1、单元质检十一计数原理(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.从6个盒子中选出3个来装东西,且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有()A.16种B.18种C.22种D.37种2.若x2-1xn展开式的二项式系数之和为128,则展开式中x2的系数为()A.-21B.-35C.35D.213.旅游体验师小明受某网站邀请,决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游,若不能最先去甲景区旅游,不能最后去乙景区和丁景区旅游,则小明可选的旅游路线数为()A.24B.18C.16D.104.(2021湖南衡阳一模)x-ax6的展开式中常数项为-20,则x4项的
2、系数为()A.-6B.-15C.6D.155.甲、乙、丙3名同学在课余时间负责一个计算机机房的周一至周六的值班工作,每天1人值班,每人值班2天,若甲同学不值周一的班,则可以排出的不同值班表有()A.90种B.89种C.60种D.59种6.(2021广西崇左模拟改编)某市政府决定选派8名干部(5男3女)到该市甲、乙两个县去督查工作,若要求每个县至少要派3名干部,每个干部必须去两个县中的一个督查,且不能将3名女干部编为一组去某个县督查,则不同的派遣方案共有()A.90种B.125种C.180种D.250种7.已知二项式(1+x)n展开式中系数最大的只有第5项,则x2项的系数为()A.28B.36C
3、.56D.848.若(x-1)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a8(1+x)8,则a6等于()A.112B.28C.-28D.-1129.(2021全国)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为()A.13B.25C.23D.4510.(2021贵州贵阳二模)如图所示,在由二项式系数构成的杨辉三角中,第m行中从左至右第14个数与第15个数的比为23,则m=()A.40B.50C.34D.3211.(2021江苏南京师大附中月考)如图,某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成,七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内,且恰有一种颜色涂在相对区域内,则不同颜色图案的此类太阳
4、伞最多有()A.40 320种B.5 040种C.20 160种D.2 520种12.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,则不同的染色方案共有()种.A.14 400B.28 800C.38 880D.43 200二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.x-2+1x4展开式中的常数项为.14.从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)15.已知x3+2xn的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为.16.已知甲、乙、丙、丁4人同时到5个不同的地区参加活动,若
5、每个地区最多有2人参加(2人到同一个地区,不区分2人在其中的角色),则甲、乙、丙、丁4人参加活动的不同安排方式总数是.答案：1.A解析从6个盒子中选出3个来装东西,有C63=20(种)方法,甲、乙都未被选中的情况有C43=4(种)方法,故甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有20-4=16(种),故选A.2.C解析由已知得2n=128,n=7,所以Tr+1=C7rx2(7-r)-1xr=C7r(-1)rx14-3r,令14-3r=2,得r=4,所以展开式中x2的系数为C74(-1)4=35,故选C.3.D解析分两种情况,第一种:最后体验甲景区,则有A33种可选的路线;第二种:不在最后体验甲景区
6、,则有C21A22种可选的路线.所以小明可选的旅游路线数为A33+C21A22=10.4.A解析x-ax6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r-axr=(-a)rC6rx6-2r.当r=3时,为常数项,有C63(-a)3=-20,得a=1.令6-2r=4,得r=1,所以x4项的系数为C61(-1)1=-6.5.C解析特殊元素优先考虑,甲同学不值周一的班,则先考虑甲,分步完成:从除周一外的5天中任取2天安排甲,有C52种;从剩下的4天中选2天安排乙,有C42种;仅剩2天安排丙,有C22种.由分步乘法计数原理,可得一共有C52C42C22=60(种).6.C解析因为每个县至少要派3人,则两个县
7、中派遣的人数分别为3,5或4,4.又因为3名女干部不能单独成一组,有C83C55+C84C44A22-1=90种分组方法,则不同的派遣方案种数为90A22=180.7.A解析因为二项式(1+x)n展开式中系数最大的只有第5项,所以二项式(1+x)n展开式中共有9项,所以n=8.通项公式T2+1=C82x2=28x2,即x2项的系数为28.故选A.8.A解析(x-1)8=(x+1)-28=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a8(1+x)8,a6=C82(-2)2=4C82=112.9.C解析将4个1和2个0随机排成一行的总的排法为C62=15种,其中2个0不相邻的排法为C52=10种,所以
8、2个0不相邻的概率为23.10.C解析因为二项式的展开式中第r+1项的系数为Tr+1=Cmr,所以第m行的第14个和第15个的二项式系数分别为Cm13与Cm14,由题意得Cm13Cm14=23,整理得14m-13=23,解得m=34.11.D解析先从7种颜色中任意选择一种,涂在相对的两个区域内,有C71=7种方法,再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内,共有A66种方法.由于图形是轴对称图形,所以上述方法正好重复一次,所以共有7A662=2520种不同的涂法.12.C解析从点P出发的4条侧棱一定要用4种不同的颜色,有A64=360(种)不同的方案,接下来底面的染色根据是否使用剩下的2种颜色
9、分类计数:不使用新的颜色,有2种染色分类方案.使用1种新的颜色,分为2类:第一类,染一条边,有244=32(种)方案;第二类,染两条对边,有224=16(种)方案.使用2种新的颜色,分为4类:第一类,染两条邻边,有423=24(种)方案;第二类,染两条对边,有224=16(种)方案;第三类,染三条边,有422=16(种)方案;第四类,染四条边,有2种方案.因此不同的染色方案种数为3602+(32+16)+(24+16+16+2)=38880,故选C.13.70解析二项式x-2+1x4可化为x2-2x+1x4=(x-1)8x4,可知常数项为分子中含x4的项,为C84x4,故常数项为C84=70.
10、14.1 260解析若不取0,则有C52C32A44个;若取0,则有C52C31A31A33个,因此一共有C52C32A44+C52C31A31A33=1260(个)没有重复数字的四位数.15.40解析由题意,得二项式x3+2xn的展开式中各项系数和为243,令x=1,则3n=243,解得n=5,所以二项式x3+2x5的展开式的通项为Tr+1=C5r(x3)5-r2xr=2rC5rx15-4r,令r=2,则T3=22C52x15-42=40x7,即x7的系数为40.16.540解析分情况讨论:第一类,4个人去4个地方,有A54=120(种)安排方式;第二类,4个人去2个地区,有12C42A52=60(种)安排方式;第三类,4个人去3个地区,有C42A53=360(种)安排方式.因此,符合题意的安排方式共有120+60+360=540(种).5
