1、考纲要求1.理解排列、组合的概念2理解排列数公式、组合数公式3能利用公式解决一些简单的实际问题考情分析1.单独考查时常以排列、组合综合问题呈现，有时也渗透在概率问题中2从命题形式上来看，以选择题、填空题的形式出现 小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列。()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同。()(3)若组合式 CxnCmn，则 xm 成立。()(4)组合数公式的阶乘形式主要用于计算具体的组合数。()(5)排列定义规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况。也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就
2、不再取了。()解析：(1)错误。由排列与组合的定义可知，所有元素完全相同的两个组合是相同组合，而排列则不一定是相同的排列，与它们的顺序还有关系。(2)正确。由组合的概念可知，该问题是正确的。(3)错误。由组合数的性质可知当 CxnCmn时，xm 或 xnm。(4)错误。组合数公式的连乘形式常用于计算具体的组合数，阶乘形式常用于对含有字母的组合数的式子进行变形，所以该说法错误。(5)正确。由定义易知，取出的元素各不相同，因此取了的不能再取了。2设直线的方程是 AxBy0，从 1,2,3,4,5 这五个数中每次取两个不同的数作为 A、B 的值，则所得不同直线的条数是()A20 B19C18 D16
3、解析：重合的有 x2y0 与 2x4y0；2xy0 与 4x2y0，有 A25218(条)。答案：C3某校开设 10 门课程供学生选修，其中 A、B、C 三门由于上课时间相同，至多选一门。学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是()A120 B98C63 D56解析：分两类：第一类 A，B，C 三门课都不选，有 C3735(种)方案。第二类 A，B，C 中选一门，剩余 7 门课中选两门，有 C13C2763(种)方案。故共有 356398(种)方案。答案：B4将 1,2,3 填入 33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有()1 2 3
4、3 1 22 3 1A.6 种 B12 种C24 种 D48 种解析：如图，不同填法有：C13C12C1212(种)。C13 C12 C11C12 C11 C11C11 C11 C11答案：B5电视台连续播放 6 个广告，其中含 4 个不同的商业广告和两个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有_种不同的播放方式(结果用数值表示)。解析：采用特殊位置法，先让两个不同的公益广告排在首尾两个位置，再让 4 个商业广告排在剩下的 4 个位置，据分步计数原理可知共有 2A4448(种)播放方式。答案：48知识重温一、必记 2个知识点1排列与排列数(1)排列的定义：一般地，从 n 个_元素中取出
5、 m(mn)个元素，按照一定的_排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个排列。(2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的_的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记为 Amn。(3)排列数公式Amnn(n1)(n2)(nm1)_。Annn(n1)(n2)321_，规定 0！1。不同顺序所有不同排列n！nm！n！2组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从 n 个_的元素中取 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。(2)组合数的定义：从 n 个_元素中取出 m(mn)个元素的_的个数，叫做从 n 个不同元
6、素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cmn表示。(3)组合数公式Cmn _ _ _。(4)组合数的性质性质 1：Cmn_。性质 2：Cmn1_(mn，nN*，mN*)。不同不同所有不同组合AmnAmmnn1n2nm1m！n！m！nm！CnmnCm1nCmn二、必明 3个易误点1要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数。2解受条件限制的组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)。分类时标准应统一，避免出现遗漏或重复。3解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义。考点一 排列问题【典例 1】有 5 个同学排队照相，求：(1)甲、乙两个同学必须相邻的排法有多
7、少种？(2)甲、乙、丙 3 个同学互不相邻的排法有多少种？(3)乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面的排法有多少种？(4)甲不站在中间位置，乙不站在两端两个位置的排法有多少种？解析：(1)这是典型的相邻问题，采用捆绑法。先排甲、乙，有A22种方法，再与其他 3 名同学排列，共有 A22A4448(种)不同排法。(2)这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的 2 名同学，有 A22种排法，出现 3 个空，将甲、乙、丙插空，所以共有 A22A3312(种)排法。(3)这是顺序一定问题，由于乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面，故 3 人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列。方法一：5 人的全排列共有 A55种
8、，甲、乙、丙 3 人全排列有 A33种，而 3 人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，所以共有A55A3320(种)排法。方法二：采用插空法，先排甲、乙、丙 3 人，只有一种排法，然后插入 1 人到甲、乙、丙中，有 4 种插法，再插入 1 人，有 5 种插法，故共有 4520(种)排法。(4)方法一：(直接法)若甲排在了两端的两个位置之一，甲有 A12种，乙有 A13种，其余 3 人有 A33种，所以共有 A12A13A33种；若甲排在了第 2和第 4 两个位置中的一个，有 A12种，这时乙有 A12种，其余 3 人有 A33种，所以一共有 A12A12A33种，因此符合要求的一共有 A12
9、A13A33A12A12A3360(种)排法。方法二：(间接法)5 个人全排列有 A55种，其中甲站在中间时有 A44种，乙站在两端时有 2A44种，且甲站中间同时乙在两端时有 2A33种，所以一共有 A55A442A442A3360(种)排法。悟技法求解排列应用题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中先整体后局部“小集团”排列问题中先整体后局部定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，
10、排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法通一类18 名游泳运动员参加男子 100 米的决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为 1,2,3,4,5,6,7,8 的 8 条泳道，若指定的 3 名运动员所在的泳道编号必须是 3 个连续数字(如：5,6,7)，则参加游泳的这 8 名运动员被安排泳道的方式共有()A360 种 B4 320 种C720 种 D2 160 种解析：法一：先从 8 个数字中取出 3 个连续的数字共有 6 种方法，将指定的 3 名运动员安排在这 3 个编号的泳道上，剩下的 5 名运动员安排在其他编号的 5 条泳道上，共有 6A33A554 320 种安排方式。
11、法二：先将所在的泳道编号是 3 个连续数字的 3 名运动员全排列，有 A33种排法，然后把他们捆绑在一起当作一名运动员，再与剩余 5 名运动员全排列，有 A66种排法，故共有 A33A664 320 种安排方式。答案：B考点二 组合问题【典例 2】从 7 名男生 5 名女生中选取 5 人当班干部，分别求符合下列条件的选法总数有多少种。(1)A，B 必须当选；(2)A，B 必不当选；(3)A，B 不全当选；(4)至少有 2 名女生当选。解析：(1)由于 A，B 必须当选，那么从剩下的 10 人中选取 3 人即可，有 C310120(种)。(2)从除去 A，B 两人后的 10 人中选 5 人即可。
12、有 C510252(种)。(3)全部选法有 C512种，A，B 全当选有 C310种，故 A，B 不全当选有 C512C310672(种)。(4)注意到“至少有 2 名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，有 C512C15C47C57596(种)选法。悟技法两类组合问题的解决方法(1)“至少”“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解。用直接法或间接法都可以求解。通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。(2)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的
13、元素中去选取。通一类2(2016眉山模拟)从某学习小组的 5 名男生和 4 名女生中任意选取 3 名学生进行视力检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数有()A35 B70C80 D140解析：分 3 步来计算：从 9 人中，任取 3 人进行视力检测，分析可得，这是组合问题，共 C3984 种情况；选出的 3 人都为男生时，有 C3510 种情况，选出的 3 人都为女生时，有 C344 种情况；根据排除法，可得符合题意的选法共 8410470 种。答案：B考点三 排列与组合的综合问题【典例 3】已知 10 件不同产品中有 4 件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有 4 件次
14、品为止。(1)若恰在第 5 次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第 5 次测试后，就找出了所有 4 件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解析：(1)先排前 4 次测试，只能取正品，有 A46种不同测试方法，再从 4 件次品中选 2 件排在第 5 和第 10 的位置上测试，有 C24A22A24种测法，再排余下 4 件的测试位置，有 A44种测法。所以共有不同排法 A46C24A22A44103 680(种)。(2)第 5 次测试恰为最后一件次品，另 3 件在前 4 次中出现，从而前 4 次有一件正品出现。所以共有不同测试方法 A14
15、(C16C33)A44576(种)。悟技法解答排列与组合的综合问题应注意“先选后排”，注意“选”和“不选”应优先考虑。通一类3某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加。当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻。那么不同的发言顺序的种数为()A360 B520C600 D720解析：若甲乙同时参加，可以先从剩余的 5 人中选出 2 人，先排此两人，再将甲乙两人插入其中即可，则共有 C25A22A23种不同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参加，则共有 C12C35A44种不同的发言顺序，综上可得不同的发言顺序为 C25A22A23C12C35A44600
16、 种。答案：C考点四 分组分配问题【典例 4】按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本；(3)平均分成三份，每份 2 本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本；(5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本；(7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本。解析：(1)无序不均匀分组问题。先选 1 本有 C16种选法；再从余下的 5 本中选 2 本有 C25种选法；最后
17、余下 3 本全选有 C33种方法，故共有C16C25C3360(种)。(2)有序不均匀分组问题。由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有 C16C25C33A33360(种)。(3)无序均匀分组问题。先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复。不妨记 6 本书为 A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD，AB，EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共 A33种情况，而这 A33种
18、情况仅是 AB、CD、EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法。故分配方式有C26C24C22A3315(种)。(4)有序均匀分组问题。在第(3)题基础上再分配给 3 个人，共有分配方式C26C24C22A33A33C26C24C2290(种)。(5)无序部分均匀分组问题，共有C46C12C11A2215(种)。(6)有序部分均匀分组问题。在第(5)题基础上再分配给 3 个人，共有分配方式C46C12C11A22A3390(种)。(7)直接分配问题。甲选 1 本有 C16种方法，乙从余下 5 本中选 1 本有 C15种方法，余下 4 本留给丙有 C44种方法，共有 C16C15C4430(种)。
19、悟技法分组分配问题的解题方法(1)相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“挡板法”。(2)不同元素的“分配”问题，利用分步计数原理，分两步完成，第一步是分组，第二步是发放。(3)限制条件的分配问题采用分类法分解。通一类4有 10 个相同的小球，分给甲、乙、丙三个人，每人至少一个小球，有_种不同的分法。解析：如下图：|要想把 10 个小球分成三堆，需在这 10 个小球产生的 9 个空档处插入两个隔板，就分成三堆了，共有 C2936 种分法。答案：36高考模拟1(2016贵阳模拟)有 6 个座位连成一排，现有 3 人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A36 种 B48 种C72 种 D9
20、6 种解析：恰有两个空座位相邻，相当于两个空座位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共有 A33A2472 种坐法。答案：C2(2016长春模拟)只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A6 个 B9 个C18 个 D36 个解析：由题意知，1,2,3 中必有某一个数字重复使用 2 次，第一步确定谁被使用 2 次，有 3 种方法；第二步把这 2 个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有 3 种方法；第三步将余下的 2 个数放在四位数余下的 2 个位置上，有 2 种方法故共可组成 33218 个不同的四位数。答案
21、：C3(2016重庆模拟)有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、丙各需 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选派方法有()A1 260 种 B2 025 种C2 520 种 D5 054 种解析：按分步乘法计数原理考虑：第一步安排甲任务有 C210种方法，第二步，安排乙任务有 C18种方法，第三步安排丙任务有 C17种方法，所以总共有 C210C18C172 520 种方法。答案：C4(2016沈阳模拟)某校高三年级六个班，现从外地转入 4 名学生安排在其中两个班，每班 2 名，则不同的安排方案种数为()A6 B24C180 D90解析：先把 4 名学生平均分成两组有C24C22A22 3 种，再将两组分到六个班的两个班中有 A2630 种，所以共有 33090 种不同方案。答案：D5(2016张掖模拟)将 5 位志愿者分成 3 组，其中两组各 2 人，另一组 1 人，分赴青奥会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答)。解析：先将 5 位志愿者分成 3 组共有C25C23A22 种方法，再分到三个不同场馆共有 A33种方法，所以不同的分配方案有：C25C23A22 A3390 种。答案：90
