1、第三章 空间向量与立体几何32.2 平面的法向量与平面的向量表示第三章 空间向量与立体几何 1.了解空间向量在立体几何中应用的广泛性 2.理解平面的法向量的概念及平面的向量表示 3掌握利用平面的法向量证明平行、垂直问题(包括三垂线定理及其逆定理)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何1平面的法向量的概念如果一个向量 n 的基线与平面 垂直，则向量 n 叫做_，或说向量 n 与平面 正交2平面向量的表示式A 是空间任一点，n 为空间内任一非零向量，则_表示通过空间内一点 A 并且与一个向量 n垂直的平面平面 的法向量AM n0栏目导引探究案讲练互动应用案巩固
2、提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何注意(1)满足AM n0 的点 M 的轨迹是一个与向量 n 垂直的平面.AM n0 通常称为一个平面的向量表示式(2)若 n1、n2 分别是平面、的法向量，则 或 与 重合n1n2，n1n2n1n20.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何3射影的概念已知平面 和一点 A，过点 A 作 的垂线 l 与 相交于点 A，则 A就是点 A 在平面 内的正射影，以下简称射影由上述定义可知，平面 内的任一点在 内的射影都是它自身图形 F 上所有的点在平面 内的射影所成的集合 F，叫做图形F 在平面 内的射影栏目导引探究案讲
3、练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何4斜线的相关概念如果一条直线 AB 和平面 相交于点 B，但不和 垂直，那么直线 AB 叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点 B 叫做斜足，斜线上一点 A 与斜足 B 之间的线段叫做斜线段 AB.5三垂线定理及其逆定理如果在_内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的_垂直，则它也和这条_垂直；反之，如果平面内的一条直线和这个平面的一条_垂直，则它也和这条斜线在平面内的_垂直平面射影斜线斜线射影栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何1在空间直角坐标系中，平面 xOz 的一个法向量是()A(1，0，
4、0)B(0，1，0)C(0，0，1)D(0，1，1)答案：B栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何2平面，的法向量分别是 a(4，0，2)，b(1，0，2)，则平面，的位置关系是()A平行B垂直C相交不垂直D无法判断解析：选 B因为 ab4040，所以.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何3斜线 b 在平面 内的射影为 c 且直线 ac，则 a 与 b_垂直.(填“一定”或“不一定”)解析：因为 a 不一定在平面 内，所以 a 与 b 不一定垂直答案：不一定栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空
5、间向量与立体几何 求平面的法向量 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点，ABAP1，AD 3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何【解】因为 PA平面 ABCD，底面 ABCD为矩形，所以 AB，AD，AP 两两垂直 如图，以 A 为坐标原点，AB 的方向为 x 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 D(0，3，0)，E0，32，12，B(1，0，0)，C(1，3，0)，于是AE 0，32，12，AC(1，3，0)栏目导引探究案讲练互动应用案
6、巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何设 n(x，y，z)为平面 ACE 的法向量，则nAC 0，nAE 0，即x 3y0，32 y12z0，所以x 3y，z 3y，令 y1，则 xz 3.所以平面 ACE 的一个法向量为 n(3，1，3)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何若要求出一个平面的法向量，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤为：(1)设出平面法向量 n(x，y，z)；(2)找出(求出)平面内的两个不共线向量 a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)；(3)根据法向量定义na0nb0建立关于 x，y，z 的方
7、程组：xa1yb1zc10，xa2yb2zc20；(4)解方程组，取其中一个解，即得法向量 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 已知ABC 的三个顶点的坐标分别为A(1，2，3)，B(2，0，1)，C(3，2，0)，试求出平面 ABC的一个法向量解：设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z)，因为 A(1，2，3)，B(2，0，1)，C(3，2，0)，所以AB(1，2，4)，AC(2，4，3)，由题设得：nAB 0nAC 0即x2y4z02x4y3z0，解之得x2yz0，取 y1，则 x2.故平面 ABC 的一个法向量为 n(2，1，0)栏目导引探究
8、案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 利用法向量证明垂直或平行问题 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1、CD 的中点，求证：平面 AED平面 A1FD1.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何【证明】如图，建立空间直角坐标系 Dxyz.设正方体棱长为 1，则 E1，1，12、D1(0，0，1)、F0，12，0，A(1，0，0)，A1(1，0，1)所以DA(1，0，0)，DE 1，1，12，D1F 0，12，1，D1A1(1，0，0)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立
9、体几何设 m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面 AED 和 A1FD1的一个法向量，由mDA 0，mDE 0，x10，x1y112z10.令 y11，得 m(0，1，2)又由nD1A1 0，nD1F 0.x20，12y2z20 令 z21，得 n(0，2，1)因为 mn(0，1，2)(0，2，1)0，所以 mn，故平面 AED平面 A1FD1.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何用空间向量法解决立体几何中的垂直问题，主要是运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也可借助空间中已有的一些关于垂直的定理 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升
10、预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA12AB2BC，E，F，E1 分别是棱 AA1，BB1，A1B1 的中点求证：CE平面 C1E1F.证明：以 D 为原点，以 DA，DC，DD1 所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设 BC1，则 C(0，1，0)，E(1，0，1)，C1(0，1，2)，F(1，1，1)，E11，12，2.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何设平面 C1E1F 的法向量为 n(x，y，z)，因为C1E1 1，12，0，FC1(1，0，1)，所以nC1E1 0
11、，nFC1 0，即x12y，xz，取 n(1，2，1)因为CE(1，1，1)，nCE 1210，所以CE n，且 CE平面 C1E1F.所以 CE平面 C1E1F.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 三垂线定理及其逆定理的应用 在空间四边形 PABC 中，PA平面 ABC，ACBC，若A 在 PB、PC 上的射影分别为 E、F.求证：EFPB.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何【证明】因为 PA平面 ABC，所以 PABC.又因为 ACBC，PAACA，所以 BC平面 PAC.而 AF平面 PAC，所以 BCA
12、F.又因为 F 是点 A 在 PC 上的射影，所以 AFPC，又 BCPCC，所以 AF平面 PBC.所以 AE 在平面 PBC 内的射影为 EF.又因为 E 为 A 在 PB 上的射影，所以 AEPB.由三垂线定理的逆定理知 EFPB.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何要想利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1
13、 中，求证：A1C平面 C1BD.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何证明：连接 AC(图略)因为 A1A平面 ABCD，所以 AC 是 A1C 在平面 ABCD 内的射影 又因为 DBAC，所以由三垂线定理，得 DBA1C.同理可得 BC1A1C.又 DBBC1B，所以 A1C平面 C1BD.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何1求一个平面的法向量常用的两种方法(1)几何法：利用几何条件找出一条与平面垂直的直线，在其上取一条有向线段即可(2)待定系数法：其步骤如下：栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学
14、习第三章 空间向量与立体几何2三垂线定理及逆定理是证明空间两直线垂直的一种基本方法，从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题，逆定理恰好相反用三垂线定理及逆定理证明直线与直线垂直的关键是构造三垂线定理的基本图形，构造基本图形有以下三个环节：栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何利用向量法证明平行、垂直问题可借助平面的法向量，来帮助求解，建系后准确求出点、向量的坐标是解题的关键.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何1若 n(2，3，1)是平面 的一个法向量，则下列向量中能作平面 法向量的是()A(
15、0，3，1)B(2，0，1)C(2，3，1)D(2，3，1)答案：D栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何2若平面 与 的法向量分别是 a(1，0，2)，b(1，0，2)，则平面 与平面 的关系是()A平行B垂直C相交但不垂直D无法判断解析：选 A因为 ab，所以 ab.所以.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何3平面，的法向量分别为 m(1，2，2)，n(2，4，k)，若，则 k 等于_解析：由 知，mn0.所以282k0 解得 k5.答案：5栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何4已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面 ABC 的单位法向量坐标为_解析：设单位法向量 n0(x，y，z)，AB(1，1，0)，AC(1，0，1)由 n0AB 0 且 n0AC 0 得x2y2z21，yx0，zx0，所以x 33，y 33，z 33或x 33，y 33，z 33.答案：33，33，33 或 33，33，33栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 空间向量与立体几何本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
