RB)=x|2x0,都有x20,则p:x00,使得x020B.若命题p和pq都是真命题,则命题q也是真命题C.在ABC中,a,b,c是内角A,B,C所对的边,则acos BD.命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x-2或x1,则x2+x-2
2、0”答案:C解析:若命题p:x0,都有x20,则p:x00,使得x020.故A项错误;若命题p和pq都是真命题,则命题q可能是真命题,也可能是假命题.故B项错误;在ABC中,由ab可知0ABcosB,反之亦成立,故C项正确;命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x-2且x1,则x2+x-20”.故D项错误.故选C.4.命题“存在x0,2,x2-x-a0为真命题”的一个充分不必要条件是()A.a0B.a-1C.a-14D.a3答案:D解析:存在x0,2,x2-x-a0为真命题,a(x2-x)min=x-122-14min=-14.因此上述命题的一个充分不
3、必要条件是a3.故选D.5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(1+x)=f(1-x),且f(1)=a,则f(2)+f(3)+f(4)=()A.0B.-aC.aD.3a答案:B解析:由f(1+x)=f(1-x),且f(x)是R上的奇函数,可知f(x)是周期为4的周期函数,f(0)=0,所以f(4)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-a,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,所以f(2)+f(3)+f(4)=0-a+0=-a.6.函数f(x)=Asin(x+)其中A0,|2的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象()可得g(x)=sin2x+4的图象.A.向右
4、平移12个单位长度B.向左平移24个单位长度C.向左平移12个单位长度D.向右平移24个单位长度答案:D解析:由函数f(x)=Asin(x+)的部分图象知,A=1,T4=712-3=4,T=2=,解得=2.已知|2,将712,-1代入,得=3,f(x)=sin2x+3,又y=sin2x-24+3=sin2x+4,将函数f(x)的图象向右平移24个单位长度,可得g(x)=sin2x+4的图象,故选D.7.函数y=ln1-x1+x+sin x的图象大致为()答案:A解析:易知f(x)=ln1-x1+x+sinx的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln1+x1-x+sin(-x)=-ln1-x1+
5、x-sinx=-f(x),即函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除选项C,D;又f12=ln13+sin12=sin12-ln30,故f(t)在区间(0,2上为增函数,故当t=2时,f(t)=tt2+9的最大值为213.故由题意知tt2+9maxat+2t2min,即213a1.10.已知函数y=sin(x+)-2cos(x+)(0)的图象关于直线x=1对称,则sin 2=()A.-45B.-35C.35D.45答案:A解析:y=sin(x+)-2cos(x+)=5sin(x+-),其中sin=25,cos=15.函数y的图象关于直线x=1对称,+-=2+k,kZ,即=-2+k,kZ.s
6、in2=sin2-2+k=sin(2-+2k)=sin(2-)=-sin2=-2sincos=-22515=-45,故选A.11.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若cos B=14,sinCsinA=2,且SABC=154,则b=()A.4B.3C.2D.1答案:C解析:由cosB=14,0B0时,不等式f(x)+xf(x)cbB.cabC.cbaD.bac答案:C解析:构造函数g(x)=xf(x),则g(x)=f(x)+xf(x),当x0时,不等式f(x)+xf(x)0时,g(x)0,函数g(x)单调递减.函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,g(-x)=-xf(-x)=-
7、xf(x)=-g(x),g(x)在R上是奇函数,g(x)在R上是减函数.a=30.2f(30.2),b=(log2)f(log2),c=log214flog214,log214=-2,而-2log2ba.故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知tanx+4=-2,则sin 2x+2cos2x=.答案:45解析:tanx+4=tanx+11-tanx=-2,tanx=3,则sin2x+2cos2x=2tanx+2tan2x+1=45.14.设函数f(x)=x+1,x0,2x,x0,则满足f(x)+fx-121的x的取值范围是.答案:-14,+解析:由题意得当x12时,
8、2x+2x-121恒成立,即x12;当01恒成立,即01,解得x-14,即-14x0.综上,x的取值范围是-14,+.15.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为米.答案:4 062.5解析:由题意画出图形,如图所示,且AB=13里=6500米,BC=14里=7000米,AC=15里=7500米,在ABC中,由余弦定理得cosB=AB2+BC2-AC22
9、ABBC=132+142-15221314=513,B为锐角,sinB=1-cos2B=1213,设ABC外接圆半径为R,则由正弦定理有bsinB=2R,R=b2sinB=750021213=4062.5米.16.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ABAC=BABC=1,则c=.答案:2解析:由内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,可知AB=c,AC=b,BC=a.由ABAC=BABC,得cbcosA=cacosB.故由正弦定理,得sinBcosA=cosBsinA,即sin(B-A)=0.因为-B-A,所以B=A,从而b=a.由已知BABC=1,得accosB=1.故由
10、余弦定理知aca2+c2-b22ac=1,即a2+c2-b2=2,故c=2.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)设向量a=(4cos ,sin ),b=(sin ,4cos ),c=(cos ,-4sin ).(1)若a与b-2c垂直,求tan(+)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若tan tan =16,求证:ab.答案：(1)解因为a与b-2c垂直,所以a(b-2c)=4cossin-8coscos+4sincos+8sinsin=4sin(+)-8cos(+)=0,因此tan(+)=2.(2)解由b+c=(sin+cos,4cos-4sin),得|b+c|=(s
11、in+cos)2+(4cos-4sin)2=17-15sin242.又当=k-4(kZ)时,等号成立,所以|b+c|的最大值为42.(3)证明由tantan=16,得16coscos=sinsin,故ab.18.(12分)某公司为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销,经调查,每年投入广告费t百万元,可增加销售额约为-t2+7t百万元.(1)若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此增加的收益最大?(2)现该公司准备共投入5百万元,分别用于广告促销和技术改造,经预测,每投入技术改造费x(1x5)百万元,可增加的销售额约为12x2+4ln x百万元
12、,请设计一个资金分配方案,使该公司由此增加的收益最大.(注:收益=销售额-投入,这里除了广告费和技术改造费,不考虑其他的投入)解：(1)设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元,则由f(t)=(-t2+7t)-t=-t2+6t=-(t-3)2+9(0t4),当t=3时,f(t)取得最大值9,即投入3百万元的广告费时,该公司由此增加的收益最大.(2)用于技术改造的资金为x百万元,则用于广告促销的资金为(5-x)百万元,设由此增加的收益是g(x)百万元.则g(x)=12x2+4lnx+-(5-x)2+7(5-x)-5=-12x2+3x+4lnx+5.g(x)=-x+3+4x=-x2-3x
13、-4x=-(x-4)(x+1)x,1x5.则当1x0;当4x5时,g(x)0,-22的图象的一个对称中心为12,0,且图象的一个最高点与相邻最低点的距离为24+12.(1)求,的值;(2)若f2+12=3402,求cos+4的值.解：(1)由函数图象的一个最高点与相邻最低点的距离为24+12,得2+12=24+12,解得=2.故f(x)=3sin(2x+).因为函数f(x)=3sin(2x+)的图象的一个对称中心为12,0,所以212+=k,kZ.又因为-22,所以=-6.(2)由(1)知,f(x)=3sin2x-6,所以f2+12=3sin22+12-6=3sin=34,所以sin=14.因
14、为00,得x1;由f(x)0,得-13x0),又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,所以2-a2=1,2-aln2=2+b,解得a=2,b=-2ln2.(2)若函数f(x)在区间(1,+)内为增函数,则f(x)=x-ax0在区间(1,+)内恒成立,即ax2在区间(1,+)内恒成立,所以a1.(3)当a=0时,f(x)在定义域(0,+)内恒大于0,此时方程无解.当a0在区间(0,+)内恒成立,所以f(x)在区间(0,+)内为增函数.因为f(1)=120,f(e1a)=12e2a-10时,f(x)=x-ax=x2-ax=(x+a)(x-a)x.因为当x(0,a)时,f(x)0,则f(x)在区
15、间(a,+)内单调递增.所以当x=a时,f(x)有极小值,即最小值为f(a)=12a-alna=12a(1-lna).当a(0,e)时,f(a)=12a(1-lna)0,方程无解;当a=e时,f(a)=12a(1-lna)=0,此方程有唯一解x=e.当a(e,+)时,f(a)=12a(1-lna)0,且a1,所以方程f(x)=0在区间(0,a)内有唯一解.因为当x1时,(x-lnx)0,所以x-lnx1,所以xlnx.所以f(x)=12x2-alnx12x2-ax.因为2aa1,所以f(2a)12(2a)2-2a2=0,所以方程f(x)=0在区间(a,+)内有唯一解.所以方程f(x)=0在区间(e,+)内有两解.综上,当a0,e)时,方程无解;当ae时,方程有两解.
