1、山西省大同市2019-2020学年高二数学下学期5月线上摸底试题 文（含解析）一、选择题1.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】试题分析：由题意得，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限故选B考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.2.下列命题中的假命题是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】对于选项，利用指数函数的性质判断得解；对于选项，判断得解；对于选项和，举特殊值判断得解.【详解】对于选项，所以该选项正确；对于选项，（当时取等号），所以该选项错误；对于选项，如时，所以
2、，所以该选项正确；对于选项，当时，所以，所以该选项正确.故选：B.【点睛】本题主要考查全称和特称命题真假的判断，考查指数、对数和三角函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由直线的倾斜角得知直线的斜率为，再利用斜率公式可求出的值.【详解】由于直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，由斜率公式得，解得，故选D.【点睛】本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.4.设是圆上的任意点，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将
3、所求最值转化为求解圆上的点到定点距离的平方，即求圆心到直线距离与半径之和的平方，由此可计算求得结果.【详解】表示点到的距离的平方，是圆上一点，的最大值为圆心到的距离与半径之和的平方，即.故选：.【点睛】本题考查圆上的点到定点距离最值的求解问题，关键是明确圆上的点到圆外定点的距离最大值为圆心到定点的距离与半径之和；最小值为圆心到定点的距离与半径之差.5.设，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得导函数，由此解方程求得的值.【详解】依题意，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题.6.曲线在处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答
4、案】C【解析】,当x=0时，y=2,即切线的斜率为2，通过选项可看出C符合题意故选C7.已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离A. 2B. 3C. 5D. 7【答案】D【解析】由椭圆，可得，则，且点到椭圆一焦点的距离为，由定义得点到另一焦点的距离为，故选C.8.设，是两个不同的平面，是直线且“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，和没有公共点，即能得到；“”是“”的必要不充分条件故选B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点
5、晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.9.给定命题函数为偶函数；命题函数为偶函数，下列说法正确的是（ ）A. 是假命题B. 是真命题C. 是假命题D. 是真命题【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性的定义分别判断命题的真假性，由复合命题真假性的判断可得结果.【详解】定义域为，关于原点对称，且，为偶函数，命题为真命题.定义域为，且，为奇函数，命题为假命题.对于，为真命题，错误；对于，为假命题，
6、错误；对于，为假命题，则为假命题，正确；对于，为假命题，则为假命题，错误.故选：.【点睛】本题考查复合命题真假性的判断，解题关键是能够根据奇偶性的定义判断出原命题的真假性.10.过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,若,则的中点到轴的距离等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由已知条件可得，,可得弦的中点到准线的距离为，且准线方程为，故弦的中点到轴的距离为，故答案为D.考点：抛物线的定义，抛物线的焦点弦的问题.二、填空题11.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为_【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，由渐近线过点，可得，即，可得，故答案为.12.函数f（x）=
7、（x3）ex的单调递增区间是 【答案】（2，+）【解析】试题分析：首先对f（x）=（x3）ex求导，可得f（x）=（x2）ex，令f（x）0，解可得答案解：f（x）=（x3）ex+（x3）（ex）=（x2）ex，令f（x）0，解得x2故答案（2，+）考点：利用导数研究函数的单调性13.已知数列中，时，依次计算后猜想_.【答案】【解析】【分析】根据递推关系，求解，观察可得.【详解】因为，所以，所以猜想.故答案为：.【点睛】本题主要考查数列的递推公式，根据递推关系可逐步得出下一项，观察可求通项公式，侧重考查数学运算的核心素养.14.把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形对角线长即为直
8、角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径（其中为直角三角形两直角边长），类比此方法可得三条侧棱长分别为，且两两垂直的三棱锥的外接球半径_.【答案】【解析】【分析】根据类比推理知识，可知该几何体补全为长方体，然后根据长方体的对角线长为外接球的直径，由此求得.【详解】，两两垂直，则可将其补形为长方体，长方体的对角线长为，也即外接球的半径.故答案：【点睛】本小题主要考查合情推理，以及长方体的外接球，考验考验空间想象能力，属于基础题.15.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_【答案】【解析】试题分析：因
9、为该组合体的正视图、侧视图、俯视图均是圆及边长为的正方形，所以该组合体是棱长为的正方体及其外接球，可知外接球直径等于正方体对角线长，所以该球的表面积是，故答案为.考点：1、几何体三视图的应用；2、球的表面积公式.16.已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为，则E的方程为_.【答案】【解析】【分析】设，采用“点差法”，得，再根据直线过点，和AB的中点坐标，得，结合椭圆中a，b，c的关系，可求得，即可得E的方程.【详解】已知，设，则，已知AB的中点坐标为，得， ，即，又，即E的方程为.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了弦的中点有关问题；在中点弦或弦的中
10、点问题中，常采用“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式求解.三、解答题17.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：男女需要4030不需要160270 （1） 估计该地区老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例（2） 能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由列联表可知调查的位老年人中有位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值；（2）根据列联表
11、所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.试题解析：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为14%.(2)由列联表中数据，得K2观测值为k9.967.由于9.9676.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关点睛：本题主要考查统计学知识，考查独立性检验的思想，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力；解题步骤：（1）认真读题，取出相关数据，作出列联表；（2）根据列
12、联表中的数据，计算的观测值；（3）通过观测值与临界值比较，得出事件有关的可能性大小18.已知函数在点处取得极值.(1)求的值；(2)若有极大值，求在上最小值【答案】(1) ;(2) .【解析】【分析】（1）f（x）=3ax2+b，由函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c16可得f（2）=12a+b=0，f（2）=8a+2b+c=c16联立解出（2）由（1）可得：f（x）=x312x+c，f（x）=3x212=3（x+2）（x2），可得x=2时，f（x）有极大值28，解得c列出表格，即可得出【详解】解：因.故由于在点x=2处取得极值c-16.故有即化简得解得a=1，b=-12.（2
13、）由（1）知；.令，得，.当时，故在上为增函数；当时，故在上为减函数；当时，故在上为增函数.由此可知在处取得极大值；，在处取得极小值.由题设条件知16+c=28，得c=12.此时，因此在上的最小值为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）直线与交于两点，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由圆与圆的位置关系可确定，由此确定所求轨迹为椭圆；在椭圆轨迹中去除即可得到所求方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式
14、可求得结果.【详解】（1）由圆的方程知：圆的圆心，半径；圆的圆心，半径.设动圆，动圆半径为，动圆与圆外切，与圆内切，满足椭圆定义，则，轨迹方程为；又为圆和圆的切点，的方程为.（2）将代入的方程得：，设，则， .【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解、利用弦长公式求解直线被椭圆截得的弦长问题；求解轨迹方程的关键是根据圆与圆的位置关系确定动点所满足的等量关系，易错点是忽略轨迹中不满足题意的点.20.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（是参数，）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）分别写出直线与曲线的极坐标方程；（2）若直线，直线与曲线的交点为，直线与的交点为，求.【答案】（1）,; （2）.【解析】试题分析：（1）可利用公式化直角坐标方程为极坐标方程，可把曲线的参数方程通过消参法化为普通方程后，再转化为极坐标方程；（2）利用极坐标的意义解题，把直线的极坐标方程代入直线的极坐标方程得，代入曲线的极坐标方程可解得，显然解析：（1）直线的极坐标方程为,曲线的普通方程为，又，所以曲线的极坐标方程为.（2）设，则有，解得,设，则有，解得,所以.
