1、高二数学参考答案（第 1 页 共 8 页）20192020 学年第一学期福州市高二期末质量抽测 数学参考答案及评分细则 评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 1C
2、2D 3B 4A 5C 6A 7C 8B 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 9AC 10AC 11ABD 12ABC 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 131y 14 32 1521 162；2 55 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17【解答】（1）(2i)(1 i)(2)(2)izmmm 3 分 由 20,20mm 5 分 得2m 6 分（2）由（1）知，22 izmm，7 分 因为复数 z 在复平面上对应的点在第四象限，所以 20,20,mm 9 分 解得2m ，高二数学参考答案（第 2 页 共 8 页）所以 m 的
3、取值范围为,2 10 分 18【解答】解法一：（1）依题意，,A B 分别为椭圆 E 的右顶点、上顶点，E 的焦点在 x 轴上 2 分 设 E 的方程为22221xyab（0ab ），则2,1ab，4 分 所以 E 的方程为2212xy 5 分（2）设1122,P x yQ xy，不妨设12yy，依题意，直线l 的方程为1yx 6 分 由221,22yxxy得23210yy，7 分 解得121,13yy ，8 分 记点1,0 为 F，则 OPQOFPOFQSSS 9 分 1212 OF yy 11 分 14123 23 所以OPQ的面积为 23 12 分 解法二：（1）同解法一 5 分（2）设
4、11(,)P x y，22(,)Q xy，不妨设12xx 依题意，直线l 的方程为1yx 6 分 由22122yxxy，得2340 xx，7 分 解得10,x 243x，8 分 高二数学参考答案（第 3 页 共 8 页）所以2124411 10233PQkxx，9 分 原点O 到直线l 的距离1221 1d，10 分 所以12OPQSPQ d 11 分 1422232 23 所以OPQ的面积为 23 12 分 19【解答】（1）依题意，2()23fxmxmx，2 分 因为 f x 在3x 处有极小值，所以 3330fm，3 分 解得1m 4 分 经检验，1m 符合题意，故 m 的值为 1 5
5、分（2）由（1）得2()23fxxx，令 0fx，得3x 或1x 7 分 当 x 变化时，,fxf x的变化情况如下表：x 4 4,11 1,33 3,44 fx 0 0 f x 703 113 7 143 10 分 由上表可知，f x 的最小值为703；11 分 f x 的最大值为113 12 分 高二数学参考答案（第 4 页 共 8 页）20【解答】（1）证明：过点 B 作 BFCD，垂足为 F，则1EFAB，DECF12CDEF，1 分 连接 BE，依题意，AED为等腰直角三角形，故1,AEDE 又 AEDE，故 AEAB，所以222EBEAAB，2 分 在四棱锥 PABCE中，因为3P
6、B，1PEDE，所以222PEEBPB，故 PEEB，3 分 因为 PEEA，EAEBE，且,EA EB 平面 ABCE，所以 PE 平面 ABCE 5 分（2）由（1）知，PE 平面 ABCE，所以 PEEA，PEEC，又 AEEC，所以,EA EC EP 两两垂直以 E 为原点，分别以,EA EC EP 的方向为,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则各点坐标为：(0,0,0)E，(0,0,1)P，(1,0,0)A，(1,1,0)B，(0,2,0)C，6 分(1,0,1)PA，(0,2,1)PC，(1,1,0)BC ，7 分 设平面 PBC 的法向量为(,)x y zn，
7、则 0,0,PCBC nn故 20,0,yzxy 取1y ，故(1,1,2)n 9 分 所以13cos,626PAPAPA nnn 11 分 设直线 PA 与平面 PBC 所成角为，则sin 3cos,=6PAn 12 分 21【解答】解法一：（1）连接 MF，则 MDMF，1 分 则根据抛物线的定义，点 M 的轨迹是以(1,0F）为焦点，直线1x 为准线的抛物线 3 分 则点 M 的轨迹的方程为24yx 5 分（2）设直线 PQ 的方程为1xmy，11(,)P xy，22(,)Q xy，PABCExzyABCDEF高二数学参考答案（第 5 页 共 8 页）联立241yxxmy 整理得：244
8、0ymy，216160m，124yym，124y y 6 分 直线OP 的方程为1114yyxxxy，同理：直线OQ 的方程为24yxy，7 分 令1x 得，14(1,)Ay，24(1,)By，设 AB 中点T 的坐标为(,)TTxy，则1Tx ，121212442()22Tyyyyymy y，所以(1,2)Tm 22112122121244()444=16164yyyyy yABmyyy y 圆的半径为216162mr 所以以 AB 为直径的圆的方程为222(1)(2)44xymm 展开可得22(1)44xymy，9 分 令0y,可得2(1)4x，解得3x 或1x 11 分 所以以 AB 为
9、直径的圆经过定点(1,0)和(3,0)12 分 解法二：（1）同解法一 5 分（2）当直线 PQ 不与 x 轴垂直时，设其方程为(1)yk x（0k），11(,)P xy，22(,)Q xy，由24,(1)yxyk x得，2222(24)0k xkxk，所以2242(24)416160kkk，212224kxxk，121x x 6 分 高二数学参考答案（第 6 页 共 8 页）所以22121212121114y ykxxkx xxx，2112211212124112x yx ykxxkxxkx xxxk，7 分 直线OP 的方程为11yyxx，同理可得，直线OQ 的方程为22yyxx，令1x
10、得，12121,1,yyABxx，所以以 AB 为直径的圆的方程为2121210yyxyyxx，9 分 即22212112121210 x yx yy yxyyx xx x，即224140 xyyk，令0y,可得214x，解得3x 或1x 所以以 AB 为直径的圆经过定点(1,0)和(3,0)10 分 当 直 线 PQ 与 x 轴 垂 直 时，1,2,1,2AB，以 AB 为 直 径 的 圆 的 方 程 为2214xy，也经过点(1,0)和(3,0)11 分 综上，以 AB 为直径的圆经过定点(1,0)和(3,0)12 分 解法三：（1）同解法一 5 分（2）假设以 AB 为直径的圆经过定点，
11、由抛物线关于 x 轴对称可知该定点必在 x 轴上，设定点为(,0)T t，则0AT BT，6 分 设直线 PQ 的方程为1xmy，11(,)P xy，22(,)Q xy，联立241yxxmy 整理得：2440ymy，216160m，124yym，124y y 7 分 直线OP 的方程为1114yyxxxy，同理：直线OQ 的方程为24yxy，令1x 得：14(1,)Ay，24(1,)By，高二数学参考答案（第 7 页 共 8 页）则14(1,)ATty，24(1,)BTty，则由0AT BT 可得：21216(1)0ty y，9 分 因为124y y ，所以2(1)40t，解得3t 或1t ，
12、11 分 所以以 AB 为直径的圆经过定点(1,0)和(3,0)12 分 22【解答】解法一：（1）依题意，f x 的定义域为0,，1 分()ln1fxax，2 分 当10ex 时，ln10 x ；当1ex时，ln10 x 3 分 当0a时，若10ex，则 0fx；若1ex，则 0fx 所以()f x 在10,e上单调递减，在 1,e上单调递增 4 分 当0a时，若10ex，则 0fx；若1ex，则 0fx 所以()f x 在10,e上单调递增，在 1,e上单调递减 5 分 综上，当0a时，()f x 在10,e上单调递减，在 1,e上单调递增；当0a时，()f x 在10,e上单调递增，在
13、1,e上单调递减 6 分（2）由（1）知，当1a 时，()lnf xxx，在10,e上单调递增，在 1,e上单调递减，所以max1111()()lneeeef xf，7 分 故当0 x时，1lnexx 8 分 又当0 x时，10 11eeex，9 分 所以当0 x时，11elnexxx，故1eln0 xxx ，11 分 高二数学参考答案（第 8 页 共 8 页）所以11ln0exxx 12 分 解法二：（1）同解法一 6 分（2）令 1elnxg xxx，则 1eln1xgxx，7 分 令 1eln1xh xx，则 h x 为增函数，且 21111ee211e210,e1 10eehh，所以 h x 有唯一的零点0 x，021 1,eex，8 分 所以当00 xx时，0gx，g x 为减函数；当0 xx时，g x 为增函数 所以 0 1000elnxg xg xxx 9 分 由（1）知，当1a 时，lnf xxx在10,e上为减函数，在 1,e上为增函数，故01ef xf，即001lnexx，10 分 所以 0010111ee1e10eeexxg x，11 分 所以1eln0 xxx，故11ln0exxx 12 分
