1、第三章 空间向量与立体几何31.3 两个向量的数量积第三章 空间向量与立体几何 1.了解空间向量的夹角、两条异面直线所成的角的概念 2.理解两个向量数量积的概念3掌握数量积的运算及应用栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何1两个向量的夹角非零向量AOB090aba，b栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何2异面直线不同在任何一个平面内平移锐角或直角互相垂直栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何3两个向量的数量积(或内积)abbaacbccosa，eab0栏目导引探究案讲练互动应用案
2、巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若 ab0，则 a0 或 b0.()(2)对于非零向量 a，b，a，b与a，b相等()(3)若 abbc，且 b0，则 ac.()(4)若 a，b 均为非零向量，则 ab|a|b|是 a 与 b 共线的充要条件()栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何2在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为 45的是()AAB 与AC BAB 与CACAB 与ADDAB 与BA答案：A栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何3已知向量 a，b
3、满足|a|1，且 ab2，a 与 b 的夹角为3，则|b|_答案：44已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_答案：23栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 向量的数量积的概念与性质 下列命题是否正确？正确的给出证明，不正确的给出理由(1)ab0，则 a0 或 b0；(2)p2q2(pq)2；(3)|pq|pq|p2q2|；(4)若 a 与(ab)c(ac)b 均不为 0，则它们垂直栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何【解】(1)此命题不正确 因为 ab0 有两种情况：当 a，b 均不为零向量时，则 a 与 b
4、垂直，此时 ab0；当 a 与 b 至少有一个为 0 向量时，ab0 也成立，故由 ab0，推不出 a0 或 b0.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何(2)此命题不正确 因为 p2q2|p|2|q|2，而(pq)2(|p|q|cosp，q)2|p|2|q|2cos2p，q，所以当且仅当 pq 时，p2q2(pq)2.(3)此命题不正确 因为|p2q2|(pq)(pq)|pq|pq|cospq，pq|，当且仅当(pq)(pq)时，|p2q2|pq|pq|.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何(4)正确 因为 a(a
5、b)c(ac)b a(ab)ca(ac)b(ab)(ac)(ab)(ac)0，因为两向量均为非零向量，故 a 与(ab)c(ac)b 垂直栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何关于向量数量积的概念题，弄清其实质是关键，两个向量的数量积是一个数量，它等于两向量模与其夹角余弦值的乘积，两向量数量积有正也有负也可为 0.当两向量垂直时其数量积为零 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 下列结论中，正确的是()A(ab)ca(bc)B若 ab|a|b|，则 a、b 共线C非零向量 a、b、c，若 acbc，则 abD若|a|
6、2|b|2，则 ab解析：选 BA 中内积不满足结合律，C 中数量积不满足消去律，D 只能得到|a|b|，故选 B栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 空间向量数量积的运算 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，ABAA12，AD4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点求下列向量的数量积(1)BC ED1；(2)BF AB1.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何【解】如图所示，设AB a，AD b，AA1 c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)BC ED1 BC(EA1 A
7、1D1)b12(ca)b|b|24216.(2)BF AB1(BA1 A1F)(AB AA1)ca12b(ac)|c|2|a|222220.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 若本例的条件不变，计算EF FC1.解：EF FC1(EA1 A1F)(FD1 D1C1)12(AA1 AB)12AD 12AD AB 12(ca)12b 12ba 12(abc)12ba 12|a|214|b|22.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何(1)空间向量运算的两种方法利用定义：利用 ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计
8、算 利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式 利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积 代入 ab|a|b|cosa，b求解 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 1.已知|a|3，|b|4，a，b120，则(3a2b)(a2b)_解析：(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|2 3|a|24|a|b|cos 1204|b|2 3943412 416 27246461.答案：61栏目导
9、引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何2.如图，已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求：(1)OA OB；(2)(OA OB)(CA CB)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何解：在正四面体 OABC 中，|OA|OB|OC|1，OA，OB OA，OC OB，OC 60.(1)OA OB|OA|OB|cosAOB11cos 6012.(2)(OA OB)(CA CB)(OA OB)(OA OC OB OC)(OA OB)(OA OB 2OC)OA 22OA OB 2OA OC OB 22OB OC 12212211cos
10、 6012211cos 60 111111.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 数量积的应用 如图，在空间四边形 OABC 中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求 OA 与 BC 的夹角的余弦值栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何【解】因为BC AC AB，所以OA BC OA AC OA AB|OA|AC|cosOA，AC|OA|AB|cosOA，AB 84 cos 13586cos 1202416 2.所以 cosOA，BC OA BC|OA|BC|2416 28532 25，所以 O
11、A 与 BC 的夹角的余弦值为32 25.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何(1)由公式 ab|a|b|cosa，b可得 cosa，b ab|a|b|.所以求两个向量的夹角可以先求解数量积及向量的模，再代入公式求解(2)利用夹角公式求两条异面直线的夹角 时，要注意 cos|cosa，b|ab|a|b|，这是因为异面直线的夹角为不大于 90的角 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC1 的中点，求证：A1O平面 GBD.栏目导引探
12、究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何证明：设A1B1 a，A1D1 b，A1A c，则 ab0，bc0，ac0.而A1O A1A AO A1A 12(AB AD)c12(ab)，BD AD AB ba，OG OC CG 12(AB AD)12CC1 12(ab)12c.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何所以A1O BD(c12a12b)(ba)c(ba)12(ab)(ba)12(|b|2|a|2)0.所以A1O BD，所以 A1OBD.同理可证：A1O OG，所以 A1OOG.又因为 OGBDO，且 A1O平面 BDG，所
13、以 A1O平面 GBD.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何1对向量数量积的理解(1)ab 是数量而不是向量，ab 的正负由 cosa，b确定(2)ab 是两向量之间的一种乘法，与数的乘法不同书写时应写成 ab，而不能写成 ab.(3)ab 的几何意义为：ab 等于 a 的模|a|与 b 在 a 方向上的投影|b|cosa，b的乘积，也等于向量 b 的模|b|与 a 在 b 方向上的投影|a|cosa，b的乘积(4)零向量与任何向量的数量积都为 0，即 0a0.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何2向量夹角与异面直
14、线的关系若两个向量 a，b 所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为.(1)不同之处：向量夹角的范围是：0a，b，异面直线夹角 的范围是：02.(2)联系：当两向量的夹角为锐角时，a，b；当两向量的夹角为2时异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，则 a，b栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何求空间图形中两个向量的夹角，要注意分析图形，把一个向量的起点平移到与另一个向量的起点重合，转化为求平面角的大小，但一定要注意向量的方向如AB，AC 与AB，CA 两个夹角是互补的栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何1已知向量 a
15、，b 是平面 内两个不相等的非零向量，非零向量 c 在直线 l 上，则“ca0，且 cb0”是“l”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 B若 l，则 ca，ca0，cb，cb0，反之，若 ab，且 ca，cb，并不能证明 l.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何2设空间有四个互异的点 A，B，C，D，已知(DB DC 2DA)(ABAC)0，则ABC 是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形解析：选 B因为(DB DC 2DA)(AB AC)(AB AC)(AB AC)AB 2AC 20，所以
16、|AB|AC|.所以ABC 是等腰三角形栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何3已知 i、j、k 是两两垂直的单位向量，a2ijk，bij3k，则 ab 等于_解析：ab(2ijk)(ij3k)2i2j23k22.答案：2栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何4已知|a|2，|b|2，且 a 与 2ba 互相垂直，则 a 与 b 的夹角大小为_解析：因为 a 与 2ba 互相垂直，所以 a(2ba)0，所以 ab12a212|a|22.所以 cosa，b ab|a|b|22 2 22，所以a，b4.答案：4栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
