1、第三节导数的应用(二) 考点一利用导数解决生活中的优化问题 例1(2013重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大自主解答(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意得
2、200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)由h0，且r0可得0r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8，即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大【方法规律】利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，产品的正品率P与日产量x(xN*)件之间的关系为P，每生产一件正品盈利
3、4 000元，每出现一件次品亏损2 000元(注：正品率产品中的正品件数产品总件数100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；(2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值解：(1)y4 000x2 000x3 600xx3，所求的函数关系式是yx33 600x(xN*,1x40)(2)由(1)知y3 6004x2.令y0，解得x30.当1x0；当30x40时，y0，函数yx33 600x(xN*,1x40)在(1,30)上是单调递增函数，在(30,40)上是单调递减函数当x30时，函数yx33 600x(xN*,1x40)取得最大值，最大值为3033 6003
4、072 000(元)该厂的日产量为30件时，日利润最大，最大值为72 000元考点二利用导数研究函数的零点或方程的根 例2已知函数f(x)(ax2x1)ex，其中e是自然对数的底数，aR.(1)若a1，求曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若a0，求f(x)的单调区间；(3)若a1，函数f(x)的图象与函数g(x)x3x2m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围自主解答(1)a1时，f(x)(x2x1)ex，所以f(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x23x)ex，所以曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为kf(1)4e.又因为f(1)e，所以所求切线方程为ye4e(
5、x1)，即4exy3e0.(2)f(x)(2ax1)ex(ax2x1)exax2(2a1)xex，若a0，当x时，f(x)0；当0x0.所以f(x)的单调递减区间为(，0，；单调递增区间为.若a，则f(x)x2ex0，所以f(x)的单调递减区间为(，)若a，当x0时，f(x)0；当x0.所以f(x)的单调递减区间为，0，)；单调递增区间为.(3)a1时，f(x)(x2x1)ex，由(2)知，f(x)(x2x1)ex在(，1上单调递减，在1,0上单调递增，在0，)上单调递减所以f(x)在x1处取得极小值f(1)，在x0处取得极大值f(0)1.由g(x)x3x2m，得g(x)x2x.当x0时，g(
6、x)0；当1x0时，g(x)0.所以g(x)在(，1上单调递增，在1,0上单调递减，在0，)上单调递增故g(x)在x1处取得极大值g(1)m，在x0处取得极小值g(0)m.因为函数f(x)与函数g(x)的图象有3个不同的交点，所以即所以m1.故实数m的取值范围是.【互动探究】保持本例条件不变，试确定m的取值范围，使函数g(x)分别有3个零点和2个零点解：由例题可知，g(x)的极大值为g(1)m，极小值g(0)m.当g(x)有3个零点时，需即解得m0时，试讨论这两个函数图象的交点个数解：(1)h(x)ln xx22x(x0)，则h(x)ax2.若使h(x)存在单调递减区间，则h(x)ax20时，
7、h(x)ax22a，问题转化为a在(0，)上有解，故a大于函数t在(0，)上的最小值又t21，故t在(0，)上的最小值为1，所以a1，故a的取值范围为(1，)(2)令F(x)f(x)g(x)axln x1(a0，x0)函数f(x)ax与g(x)ln x1的图象的交点个数即为函数F(x)的零点个数 F(x)a(x0)令F(x)a0，解得x.随着x的变化，F(x)，F(x)的变化情况如下表：xF(x)0F(x)极(最)小值当F2ln a0，即ae2时，F(x)恒大于0；当F2ln a0，即ae2时，函数F(x)有且仅有一个零点；当F2ln a0，即0a1.又F(1)a10，所以F(1)F时，F(x
8、)ln 1.由指数函数y(ea)x(ea1)与幂函数yx增长速度的快慢知，存在x0，使得1.从而F(x0)ln1ln 1110.因而F(x0)F0.又F(x)在内单调递增，F(x)在上的图象是连续不断的曲线，所以F(x)在内有且仅有一个零点因此，当0ae2时，f(x)与g(x)的图象无交点；当ae2时，f(x)与g(x)的图象有且仅有一个交点；当0a2时，不等式axx22(x2)cos x4对x0,1不恒成立因为当x0,1时，axx22(x2)cos x4(a2)xx24(x2)sin2(a2)xx24(x2)2(a2)xx2(a2)xx2x.所以存在x0(0,1)满足ax0x2(x02)co
9、s x040，即当a2时，不等式axx22(x2)cos x40对x0,1不恒成立综上，实数a的取值范围是(，2导数在不等式问题中的应用问题的常见类型及解题策略(1)利用导数证明不等式证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)0，由增函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)(2
10、)利用导数解决不等式的恒成立问题利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题(2013新课标全国卷)设函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y4x2. (1)求a，b，c，d的值；(2)若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围解：(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.从而a
11、4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)设函数F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，则F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由题设可得F(0)0，即k1.令F(x)0，得x1ln k，x22.()若1ke2，则2x10，从而当x(2，x1)时，F(x)0；当x(x1，)时，F(x)0，即F(x)在(2，x1)上单调递减，在(x1，)上单调递增，故F(x)在2，)的最小值为F(x1)而F(x1)2x12x4x12x1(x12)0.故当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立()若ke2，则F(x)2e2(x2)(exe
12、2)从而当x2时，F(x)0，即F(x)在(2，)上单调递增而F(2)0，故当x2时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立()若ke2，则F(2)2ke222e2(ke2)0.从而当x2时，f(x)kg(x)不可能恒成立综上，k的取值范围是1，e2课堂归纳通法领悟1个构造构造函数解决问题把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法2个转化不等式问题中的两个转化(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用 (2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理3个注意点利用导数解决实际问题应注意的三点 (1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示，还要注意确定函数关系式中自变量的取值范围 (2)一定要注意求得函数结果的实际意义，不符合实际的值应舍去(3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.
