1、第三节不等关系与一元二次不等式学习要求:1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,并会解一元二次不等式.1.两个实数比较大小的依据(1)a-b0ab.(2)a-b=0a=b.(3)a-b0abbb,bcac.(3)可加性:aba+cb+c;ab,cd a+cb+d .(4)可乘性:ab,c0 acbc ;ab,c0acb0,cd0acbd.(5)可乘方性:ab0anbn(nN,n1).(6)可开方性:ab0nanb(nN,n2).3.
2、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式=b2-4ac0=00)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两个相异实根x1,x2(x10(a0)的解集 x|xx2 xx-b2aR ax2+bx+c0)的解集 x|x1xb,ab01a1b.(2)a0b1ab0,0cbd.(4)0axb或axb01b1x0(0(0(0(0对任意实数x恒成立a=b=0,c0或a0,0.(2)不等式ax2+bx+c0对任意实数x恒成立a=b=0,c0或a0,bac2bc2.()(2)a=bac=bc.()(3)若不等式ax2+bx+c0.()(4)若方程ax2+bx+c=0(a0(a0)的解
3、集为R.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人教B版必修第一册P71练习BT1改编)已知集合A=x|x2-5x+40,B=x|x2-x-6b0,cd0B.ac-bdbcD.ad5.(易错题)对于任意实数x,不等式mx2+mx-1b0,m0,则() A.ba=b+ma+mB.bab+ma+mC.bab0,m0,所以b-a0,所以m(b-a)a(a+m)0,即ba-b+ma+m0,所以ba0,b=ln220,所以ab=ln332ln2=2ln33ln2=ln9ln8=log891,所以ab.名师点评比较大小常用的方法提醒用作差法比较大小的关键是对差式进行变形,常用的变形有通分、因式分解、配
4、方等.1.若a,b0,+),A=a+b,B=a+b,则A,B的大小关系是()A.ABB.ABC.AB答案B由题意得,B2-A2=-2ab0,又A0,B0,所以AB.2.比较a2b+b2a与a+b(a0,b0)两个代数式的大小.解析a2b+b2a-(a+b)=a3+b3-a2b-ab2ab=a2(a-b)+b2(b-a)ab=(a-b)(a2-b2)ab=(a-b)2(a+b)ab.因为a0,b0,所以(a-b)2(a+b)ab0,故a2b+b2aa+b.不等式性质的应用1.(2020沈阳调研)若实数x,y满足xy,则下列不等式成立的是() A.yx1 B.2-x0D.x2y2答案B由xy,得-
5、x-y,所以2-xyz,x+y+z=0,则下列不等式不成立的是()A.xyyzB.xyxzC.xzyzD.x|y|y|z答案ACD因为xyz,x+y+z=0,所以x0,zz,若y0,则xy0z,x0,所以xyxz,故B正确;对于C,因为xy,z0,所以xzb”是“a|a|b|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C充分性:当ab0时,不等式a|a|b|b|等价为aabb,此时成立.当0ab时,不等式a|a|b|b|等价为-aa-bb,即a2b时,不等式a|a|b|b|等价为aa-bb,即a2-b2,此时成立.故充分性成立;必要性:当a0,b0时
6、,a|a|b|b|去掉绝对值得,(a-b)(a+b)0,因为a+b0,所以a-b0,即ab.当a0,bb.当a0,bb|b|去掉绝对值得,(a-b)(a+b)0,因为a+b0,即ab,故必要性成立.综上可得,“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件.名师点评判断不等式是否成立的三种方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证;(2)利用特殊值法排除错误选项,利用不等式的性质判断不等式是否成立时,要特别注意前提条件;(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.一元二次不等式的解法角度一不含参数的一元二次不等式典例2(1)(20
7、20江西模拟)已知集合A=x|x2-4x0,B=x|y=log2(2-x),则AB=() A.x|0x2B.x|x2C.x|0x4D.x|x4(2)(2020黑龙江大庆一中模拟)已知集合A=x|-3x3,B=xN*|x2-2x-80=x|x2,所以AB=x|0x2.(2)因为B=xN*|x2-2x-80=xN*|(x-4)(x+2)0=xN*|-2x4=1,2,3,所以AB=x|-3x0时,原不等式可化为x-2a(x+1)0,解得x2a或x-1.当a-1,即a-2时,解得-1x2a;当2a=-1,即a=-2时,解得x=-1;当2a-1,即-2a0时,不等式的解集为xx2a或x-1;当-2a0时
8、,不等式的解集为x2ax-1;当a=-2时,不等式的解集为-1;当a2,B=x|x2-2x-30,则AB=()A.(3,+)B.(-,-1)(3,+)C.(2,+)D.(2,3)答案AB=x|x2-2x-30=(-,-1)(3,+),A=x|x2,故AB=(3,+).2.解不等式ax2-(a+1)x+10).解析原不等式变形为(ax-1)(x-1)0,所以ax-1a(x-1)1,即1a1时,解得1ax1;当a=1时,无解;当0a1时,解得1x1a.综上,当0a1时,不等式的解集为x1x1时,不等式的解集为x|1ax1.一元二次不等式恒成立问题角度一在R上恒成立问题典例4(2020大庆实验中学期
9、中)若不等式(a-2)x2-2(a-2)x-40对于任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是() A.(-,2)B.(-,2C.(-2,2)D.(-2,2答案D当a-2=0,即a=2时,-40恒成立;当a-20,即a2时,有a-20,=-2(a-2)2-4(a-2)(-4)0,解得-2a2.综上,实数a的取值范围是(-2,2.角度二在给定区间上恒成立问题典例5设函数f(x)=mx2-mx-1(m0),若对于任意x1,3,f(x)-m+5恒成立,则m的取值范围是.答案m0m67或m0解析f(x)-m+5可化为mx2-mx+m-60,令g(x)=mx2-mx+m-6=mx-122+34m-6,m0,
10、x1,3.要使g(x)0时,易知g(x)在1,3上是增函数,所以g(x)max=g(3)=7m-60,解得m67,则0m67;当m0时,易知g(x)在1,3上是减函数,所以g(x)max=g(1)=m-60,解得m6,所以m0.综上所述,m的取值范围是m0m67或m0,g(1)=x-2+x2-4x+40,解得x3.故当x(-,1)(3,+)时,对任意m-1,1,函数f(x)的值恒大于零.名师点评1.一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法:(1)若f(x)0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或取值范围).(2)转化为函数的
11、值域问题,即已知函数f(x)的值域为m,n,则f(x)a恒成立f(x)mina,即ma;f(x)a恒成立f(x)maxa,即na.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.1.(2020铁岭调研)若不等式4x2+ax+40在R上恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-16,0)B.(-16,0C.(-,0)D.(-8,8)答案D由题意知=a2-4440,即a264,解得-8a8,故选D.2.(2020湖北八校联考)若不等式(a-a2)(x2+1)+x0对x(0,2恒成立,则实数a的取值范围为.答案-,1-321+32,+解析x(0
12、,2,a2-axx2+1=1x+1x.要使a2-a1x+1x在x(0,2上恒成立,则a2-a1x+1xmax.由均值不等式得x+1x2,当且仅当x=1x,即x=1时等号成立.则1x+1xmax=12,故a2-a12,解得a1-32或a1+32.故实数a的取值范围为-,1-321+32,+.3.若mx2-mx-10对m1,2恒成立,则实数x的取值范围是.答案1-32,1+32解析设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是一条直线,由题意得,g(m)0在1,2上恒成立,则g(1)0,g(2)0,即x2-x-10,2x2-2x-10,解得1-32xb,则“c0”是“acbc”的()A
13、.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B2.已知集合M=x1x1,N=x|x2-2x-30,则MN =()A. B.(-1,0)C.(1,3)D.(-1,0)(1,3)答案D3.(2020黑龙江哈尔滨第三中学模拟)已知a,b,c满足cba,且acacB.c(b-a)0C.cb20答案A4.(2020安徽阜阳太和第一中学模拟)已知xy,则下列各式中一定成立的是()A.1x2 C.12x12yD.2x+2-y2答案D5.(多选题)对于实数a,b,c,下列命题是真命题的为()A.若ab,则acbc2,则abC.若ababb2D.若a0b,则|a|a0,cR,则
14、下列不等式中正确的是()A.a121b-cC.a+2b+2abD.ac2bc2答案ABC因为y=x12在(0,+)上是增函数,所以a121b-c.因为a+2b+2-ab=2(b-a)(b+2)b0,所以a+2b+2ab.当c=0时,ac2=bc2,所以D不正确.故选ABC.7.(2020山西适应性测试)若关于x的不等式ax-b0的解集是(1,+),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)0的解集是()A.(-,-1)(3,+)B.(-1,3)C.(1,3) D.(-,1)(3,+)答案A由ax-b0的解集为(1,+),可知a0且ba=1,令(ax+b)(x-3)=0,解得x1=-1,x2=3,因
15、为a0,所以(ax+b)(x-3)0的解集为(-,-1)(3,+).8.(2020安徽宣城二中模拟)对于实数x,规定x表示不大于x的最大整数,那么使不等式4x2-36x+450成立的x的取值范围是()A.32,152B.2,8C.2,8)D.2,7答案C因为4x2-36x+450,所以32x152,所以2xb;1a1b;a0且b0.以其中的两个论断作为条件,剩余的一个论断作为结论,写出一个真命题:.答案(或)解析:若a0且b0,又ab,所以aabbab,即1a1b.:若a0且b0,又1a1b,所以1aab1bab,即b0;(2)若不等式f(x)b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.解析(1
16、)f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3,原不等式可化为a2-6a-30,解得3-23a3+23.原不等式的解集为a|3-23ab的解集为(-1,3)等价于方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,即-1+3=a(6-a)3,-13=-6-b3,解得a=33,b=-3.B组能力拔高11.(2020浙江绍兴嵊州模拟)若不等式x2+a|x|+40对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.0,+)B.-4,+)C.-4,4 D.(-,-4答案Bf(x)=x2+a|x|+4为偶函数,当a0,x0时,f(x)=x2+ax+4,因为
17、x=-a20, f(0)=40,所以不等式恒成立;当a0时, f(x)=x2+ax+4,可得=a2-160,解得-4a0.综上,a-4,+).12.(多选题)(2020江西宜春模拟)函数f(x)=2 020x+sin(2 020x),若f(x2+x)+f(1-m)0恒成立,则实数m的取值范围为()A.1,+)B.-,34C.2,+)D.(-,1答案B因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, f(-x)=-2 020x-sin(2 020x)=-f(x),f(x)=2 020+2 020cos(2 020x)0,所以函数f(x)是定义在R上的单调递增的奇函数.于是f(x2+x)+f(1-m)
18、0f(x2+x)f(m-1)x2+xm-1,即mx2+x+1=x+122+34恒成立,所以实数m的取值范围为-,34.13.(2020北京海淀质检)设a0,若不等式-cos2x+(a-1)cos x+a20对于任意的xR恒成立,则a的取值范围是.答案(-,-2解析令t=cos x,则t-1,1,设f(t)=t2-(a-1)t-a2,则f(t)0对t-1,1恒成立,f(-1)0,f(1)0a-a20,2-a-a20,a0,a-2.14.设函数f(x)=2x2+bx+c,若不等式f(x)0的解集是(1,5),则f(x)=;若对于任意x1,3,不等式f(x)2+t有解,则实数t的取值范围为.答案2x
19、2-12x+10;-10,+)解析由题意知,1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,由根与系数的关系知,-b2=6,c2=5,解得b=-12,c=10,所以f(x)=2x2-12x+10.不等式 f(x)2+t在x1,3时有解,等价于2x2-12x+8t在x1,3时有解,则只要t(2x2-12x+8)min即可,不妨设g(x)=2x2-12x+8,x1,3,则g(x)在1,3上单调递减,所以g(x)g(3)=-10,所以t-10.C组思维拓展15.(多选题)不等式x2+ax+b0(a,bR)的解集为x|x1xx2,且|x1|+|x2|2,则下列各式中不成立的为()A.|a+2b|2B.|a+
20、2b|2C.|a|1 D.b1答案ABC因为不等式x2+ax+b0(a,bR)的解集为x|x1xx2,所以x1,x2是方程x2+ax+b=0的两个实数根,则x1x2=b,x1+x2=-a.令a=-1,b=0,则x1=0,x2=1,但|a+2b|=1,所以A不成立;令a=-2,b=1,则x1=x2=1,|a+2b|=4,所以B不成立;令a=0,b=-1,则x1=-1,x2=1,|a|=0,所以C不成立;b=x1x2x1+x222|x1|+|x2|221,所以D中式子成立.16.(2020四川仁寿第二中学模拟)已知函数f(x)=x2+ln(|x|+1),若对于x-1,2, f(x2+2ax-2a2
21、)9+ln 4恒成立,则实数a的取值范围是()A.-1a2-62B.-1a2+62或a2-62D.2-62a2+62答案A由题意得,函数f(x)=x2+ln(|x|+1)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=(-x)2+ln(|-x|+1)=x2+ln(|x|+1)=f(x),所以函数f(x)是R上的偶函数,且在0,+)上单调递增,又9+ln 4=32+ln(|3|+1)=f(3),所以不等式f(x2+2ax-2a2)9+ln 4对于x-1,2恒成立等价于|x2+2ax-2a2|3对于x-1,2恒成立,即x2+2ax-2a2-3对于x-1,2恒成立.令g(x)=x2+2ax-2a2-3,则g(-1)=-2a2-2a-20,g(2)=-2a2+4a+12+62或a2-62,满足式.令h(x)=x2+2ax-2a2+3=0,则当=4a2+8a2-120,即-1a0,即a1时,由h(-1)=1-2a-2a2+30,h(2)=4+4a-2a2+30,且-a2,知不存在a使式成立.综上所述,实数a的取值范围是-1a2-62.
