1、第6节向心力必考要求：d加试要求：d1做匀速圆周运动的物体受到了指向圆心的合力，这个合力叫向心力， 它是产生向心加速度的原因。2向心力的大小为Fnmm2r，向心力的方向始终指向圆心，与线速度方向垂直。3向心力可能等于合外力，也可能等于合外力的一个分力，向心力是根据效果命名的力。4可把一般的曲线运动分成许多小段，每一小段按圆周运动处理。一、 向心力1向心力(1)定义：做匀速圆周运动的物体受到指向圆心的合力。(2)方向：始终指向圆心，与线速度方向垂直。(3)公式：Fnm或Fnm2r。(4)效果力向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。2实验验证(1)
2、装置：细线下面悬挂一个钢球，用手带动钢球使它在某个水平面内做匀速圆周运动，组成一个圆锥摆，如图561所示。图561(2)求向心力：可用Fnm计算钢球所受的向心力。可计算重力和细线拉力的合力。(3)结论：代入数据后比较计算出的向心力Fn和钢球所受合力F的大小，即可得出结论：钢球需要的向心力等于钢球所受外力的合力。二、 变速圆周运动和一般的曲线运动1变速圆周运动变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果：(1)合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力产生切向加速度at，描述线速度大小变化的快慢。(2)合外力F指向圆心的分力Fn，此分力产生向心加速度an，向心加速度只改变速度的
3、方向。2一般曲线运动的处理方法一般曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧。圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径。这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理。1自主思考判一判(1)向心力既可以改变速度的大小，也可以改变速度的方向。()(2)物体做圆周运动的速度越大，向心力一定越大。()(3)向心力和重力、弹力一样，是性质力。()(4)圆周运动中指向圆心的合力等于向心力。()(5)圆周运动中，合外力等于向心力。()(6)向心力产生向心加速度。()2合作探究议一议(1)如图562所示，物体在圆筒壁上随筒壁一起绕竖直转轴匀速转动，试问：物体受几个力作
4、用？向心力由什么力提供？图562提示：物体受三个力，分别为重力、弹力和摩擦力。物体做匀速圆周运动，向心力等于以上三个力的合力，由于重力与摩擦力抵消，实际上向心力仅由弹力提供。(2)荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下荡下时，图563此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？提示：秋千荡下时，速度越来越大，做的是变速圆周运动。由于秋千做变速圆周运动，合外力既有指向圆心的分力，又有沿切向的分力，所以合力不指向悬挂点。对向心力的理解1向心力的大小Fnmanmm2rmv。对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在
5、竖直平面内做的圆周运动)，其向心力大小随速率v的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。2向心力的方向无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。3向心力的作用效果由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。1关于向心力，下列说法中正确的是()A物体由于做圆周运动而产生一个向心力B向心力不改变物体做圆周运动的速度大小C做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力D做一般曲线运动的物体所受的合力即为向心力解析：选B向心力是根据力的作用效果命名的，它不改变速度的大小，只改变速度的方向，选项A错误，B正确；做匀速圆周运
6、动的物体的向心力始终指向圆心，方向在不断变化，是变力，选项C错误；做一般曲线运动的物体所受的合力通常可分解为切线方向的分力和法线方向的分力，切线方向的分力提供切向加速度，改变速度的大小，法线方向的分力提供向心加速度，改变速度的方向，选项D错误。2(2016年4月浙江选考)如图564为某中国运动员在短道速滑比赛中勇夺金牌的精彩瞬间。假定此时他正沿圆弧形弯道匀速率滑行，则他()图564A所受的合力为零，做匀速运动B所受的合力恒定，做匀加速运动C所受的合力恒定，做变加速运动D所受的合力变化，做变加速运动解析：选D运动员做匀速圆周运动，所受合力时刻变化，加速度时刻变化，D正确。3. (多选)如图565
7、所示，用长为L的细线拴住一个质量为M的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是()图565A小球受到重力、线的拉力和向心力三个力B向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力C向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分量D向心力的大小等于Mgtan 解析：选BCD对于匀速圆周运动，向心力是物体实际受到的所有力的指向圆心的合力，受力分析时不能再说物体又受到向心力，故A错误，B正确。再根据力的合成求出合力大小，故C、D正确。匀速圆周运动的特点及解题方法1质点做匀速圆周运动的条件合力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。匀速圆周运动是仅速
8、度的方向变化而速度大小不变的运动，所以只存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力。2匀速圆周运动的三个特点(1)线速度大小不变、方向时刻改变。(2)角速度、周期、频率都恒定不变。(3)向心加速度和向心力的大小都恒定不变，但方向时刻改变。3分析匀速圆周运动的步骤(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。(2)将物体所受外力通过力的正交分解，分解到沿切线方向和沿半径方向。(3)列方程：沿半径方向满足F合1mr2m，沿切线方向F合20。(4)解方程求出结果。4几种常见的匀速圆周运动实例图形受力分析力的分解方法满足的方程及向心加速度或mgtan m2lsin an
9、gtan 或mgtan mr2 angtan 或mgtan mr2angtan an2r典例图566甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO转动，设绳长l10 m，质点的质量m60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角37，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 370.6, cos 370.8，g1
10、0 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：图566(1)绳子拉力的大小；(2)转盘角速度的大小。思路点拨(1)质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零。(2)质点到竖直轴OO间的距离为小球圆周运动的半径。解析(1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向：Fcos 37mg0解得F750 N。(2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtan 37m2RRdlsin 37联立解得 rad/s。答案(1)750 N(2) rad/s匀速圆周运动解题策略在解决匀速圆周运动的过程中，要注意以下几个方面：(1)知
11、道物体做圆周运动轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节。(2)分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的。(3)根据线速度、角速度的特点，选择合适的公式列式求解。 1未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形 “旋转舱”，如图567所示。当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是()图567A旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大B旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小C宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大D宇航员质
12、量越大，旋转舱的角速度就应越小解析：选B旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即mgm2r，解得，即旋转舱的半径越大，角速度越小，而且与宇航员的质量无关，选项B正确。2(多选)如图568所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的有()图568A线速度vAvBB运动周期TATBC它们受到的摩擦力fAfBD筒壁对它们的弹力NANB解析：选AD因为两物体做匀速圆周运动的角速度相等，又rArB, 所以vArAvBrB，选项A正确；因为相等，所以周期T相等，选项B错误；因竖直方向物体受力平衡，有fmg，故fAfB，选项C错误；
13、筒壁对物体的弹力提供向心力，所以NAmrA2NBmrB2，选项D正确。3.(多选)如图569所示，在水平转台上放一个质量M2 kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力为Fmax6.0 N，绳的一端系在木块上，另一端通过转台的中心孔O(孔光滑)悬挂一个质量m1.0 kg的物体，当转台以角速度5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2，M、m均视为质点)()图569A0.04 mB0.08 mC0.16 m D0.32 m解析：选BCD当M有远离轴心运动的趋势时，有mgFmaxM2rmax，解得rmax0.32 m ，当M有靠近轴心运动的趋势时，有mgFm
14、axM2rmin，解得rmin0.08 m。故选项B、C、D正确。变速圆周运动和一般曲线运动问题典例一根长为0.8 m的绳子，当受到7.84 N的拉力时被拉断。若在此绳的一端拴一个质量为0.4 kg的物体，使物体以绳子的另一端为圆心在竖直面内做圆周运动，当物体运动到最低点时绳子恰好断裂。求物体运动至最低点时的角速度和线速度大小。图5610审题指导(1)物体运动到最低点时是绳子的拉力和物体重力的合力提供向心力。(2)绳子恰好断裂时，绳子的拉力大小为7.84 N。解析当物体运动到最低点时，物体受重力mg、绳子拉力FT，根据牛顿第二定律得FTmgmam2r，又由牛顿第三定律可知，绳子受到的拉力和绳子
15、拉物体的力大小相等，绳子被拉断时受到的拉力为FT7.84 N，故FT7.84 N。所以，绳子被拉断时物体的角速度为 rad/s3.5 rad/s，物体的线速度为vr3.50.8 m/s2.8 m/s。答案3.5 rad/s2.8 m/s(1)物体做非匀速圆周运动时，在任何位置均是沿半径指向圆心的合力提供向心力。(2)物体做一般曲线运动时，在每段小圆弧处仍可按圆周运动规律进行处理。 1. (多选)如图5611所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是()图5611A绳的拉力B重力和绳拉力的合力C重力和绳拉力的合力沿绳方向的
16、分力D绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力解析：选CD如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力的作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，可以说是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，选C、D。2一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图5612甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径叫做A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成角的方向以速度v0抛出，如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是()图5612A. B
17、.C. D.解析：选C物体做斜上抛运动，最高点速度即为斜上抛的水平速度vPv0cos ，最高点重力提供向心力mgm，由两式得。3如图5613所示，质量为m的物体，沿半径为r的圆轨道自A点滑下，A与圆心O等高，滑至B点(B点在O点正下方)时的速度为v。已知物体与轨道间的动摩擦因数为，求物体在B点所受的摩擦力。图5613解析：物体由A滑到B的过程中，受到重力、轨道弹力及摩擦力的作用，做圆周运动。物体在B点的受力情况如图所示，其中轨道弹力FN与重力Gmg的合力提供物体做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得FNmg，得FNmg，则滑动摩擦力为FfFNm。答案：m1做匀速圆周运动的物体，它所受的向心力的大
18、小必定与()A线速度平方成正比B角速度平方成正比C运动半径成反比D线速度和角速度的乘积成正比解析：选D因做匀速圆周运动的物体满足关系FnmmR2mv，由此可以看出在R、v、是变量的情况下，Fn与R、v、是什么关系不能确定，只有在R一定的情况下，向心力才与线速度的平方、角速度的平方成正比；在v一定时，Fn与R成反比；一定时，Fn与R成正比。故选项A、B、C错误，而从Fnmv看，因m是不变的，故选项D正确。2一只小狗拉雪橇沿位于水平面的圆弧形道路匀速行驶，如图所示画出了雪橇受到牵引力F和摩擦力Ff可能方向的示意图，其中表示正确的图是()解析：选D因小狗拉雪橇使其在水平面内做匀速圆周运动，所以雪橇所
19、受的力的合力应指向圆心，故A错误，B错误；又因雪橇所受的摩擦力Ff应与相对运动方向相反，即沿圆弧的切线方向，所以D正确，C错误。3. (多选)如图1所示，质量为m的木块从位于竖直平面内的圆弧形曲面上滑下，由于摩擦力的作用，木块从a到b运动的速率逐渐增大，从b到c运动的速率恰好保持不变，从c到d运动的速率逐渐减小，则()图1A木块在ab段和cd段的加速度不为零，但在bc段的加速度为零B木块在ab、bc、cd各段中的加速度都不为零C木块在整个运动过程中所受的合外力大小一定，方向始终指向圆心D木块只在bc段所受的合外力大小不变，方向指向圆心解析：选BD木块从曲面上滑下做曲线运动，总有加速度，只有在做
20、匀速圆周运动时，所受的合外力大小不变且方向指向圆心，故选项B、D正确。4.如图2所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是()图2A物体所受弹力增大，摩擦力也增大了B物体所受弹力增大，摩擦力减小了C物体所受弹力和摩擦力都减小了D物体所受弹力增大，摩擦力不变解析：选D物体随圆筒一起匀速转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力FN和筒壁对它的摩擦力F1(如图所示)。其中G和F1是一对平衡力，筒壁对它的弹力FN提供它做匀速圆周运动的向心力。当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一起匀
21、速转动而未滑动，则物体所受的摩擦力F1大小等于其重力。而根据向心力公式FNm2r可知，当角速度变大时，FN也变大，故D正确。5如图3所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m12m2，用细线把两球连起来，当杆匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为()图3A11B1 C21 D12解析：选D两个小球绕共同的圆心做圆周运动，它们之间的拉力互为向心力，角速度相同。设两球所需的向心力大小为Fn，角速度为，则：对球m1Fnm12r1，对球m2Fnm22r2，由上述两式得r1r2126.如图4所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力
22、有()图4A圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心B圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心C圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力D圆盘对B的摩擦力和向心力解析：选B以A为研究对象，B对A的静摩擦力指向圆心，提供A做圆周运动的向心力，根据牛顿第三定律，A对B有背离圆心的静摩擦力；以整体为研究对象，圆盘对B一定施加沿半径向里的静摩擦力，B项正确。7.如图5所示，一轨道由圆弧和水平部分组成，且连接处光滑。质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为。在滑块从A滑到B的过程中，受到的摩擦力的最大值为Ff，则()图5AFfmg BFfmg D无法确定Ff的值解析：选C当滑块刚要滑到水平轨道部分时，滑块对
23、轨道的压力大于mg，故此时的滑动摩擦力Ffmg，C正确。8. (多选)如图6所示，两个物体以相同大小的初始速度从空中O点同时分别向x轴正负方向水平抛出，它们的轨迹恰好是抛物线方程yx2，重力加速度为g，那么以下说法正确的是(曲率半径可认为等于曲线上该点的瞬时速度所对应的匀速率圆周运动的半径)()图6A初始速度为 B初始速度为CO点的曲率半径为k DO点的曲率半径为2k解析：选AC因物体的运动为平抛运动，故由xvt，ygt2可得：yx2，对应抛物线方程yx2可得：，可得初速度v ，选项A正确，B错误。在O点，小球只受重力，mgm，解得O点的曲率半径Rk，选项C正确，D错误。9. (多选)摩天轮顺
24、时针匀速转动时，重为G的游客经过图7中a、b、c、d四处时，座椅对其竖直方向的支持力大小分别为Na、Nb、Nc、Nd，则()图7ANaGCNcGDNdG解析：选AC在b、d两点，合力方向指向圆心，即竖直方向上的合力为零，则NbNdG。在a点，根据牛顿第二定律得GNam，可知NaG，故A、C正确，B、D错误。10(多选)如图8所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r。一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达AB线，有如图所示的、三条路线，其中路线是以O为圆心的半圆，OOr。赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax。选择路线，赛车以不打
25、滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则()图8A选择路线，赛车经过的路程最短B选择路线，赛车的速率最小C选择路线，赛车所用时间最短D、三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等解析：选ACD由几何关系可得，路线、赛车通过的路程分别为：(r2r)、(2r2r)和2r，可知路线的路程最短，选项A正确；圆周运动时的最大速率对应着最大静摩擦力提供向心力的情形，即mgm，可得最大速率v，则知和的速率相等，且大于的速率，选项B错误；根据t，可得、所用的时间分别为t1，t2，t3，其中t3最小，可知线路所用时间最短，选项C正确；在圆弧轨道上，由牛顿第二定律可得：mgma向，a向
26、g，可知三条路线上的向心加速度大小均为g，选项D正确。11.利用如图9所示的方法测定细线的抗拉强度。在长为L的细线下端悬挂一个质量不计的小盒，小盒的左侧开一孔，一个金属小球从斜轨道上释放后，水平进入小盒内，与小盒一起向右摆动。现逐渐增大金属小球在轨道上释放时的高度，直至摆动时细线恰好被拉断，并测得此时金属小球与盒一起做平抛运动的竖直位移h和水平位移x，若小球质量为m，试求：图9(1)金属小球做平抛运动的初速度为多少？(2)该细线的抗拉断张力为多大？解析：(1)细线被拉断后，由平抛知识得hgt2，xv0t，则小球做平抛运动的初速度v0x。(2)拉断瞬间由牛顿第二定律可得FTmg，则细线的抗拉断张
27、力FTmg。答案：(1)x(2)mg12A、B两球质量分别为m1与m2，用一劲度系数为k的弹簧相连，一长为l1的细线与A球相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO上，如图10所示，当A与B两球均以角速度绕OO做匀速圆周运动时，弹簧长度为l2。问：图10(1)此时弹簧伸长量为多大？细线张力为多大？(2)将线突然烧断的瞬间两球加速度各为多大？解析：A、B两球做匀速圆周运动时，B球受到的弹簧的弹力提供向心力，A球受到细线的张力和弹簧的弹力的合力提供向心力。(1)对于B球弹簧的弹力T提供向心力，Fnm22(l1l2)Tkx，解得弹簧的伸长量xm22；对于A球，细线的张力T与弹簧的弹力T提供向心力，TTm12l1，即TTm12l1m22(l1l2)m12l1。(2)当细线烧断的瞬间A球不再受到细线的张力，此时，A、B两球都只受弹簧的弹力，在这一瞬间弹簧的形变不发生变化，故弹力仍为T不变。此时A球的加速度大小a12(l1l2)，B球加速度大小a22(l1l2)。答案：(1)m22m22(l1l2)m12l1(2)2(l1l2)2(l1l2)
