1、第4节圆周运动 必考要求：d加试要求：d1圆周运动是变速运动，匀速圆周运动是线速度大小处处相等的圆周运动。2质点通过的圆弧长度与所用时间的比值为线速度大小；半径转过的角度与所用时间的比值称为角速度，角速度恒定的圆周运动是匀速圆周运动。3做匀速圆周运动的物体，经过一周所用的时间叫周期，物体单位时间内转过的圈数叫转速。4线速度、角速度、周期的关系为：vr，T。一、 线速度1定义：物体做圆周运动通过的弧长与通过这段弧长所用时间的比值。2定义式：v。3标、矢性：线速度是矢量，方向与圆弧相切，与半径垂直。4匀速圆周运动(1)定义：沿着圆周，并且线速度的大小处处相等的运动。(2)性质：线速度的方向是时刻变
2、化的，所以是一种变速运动。二、 角速度1定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值。2定义式：。3单位：弧度每秒，符号是rad/s或rads1。4匀速圆周运动的角速度：匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。5转速与周期转速周期定义物体单位时间内转过的圈数做圆周运动的物体，转过一周所用的时间符号nT单位转每秒(r/s) 转每分(r/min)秒(s)三、 线速度与角速度的关系1两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。2关系式：vr。1自主思考判一判(1)做圆周运动的物体，其速度一定是变化的。()(2)角速度是标量，它没有方向。()(3)圆周运动线速度公式
3、v中的s表示位移。()(4)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等。()(5)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同。()(6)匀速圆周运动是一种匀速运动。()2合作探究议一议(1)打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技，如图541所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？图541提示：篮球上各点的角速度是相同的。但由于不同高度的各点转动时的圆心、半径不同，由vr可知不同高度的各点的线速度不同。(2)如图542所示，若钟表的指针都做匀速圆周运动，秒针和分针的周期各是多少？角速度之比是多少？图542提示：秒针的周
4、期T秒1 min60 s，分针的周期T分1 h3 600 s。由得。描述圆周运动的物理量间的关系1意义的区别(1)线速度、角速度、周期、转速都能描述圆周运动的快慢，但它们描述的角度不同。线速度v描述质点运动的快慢，而角速度、周期T、转速n描述质点转动的快慢。(2)要准确全面地描述匀速圆周运动的快慢仅用一个量是不够的，既需要一个描述运动快慢的物理量，又需要一个描述转动快慢的物理量。2各物理量之间的关系3v、及r间的关系(1)由vr知，r一定时，v；一定时，vr。v与、r间的关系如图543甲、乙所示。图543(2)由知，v一定时，与r间的关系如图544甲、乙所示。图5441(2016年10月浙江选
5、考)在G20峰会“最忆是杭州”的文艺演出中，芭蕾舞演员保持如图545所示姿式原地旋转，此时手臂上A、B两点角速度大小分别为A、B，线速度大小分别为vA、vB，则()图545AABCvAvB解析：选D由于A、B两处在人自转的过程中周期一样，所以根据可知，A、B两处的角速度一样，所以A、B选项错误。根据vr可知A处转动半径越大，所以A处的线速度要大，即选项D正确。2一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则不正确的是()A角速度为0.5 rad/sB转速为0.5 r/sC运动轨迹的半径为1.27 mD频率为0.5 Hz解析：选A由题意知v4 m/s，T2 s，根据角速度与
6、周期的关系可知rad/s3.14 rad/s。由线速度与角速度的关系vr得r m1.27 m。由v2nr得转速n r/s0.5 r/s。又由频率与周期的关系得f0.5 Hz。故A错误，符合题意。3甲、乙两物体都做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是()A若它们的线速度相等，角速度也一定相等B若它们的角速度相等，线速度也一定相等C若它们的周期相等，角速度也一定相等D若它们的周期相等，线速度也一定相等解析：选C由公式vr知，当甲、乙两物体的半径r相等时，才满足线速度相等角速度一定相等或角速度相等线速度一定相等，故A、B错误；由公式T知，当半径r相等时，才能满足周期相等线速度一定相等，故D错误；由公式
7、T知，周期相等时，角速度也一定相等，故C正确。传动装置问题分析三类传动装置对比同轴传动皮带传动齿轮传动装置A、B两点在同轴的一个圆盘上两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点特点角速度、周期相同线速度相同线速度相同转动方向相同相同相反规律线速度与半径成正比：角速度与半径成反比：。周期与半径成正比：角速度与半径成反比：。周期与半径成正比：典例图546所示为皮带传动装置，皮带轮为O、O，RBRA，RCRA，当皮带轮匀速转动时，皮带与皮带轮之间不打滑，求A、B、C三点的角速度之比、线速度之比、周期之比。图546审题指导(1)两轮用皮带传
8、动，所以A、C两点线速度大小相等。(2)A、B两点在同一轮上，所以两点角速度相等。解析由题意可知，A、B两点在同一皮带轮上，因此AB，又皮带不打滑，所以vAvC，故可得CA所以ABCAAA223又vBRBBRAA所以vAvBvCvAvAvA212TATBTC332。答案223212332解决传动问题的两个关键点(1)绕同一轴转动的各点角速度、转速n和周期T相等，而各点的线速度vr与半径r成正比。(2)在皮带不打滑的情况下，皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度与半径r成反比。 1.图547所示的是一个玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的
9、三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度稳定旋转时，下列表述正确的是()图547Aa、b和c三点的线速度大小相等Ba、b和c三点的角速度相等Ca、b的角速度比c的大Dc的线速度比a、b的大解析：选Ba、b、c三点为共轴转动，故角速度相等，B正确，C错误；又由题图知，三点的转动半径rarbrc，根据vr知，vav bvc，故A、D错误。2如图548所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的角速度为1，则丙轮的角速度为()图548A.B.C. D.解析：选A由于甲、乙、丙三个轮子靠摩擦传动，相互之间不打滑，故三个轮子边缘上的线速度相等，即r11r2
10、2r33，所以3，A正确。3风速仪结构如图549(a)所示。光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住。已知风轮叶片转动半径为 r，每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈。若某段时间t内探测器接收到的光强随时间变化关系如图(b)所示，则该时间段内风轮叶片() 图549A转速逐渐减小，平均速率为B转速逐渐减小，平均速率为C转速逐渐增大，平均速率为D转速逐渐增大 ，平均速率为解析：选B根据题意，从图(b)可以看出，在t时间内，探测器接收到光的时间在增长，凸轮圆盘的挡光时间也在增长，可以确定圆盘凸轮的转动速度在减小；在t时间内可以从图看
11、出有4次挡光，即凸轮圆盘转动4周，则风轮叶片转动了4n周，风轮叶片转过的弧长为l4n2r，叶片转动速率为：v，故选项B正确。匀速圆周运动的多解问题典例如图5410所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体的质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为的匀速圆周运动。求满足使A、B速度相同的力F的取值。图5410解析速度相同即大小、方向相同，B为水平向右运动，A一定要在最低点才能保证速度水平向右。由题意可知：当A从M点运动到最低点时tnTT(n0,1,2)，线速度vr对于B(初速度为0)：vat解得：F(n0,1,2)。答案(n0,1,2)匀速圆周
12、运动的多解问题的解题思路(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。(2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度上再加上2n，具体n的取值应视情况而定。 1为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min。子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角30，如图5411所示。则该子弹的速度可能是()图5411A360 m
13、/sB720 m/sC1 440 m/s D108 m/s解析：选C子弹从A盘到B盘，B盘转过的角度2n(n0,1,2，)，B盘转动的角速度2f2n2 rad/s120 rad/s，子弹在A、B盘间运动的时间等于B盘转动的时间，即，所以v m/s(n0,1,2，)，n0时，v1 440 m/s；n1时，v110.77 m/s；n2时，v57.6 m/s；故C正确。2.如图5412所示，半径为R的圆板做匀速转动，当半径OB转到某一方向时，在圆板中心正上方高h处，以平行于OB方向水平抛出一小球。要使小球与圆板只碰撞一次，且落点为B，求小球水平抛出时的速度v0及圆板转动的角速度。图5412解析：小球
14、从h高处抛出后，做平抛运动的下落时间t。小球在水平方向运动的距离Rv0t，得v0，圆盘在时间t内应转动n转，所以(n1、2、3、)。答案：(n1、2、3、)1下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是()A是线速度不变的运动B是角速度不变的运动C是角速度不断变化的运动D是相对圆心位移不变的运动解析：选B匀速圆周运动，角速度保持不变，线速度大小保持不变，方向时刻变化，A、C错误，B正确；相对圆心的位移大小不变，方向时刻变化，D错误。2(多选)关于地球上的物体随地球自转的角速度、线速度的大小，下列说法正确的是()A在赤道上的物体线速度最大B在两极的物体线速度最大C在赤道上的物体角速度最大D在北京和广州
15、的物体角速度一样大解析：选AD地球上的物体随地球一起绕地轴匀速转动，物体相对地面的运动在此一般可忽略，因此物体随地球一起绕地轴匀速转动的角速度一样，由vr知半径大的线速度大。物体在地球上绕地轴匀速转动时，在赤道上距地轴最远，线速度最大，在两极距地轴为0，线速度为0。在北京和广州的物体角速度一样大。故A、D正确。3.如图1所示，一偏心轮绕垂直纸面的轴O匀速转动，a和b是轮边缘上的两个点，则偏心轮转动过程中a、b两点()图1A角速度大小相同B线速度大小相同C周期大小不同D转速大小不同解析：选A同轴转动，角速度大小相等，周期、转速都相等，选项A正确，C、D错误；角速度大小相等，但转动半径不同，根据v
16、r可知，线速度大小不同，选项B错误。4如图2所示是自行车传动结构的示意图，其中A是半径为r1的大齿轮，B是半径为r2的小齿轮，C是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为()图2A.B.C. D.解析：选C前进速度即为后轮的线速度，由于同一个轮上的各点的角速度相等，同一条线上的各点的线速度相等，可得1r12r2，32，又12n，v3r3，所以v。选项C正确。5.如图3所示的齿轮传动装置中，主动轮的齿数z124，从动轮的齿数z28，当主动轮以角速度顺时针转动时，从动轮的运动情况是()图3A顺时针转动，周期为B逆时针转动，周期为C顺时针转动，周期为D逆时针转动，周期为解
17、析：选B主动轮顺时针转动，从动轮逆时针转动，两轮边缘的线速度相等，由齿数关系知主动轮转一周时，从动轮转三周，故T从，B正确。6.两小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图4所示。当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则O点到小球2的距离是()图4A. B.C. D.解析：选B由题意知两小球角速度相等，即12，设球1、2到O点的距离分别为r1、r2，则，又r1r2L，所以r2，B正确。7(多选)如图5所示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是()图5A从动轮做顺时针转动B从动轮
18、做逆时针转动C从动轮的转速为nD从动轮的转速为n解析：选BC主动轮做顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，A错误，B正确。由于通过皮带传动，皮带与轮边缘接触处的线速度相等，根据v2nr得n2r2nr1，所以n2，故C正确，D错误。8汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号的轿车在高速公路上行驶时，速率计的指针指在120 km/h上，可估算此时该车车轮的转速为()A1 000 r/s B1 000 r/minC1 000 r/h D2 000 r/s解析：选B 由题意得v120 km/h m
19、/s，r0.3 m，又v2nr，得n18 r/s1 000 r/min。9.无级变速是在变速范围内任意连续地变换速度，性能优于传统的挡位变速器，很多种高档汽车都应用了无级变速。如图6所示是截锥式无级变速模型示意图，两个锥轮之间有一个滚动轮，主动轮、滚动轮、从动轮之间靠着彼此之间的摩擦力带动。当位于主动轮和从动轮之间的滚动轮从左向右移动时，从动轮转速降低；滚动轮从右向左移动时，从动轮转速增加。当滚动轮位于主动轮直径D1、从动轮直径D2的位置时，主动轮转速n1、从动轮转速n2的关系是()图6A. B.C. D.解析：选B滚动轮与主动轮、从动轮边缘之间靠摩擦力带动，彼此没有相对滑动，所以它们边缘上的
20、接触点的线速度相同，v1v2，即2n1R12n2R2，可见，B项正确。10某机器内有两个围绕各自固定轴匀速转动的铝盘A、B，A盘上固定一个信号发射装置P，能持续沿半径向外发射红外线，P到圆心的距离为28 cm。B盘上固定一个带窗口的红外线信号接收装置Q，Q到圆心的距离为16 cm。P、Q转动的线速度均为4 m/s。当P、Q正对时，P发出的红外线恰好进入Q的接收窗口，如图7所示，则Q每隔一定时间就能接收到红外线信号，这个时间的最小值为()图7A0.42 s B0.56 sC0.70 s D0.84 s解析：选BP的周期TP s0.14 s。Q的周期TQ s0.08 s。因为经历的时间必须等于它们
21、周期的整数倍，根据数学知识，0.14和0.08的最小公倍数为0.56 s，所以经历的时间最小为0.56 s。故B正确，A、C、D错误。11.如图8所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有入口A，在A的正下方h处有出口B。一质量为m的小球从入口A沿圆筒壁切线方向水平射入圆筒内，要使小球从出口B飞出。小球进入入口A处的速度v0应满足什么条件？图8解析：该题中小球的运动轨迹是空间螺旋曲线，可将其分解为两个简单的分运动：一个是以初速度v0在筒内壁弹力作用下做匀速圆周运动，如图甲所示；另一个是在重力作用下做自由落体运动。因此若将圆筒直线AB展开为平面，则小球沿圆筒壁的运动是平抛运动，如图乙所示。据此得小
22、球在筒内运动的时间t。由题设条件得水平方向的位移应是圆周长的整数倍，即lv0t2nR(n1,2,3，)。联立以上两式得v0nR ，(n1,2,3，)。答案：v0nR ，(n1,2,3，)12.如图9所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：图9(1)B球抛出时的水平初速度。(2)A球运动的线速度最小值。(3)试确定A球做匀速圆周运动的周期的可能值。解析：(1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则Rv0t。在竖直方向上做自由落体运动，则hgt2。由得v0R。(2)A球的线速度取最小值时，A球刚好转过一圈的同时，B球落到a点与A球相碰，则A球做圆周运动的周期正好等于B球的飞行时间，即T，所以vA2R。(3)能在a点相碰，则A球在平抛的B球飞行时间内又回到a点。即平抛运动的时间等于A球周期的整数倍，所以tnT，T，n1,2,3，答案：(1)R(2)2R(3)(n1,2,3，)
