1、第七节函数的图象学习要求:1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.1.利用描点法作函数图象的步骤(1)确定函数的定义域.(2)化简函数的解析式.(3)讨论函数的性质(奇偶性、周期性、单调性、最值等).(4)描点连线.2.图象变换(1)平移变换:(2)伸缩变换:y=f(x)y= f(x) ;y=f(x)y= Af(x) .(3)对称变换:y=f(x)y= -f(x) ;y=f(x)y= f(-x) ;y=f(x)y= -f(-x) .(4)翻折变换:y=f(x)y= f(|
2、x|) ;y=f(x)y= |f(x)| .知识拓展关于对称的四个重要结论:(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.(3)若函数y=f(x)的定义域内任意自变量x均满足f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(4)y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)当x(0,+)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.()(2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a0且a
3、1)的图象相同.()(3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.()(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()(5)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y=f(-x-1)的图象.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(新教材人教A版必修第一册P68例5改编)下列图象是函数y=x2,x0,x-1,x0的图象的是()答案C3.(新教材人教A版必修第一册P95综合运用T1改编)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是()答案C4.将二
4、次函数y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为y=x2-2x-3,则()A.b=2,c=2B.b=-2,c=-1C.b=2,c=0D.b=-3,c=2答案C作函数的图象典例1作出下列函数的大致图象. (1)y=2-xx+1;(2)y=12|x+1|;(3)y=|log2x-1|;(4)y=x2-2|x|-1.解析(1)易知函数y=2-xx+1的定义域为x|xR且x-1,y=2-xx+1=-1+3x+1.由y=3x的图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度即可得到函数y=2-xx+1的图象,如图所示.(2)先作出y=12x,x0,+)的
5、图象,然后作其关于y轴的对称图象,再将整个图象向左平移1个单位长度,即得到y=12|x+1|的图象,如图所示.(3)先作出y=log2x的图象,再将图象向下平移1个单位长度,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得到y=|log2x-1|的图象,如图所示.(4)y=x2-2|x|-1=x2-2x-1(x0),x2+2x-1(x0)的图象如图所示.名师点评作函数图象的一般方法(1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出;(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,则可利用图象变换作出,
6、并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.作出下列函数的大致图象,并写出函数的单调区间和值域.(1)y=x-1x-2;(2)y=x2-4|x|.解析(1)y=x-1x-2=1+1x-2的图象如图所示:由图象知函数在(-,2)和(2,+)上为减函数.因为1x-20,所以1+1x-21,故值域为(-,1)(1,+).(2)y=x2-4|x|=x2+4x=(x+2)2-4,x0,则函数f(x)的定义域为R,且f(0)=0,故B中图象可能;若a0,则x-a,故A中图象可能,故选ABC.角度二借助动点研究函数的图象典例3如图,点P在边长为1的正方形的边上运动,M是CD的中点,当P沿A-B
7、-C-M运动时,设点P经过的路程为x,APM的面积为y,则函数y=f(x)的图象大致是()答案A当点P在AB上时,y=12x1=12x,0x1;当点P在BC上时,y=S正方形ABCD-SADM-SABP-SPCM=-14x+34,1x2;当点P在CM上时,y=1252-x1=-12x+54,2x52,所以y=12x,0x1,-x4+34,1x2,-12x+54,2x52,故选A.名师点评1.抓住函数的性质,定性分析:(1)由函数的定义域判断图象的左右位置;由函数的值域判断图象的上下位置;(2)由函数的单调性判断图象的变化趋势;(3)由函数的周期性判断图象的循环往复;(4)由函数的奇偶性判断图象
8、的对称性.2.抓住函数的特征,定量计算:从函数的特征点出发,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.1.(2020河南郑州模拟)函数f(x)=(1-4x)sinx2x的部分图象大致为()答案B因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=(1-4-x)sin(-x)2-x=-(4x-1)sinx2x=(1-4x)sinx2x=f(x),所以f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,排除选项A、C,f(2)=(1-42)sin222=-154sin 2,因为220,所以f(2)0,排除选项D.故选B.2.(2020河北衡水中学三模)如图所示的是函数f(x)的部分图象,则f(x)的解析式可能是()
9、A.f(x)=|sin x+cos x|B.f(x)=sin x2+cos x2C.f(x)=|sin x|+|cos x|D.f(x)=sin|x|+cos|x|答案B由题图可知,函数f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)应为偶函数,排除A选项;由题图可知函数f(x)能取到小于0的值,所以排除C选项;对于D选项,当x(0,1)时,f(x)=sin x+cos x=2sinx+4,而当x0,4时,x+44,2,根据正弦函数的图象可知D选项不正确,故选B.函数图象的应用角度一研究函数的性质典例4(2020山东淄博二模)已知方程x|x|+y|y|=-1表示的曲线为y=f(x)的图象,对于函数y=
10、f(x)有如下结论:f(x)在(-,+)上单调递减;函数F(x)=f(x)+x至少存在一个零点;y=f(|x|)的最大值为1;若函数g(x)和f(x)的图象关于原点对称,则y=g(x)由方程y|y|+x|x|=1所确定,其中正确结论的序号为()A.B.C.D.答案C当x0,y0时,x2+y2=-1,此方程不存在;当x0,y0时,x2-y2=-1,此时图象为实轴在y轴上的双曲线的一部分;当x0,y0时,y2-x2=-1,此时图象为实轴在x轴上的双曲线的一部分;当x0,y0,若不等式f(x)-kx+k+10的解集为空集,则实数k的取值范围是()A.(2-22,0B.(2-32,0C.2-22,0D
11、.-1,0答案C因为不等式f(x)-kx+k+10的解集为空集,所以不等式f(x)-kx+k+10恒成立,即f(x)k(x-1)-1恒成立.在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x),y=k(x-1)-1的图象,如图所示:直线y=k(x-1)-1过定点A(1,-1),当直线y=k(x-1)-1与y=x2(x0)的图象相切时,方程f(x)-kx+k+1=0有一个实数解,可得x2=k(x-1)-1,即x2-kx+k+1=0,由=k2-4(k+1)=0,可得k=2-22或k=2+22(舍去),由函数图象可知使不等式恒成立的实数k的取值范围是2-22,0.名师点评1.利用函数的图象研究函数的性质对于已
12、知或易画出其在给定区间上图象的函数是常用的,函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)也常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标;不等式f(x)g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合,这里体现了数形结合思想.1.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+)B.f(x)是偶函数,递减区间是(-,1)C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)D.f(x)是奇函数
13、,递增区间是(-,0)答案C将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=x2-2x,x0,-x2-2x,x0的解集为()A.(-3,-1) B.(-1,1)(1,3)C.(-3,0)(1,3)D.(-3,-1)(2,+)答案B根据题意画出函数y=f(x)的大致图象,如图所示:结合图象可知,当x-10,即x1时,由f(x-1)0,得0x-12或x-1-2,解得1x3;当x-10,即x1时,由f(x-1)0,得-2x-12,解得-1x0,0n0,n1C.m0,0n1D.m1答案B令f(x)=0,即4mx=n,则mx=log4n,即x=1mlog4n,由题图可知,1mlog4n0,故当m0时
14、n1,当m0时0n1,排除A、D;当m0时,易知y=4mx是减函数,且当x+时,y0,f(x)n2,C明显不符合题意,排除C,故选B.7.若函数y=f(x)的图象过点(1,1),则函数y=f(4-x)的图象一定经过点.答案(3,1)解析函数y=f(4-x)的图象可以看作是由y=f(x)的图象先关于y轴对称,再向右平移4个单位长度得到的.点(1,1)关于y轴对称的点为(-1,1),再将此点向右平移4个单位长度得到点(3,1),所以函数y=f(4-x)的图象过定点(3,1).8.使log2(-x)x+1成立的x的取值范围是.答案(-1,0)解析在同一平面直角坐标系内作出y=log2(-x),y=x
15、+1的图象,由图象可知满足条件的x的取值范围是(-1,0).B组能力拔高9.(2020陕西咸阳高三一模)定义Nf(x)g(x)表示f(x)g(x)的解集中整数解的个数.若f(x)=|log2x|,g(x)=a(x-1)2+2,Nf(x)g(x)=1,则实数a的取值范围是()A.(-3,-1 B.(-,-1C.(-,-3D.-1,0)答案B易知Nf(x)g(x)可转换为满足|log2x|0时,数形结合可得f(x)0不符合题意;当a=0时,g(x)=2,由f(x)=2,解得x=4或x=14,所以f(x)g(x)在14,4内有3个整数解,即
16、Nf(x)g(x)=3,所以a=0不符合题意;当a0时,作出函数f(x)=|log2x|和g(x)=a(x-1)2+2的大致图象,如图所示:若Nf(x)g(x)=1,即f(x)=|log2x|a(x-1)2+2的整数解只有一个,则只需满足f(2)g(2),f(1)g(1),即|log22|a+2,0bcB.acbC.cabD.cba答案ABC设ln a=eb=1c=x,x0,则a=ex,b=ln x,c=1x,画出函数y1=ex,y2=ln x,y3=1x的图象,如图所示:由图象可知,当x=x1时,y3y1y2,即cab;当x=x2时,y1y3y2,即a
17、cb;当x=x3时,y1y2y3,即abc,故选ABC.11.(多选题)(2020山东聊城二模)函数f(x)=|x|-ax(aR)的大致图象可能是()答案ABD当a=0时, f(x)=|x|(x0),图象为A中图象;当a0,-x+-ax,x0时,由对勾函数的知识得f(x)在(0,-a上递减,在-a,+)上递增,在x0时,在x0时,f(x)=x-ax是增函数,在x0时,f(x)=-x-ax=-x+ax,结合对勾函数的性质知图象为D中图象.C组思维拓展12.若平面直角坐标系内的A,B两点满足:(1)点A,B都在f(x)的图象上;(2)点A,B关于原点对称,则称(A,B)与(B,A)是函数f(x)的
18、一个“和谐点对”.已知函数f(x)=x2+2x(x0),2ex(x0),则函数f(x)的“和谐点对”有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案B作出函数y=x2+2x(x0恒成立,求实数k的取值范围;(3)若关于x的方程f(x)2+m|f(x)|+n=0(m,nR)恰有6个不同的实数解,求实数n的取值范围.解析(1)定义域为(-,0)(0,+), f(x)=-2x,x(-,-1),-2x,x-1,0),2x,x(0,1,2x,x(1,+),函数y=f(x)是偶函数,在区间(-,-1)和(0,1上单调递增,在区间-1,0)和(1,+)上单调递减,函数y=f(x)的最大值是2,无最小值,值域为(0
19、,2.作图如下:(2)令f(x)=t,则t(0,2,因为关于x的不等式kf(x)2-2kf(x)+6(k-7)0恒成立,所以不等式k(t2-2t+6)42在t(0,2时恒成立.当t(0,2时,t2-2t+65,6,所以k42t2-2t+6,又42t2-2t+67,425,所以k425.(3)关于x的方程f(x)2+m|f(x)|+n=0(m,nR)恰有6个不同的实数解,即f(x)2+mf(x)+n=0有6个不同的解,如图所示:令f(x)=t,则t(0,2,当0t2时,方程t=f(x)无解.设方程t2+mt+n=0的两根分别为t1,t2(t10,-m2(0,2),m2-4n0n(0,4).因此实数n的取值范围是(0,4).
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