1、第二节函数的单调性与最值学习要求:1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义.1.函数的单调性(1)增函数与减函数的定义:增函数减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,且DI,如果对任意x1,x2D当x1x2时,都有 f(x1) f(x2) ,那么就称y=f(x)在区间D上是增函数当x1 f(x2) ,那么就称y=f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是 上升的 自左向右看图象是 下降的 (2)单调区间的定义:若函数y=f(x)在区间D上 单调递增或单调递减 ,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格
2、的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.提醒(1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“”连接.(3)“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然NM.2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI,都有 f(x)M ;(2)存在x0I,使得 f(x0)=M (1)对于任意的xI,都有 f(x)M ;(2)存在x0I,使得 f(x0)=M 结论M为函数y=f(x)的最大值M为函数y=f(x)的最小值知识拓展1.单调性定义的等价形式设任意的x1
3、,x2a,b,x1x2.(1)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或 f(x1)-f(x2)x1-x20,则f(x)在闭区间a,b上是增函数.(2)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或 f(x1)-f(x2)x1-x20,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k0)与y=-f(x),y=1f(x)在公共定义域内的单调性相反.(4)函数y=x+ax(a0)的增区间为(-,-a和a,+),减区间为(-a,0)和(0,a).1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)若定义在R上的函数f(x)满足f(-1)f(3),则函数f(x)在R上为增函数.()(2)若函数y=f(x)在1,
4、+)上是增函数,则函数f(x)的单调递增区间是1,+).()(3)函数y=1x的单调递减区间是(-,0)(0,+).()(4)所有的单调函数都有最值.()(5)闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点处取到.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(新教材人教A版必修第一册P79T3改编)下列函数中,在区间(0,+)上单调递减的是()A.y=1x-xB.y=x2-xC.y=ln x-xD.y=ex答案A3.(新教材人教A版必修第一册P85T1改编)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=log12f(x)的单调递增区间为()A.(-,-3,0,3B.-3,0,3,+)C.(-,-5)
5、,0,1)D.(-1,0,(5,+)答案C4.(新教材人教A版必修第一册P81例5改编)函数y=2x-1在区间2,3上的最大值是.答案25.函数f(x)=1x2-2x-3的单调增区间为.答案(-,-1)确定函数的单调性(区间)角度一确定不含参函数的单调性(区间)典例1(1)(2020湖北荆州高三期末)设maxa,b=a,ab,b,ab,则函数f(x)=maxx2-x,1-x2的单调递增区间为() A.-1,0,12,+B.(-,-1,0,12C.-,-12,0,1D.-12,0,1,+)(2)(2020黑龙江大庆高三模拟)函数f(x)=x2+x-6的单调增区间是()A.(-,-3)B.2,+)
6、C.0,2) D.-3,2答案(1)D(2)B解析(1)由x2-x=1-x2得2x2-x-1=0,解得x=1或x=-12,当x1或x-12时,f(x)=maxx2-x,1-x2=x2-x,此时函数f(x)的单调递增区间为1,+);当-12x0,且f(x)在(1,+)上单调递减,求a的取值范围.解析(1)f(x)=ax-1+1x-1=a1+1x-1,任取x1,x2(-1,1),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=a1+1x1-1-a1+1x2-1=a(x2-x1)(x1-1)(x2-1),因为-1x1x20,x1-10,x2-10时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x
7、)在(-1,1)上单调递减;当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增.(2)证明:任取x1,x2(-,-2),且x10,x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在(-,-2)上单调递增.任取x1,x2(1,+),且x10,x2-x10,所以要使f(x1)-f(x2)0恒成立,只需(x1-a)(x2-a)0恒成立,所以a1.综上所述,0a1.名师点评1.求函数的单调区间时,应先求函数的定义域,在定义域内求单调区间,单调区间不能用集合或不等式表示,且图象不连续的单调区间要用“和”或“,”连接.2.(1)
8、函数单调性的判断方法:定义法;图象法;利用已知函数的单调性;导数法.(2)函数y=f g(x)的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.判断并证明函数f(x)=ax2+1x(其中1a3)在x1,2上的单调性.解析函数f(x)在1,2上单调递增.证明如下:任取x1,x21,2,且x1x2,则f(x2)-f(x1)=ax22+1x2-ax12-1x1=(x2-x1)a(x1+x2)-1x1x2,由1x10,2x1+x24,1x1x24,-1-1x1x2-14.因为1a3,所以2a(x1+x2)0,从而f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1
9、),故当a(1,3)时,f(x)在1,2上单调递增.函数单调性的应用角度一利用单调性比较大小典例3(2020河南郑州模拟)已知函数f(x)=ex-e-x,x0,-x2,x0,若a=50.01,b=32log32,c=log30.9,则有()A.f(b)f(a)f(c)B.f(c)f(a)f(b)C.f(a)f(c)f(b)D.f(a)f(b)f(c)答案D当x0时,f(x)=ex-e-x单调递增,且f(0)=0;当x0时,f(x)=-x2单调递增,且f(0)=0,所以函数f(x)在R上单调递增,因为a=50.011,0b=log3221,c=log30.9bc,所以f(a)f(b)f(c).角
10、度二利用单调性解不等式典例4(2020山东聊城三模)已知函数f(x)=3e-x,x0,-4x+3,x0,若f(a2-3)f(-2a),则实数a的取值范围是()A.(-,1B.(-,-31,+)C.(-,13,+)D.-3,1答案D当x0时,f(x)=3e-x单调递减;当x0时,f(x)=-4x+3单调递减.又3e0=-40+3=3,所以函数y=f(x)在R上连续,则函数y=f(x)在R上单调递减.作出函数y=f(x)的图象如图所示.由f(a2-3)f(-2a)可得a2-3-2a,即a2+2a-30,解得-3a1.故实数a的取值范围是-3,1.角度三利用函数的单调性求参数的取值范围典例5(202
11、0广西柳州实验中学高三开学考试)已知函数f(x)=logax,0x1,(4a-1)x+2a,x1满足对任意x1x2且x1,x2(0,+),都有 f(x1)-f(x2)x1-x20成立,则实数a的取值范围是()A.0,16B.0,16C.0,14D.(1,+)答案B因为函数f(x)对任意x1x2且x1,x2(0,+),都有 f(x1)-f(x2)x1-x20成立,所以函数f(x)在定义域内单调递减,所以0a1,4a-10,loga1(4a-1)1+2a,所以0x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)abB.cbaC.acbD.bac答案D由于函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到的图
12、象关于y轴对称,故函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=f-12=f52.当x2x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)ac.2.如果函数f(x)=ax+1x+2a在区间(-2,+)上是增函数,那么a的取值范围是.答案1,+)解析f(x)=ax+2a2-2a2+1x+2a=a-2a2-1x+2a,函数f(x)在区间(-2,+)上是增函数,2a2-10,-2a-2,即a212,a1,故a1.求函数的最值(值域)典例6(1)(2020安徽六安一中高三月考)若函数f(x)=2x2+31+x2,则f(x)的值域为()A.(-,3B.(2,3)C.(2,3D.3,+)(2)已知函数f(x)
13、=x+2x-3,x1,lg(x2+1),x1,则ff(-3)=,f(x)的最小值是.答案(1)C(2)0;22-3解析(1)f(x)=2x2+31+x2=2(x2+1)+11+x2=2+11+x2,且x2+11011+x2122+11+x23,f(x)的值域为(2,3,故选C.(2)f(-3)=lg(-3)2+1=lg 10=1,ff(-3)=f(1)=0.当x1时,f(x)=x+2x-322-3,当且仅当x=2时,取等号,此时f(x)min=22-30;当x32 B.00,解得b0.当a0时,由ax+20,可得x-2a,则-2a-2,解得0a1,则f(x)=bx+3ax+2=ba(ax+2)
14、+3-2baax+2=3-2baax+2+ba,函数f(x)在区间(-2,+)上单调递增,3-2ba3a2,当a=1时,b3a2=32,A选项符合题意;当03a2恒成立,B选项符合题意;当a=12时,b=13a2恒成立,D选项符合题意.当a0,函数f(x)在x=-2a时没有定义,C选项不符合题意.5.(2020山东临沂高三月考)已知函数f(x)=2x+1x+1.(1)用定义法证明f(x)在区间1,+)上是增函数;(2)求该函数在区间2,4上的最大值与最小值.解析(1)证明:任取x1,x21,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x1+1x1+1-2x2+1x2+1=x1-x2(x1+1
15、)(x2+1).1x1x2,x1-x20,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故函数f(x)在区间1,+)上是增函数.(2)由(1)知函数f(x)在区间2,4上是增函数,f(x)max=f(4)=24+14+1=95,f(x)min=f(2)=22+12+1=53.B组能力拔高6.(多选题)(2020山东嘉祥一中高三月考)如果对于函数f(x)的定义域内任意的两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),且存在两个不相等的自变量的值y1,y2,使得f(y1)=f(y2),那么就称f(x)为定义域上的“不严格的增函数”.下列所给出的四个函数中为“不严格的增函数”的
16、是()A.f(x)=x,x10,-1x1x,x-1B.f(x)=1,x=-2sinx,-2x2C.f(x)=1,x10,-1x1-1,x-1D.f(x)=x,x1x+1,x1答案ACf(x)=x,x1,0,-1x1x,x-1,为定义在R上的“不严格的增函数”,故选项A正确;f(x)=1,x=-2,sinx,-2f(x2),故f(x)不是“不严格的增函数”,故选项B错误;f(x)=1,x1,0,-1x1,-1,x-1为定义在R上的“不严格的增函数”,故选项C正确;f(x)=x,x1,x+1,xf(x2),故f(x)不是“不严格的增函数”,故选项D错误.7.(多选题)(2020海南华侨中学高三模拟
17、)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中aR).对于不相等的实数x1,x2,设m=f(x1)-f(x2)x1-x2,n=g(x1)-g(x2)x1-x2,则下列说法正确的是()A.对于任意不相等的实数x1,x2,都有m0B.对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n0C.对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=nD.对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n答案AD对于A,由指数函数的单调性可得函数f(x)在R上递增,即有m0,则A中说法正确;对于B,由二次函数的单调性可得函数g(x)在-,-a2上递减,在-a2,+上递增,则n0不恒成立,则B中说法错误
18、;对于C,若m=n,则f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2),即g(x1)-f(x1)=g(x2)-f(x2),设h(x)=x2+ax-2x,则应有h(x1)=h(x2),而h(x)=2x+a-2xln 2,当a-时,h(x)小于0,函数h(x)单调递减,则C中说法错误;对于D,若m=-n,则f(x1)-f(x2)=-g(x1)-g(x2),即f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2)设p(x)=x2+ax+2x,则应有p(x1)=p(x2),而p(x)=2x+a+2xln 2,对于任意的a,p(x)不恒大于0或小于0,即p(x)在定义域上有增有减,则D中说法正确.8.已知函数f(
19、x)=x2-2ax+a在区间(-,1)上有最小值,则函数g(x)=f(x)x在区间(1,+)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数答案D因为函数f(x)=x2-2ax+a=(x-a)2+a-a2在区间(-,1)上有最小值,所以函数f(x)图象的对称轴x=a应在区间(-,1)内,即a1,由题意知函数g(x)=f(x)x=x+ax-2a,当ag(1)=1-a0;当a=0时,g(x)=x在区间(1,+)上为增函数,此时,g(x)ming(1)=1;当0a1-a0,此时g(x)ming(1)=1-a.综上,函数g(x)在区间(1,+)上单调递增.9.设f(x)=(x-a)2,x0,
20、x+1x+a,x0.若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围是()A.-1,2B.-1,0C.1,2D.0,2答案D当x0时, f(x)=(x-a)2,且f(0)是f(x)的最小值,a0;当x0时, f(x)=x+1x+a2+a,当且仅当x=1时,取“=”,要满足f(0)是f(x)的最小值,只需满足2+af(0)=a2,即a2-a-20,解得-1a2,a的取值范围是0a2.故选D.10.已知函数f(x)=a-22x+1.(1)求f(0);(2)探究f(x)的单调性,并证明你的结论;(3)若f(x)为奇函数,求满足f(ax)f(2)的x的取值范围.解析(1)f(0)=a-220+1=a-1.(2)f(x)在R上单调递增.证明如下:f(x)的定义域为R,任取x1,x2R且x1x2,则f(x1)-f(x2)=a-22x1+1-a+22x2+1=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1),y=2x在R上单调递增且x1x2,02x12x2,2x1-2x20,2x2+10.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).f(x)在R上单调递增.(3)f(x)是奇函数,f(0)=0,即a-220+1=0,解得a=1.f(ax)f(2)即f(x)f(2),又f(x)在R上单调递增,x2.x的取值范围是(-,2).
