1、章末综合测评(三)导数应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.物体运动的方程为st43，则t5时的瞬时速度为()A.5B.25C.125D.625【解析】vst3，t5时的瞬时速度为53125.【答案】C2.函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A.(，2)B.(0，3)C.(1，4)D.(2，)【解析】f(x)(x2)ex，由f(x)0，得x2，所以函数f(x)的单调递增区间是(2，).【答案】D3.函数f(x)ax3x1有极值的充要条件是()A.a0B.a0C.a0D.a0，f(x
2、)单调增加，无极值；当a0时，只需12a0，即a0即可.【答案】D4.函数f(x)的导函数f(x)的图像如图1所示，那么f(x)的图像最有可能的是()图1ABCD【解析】数形结合可得在(，2)，(1，)上，f(x)0，f(x)是增函数，从而得出结论.【答案】B5.若函数ya(x3x)的递增区间是，则a的取值范围是()A.a0B.1a1D.0a0的解集为，a0.【答案】A6.若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)xf(x)0，则()A.3f(1)f(3)C.3f(1)f(3)D.f(1)f(3)【解析】由于f(x)xf(x)，0恒成立，因此 在R上是单调递减函数，f(3)，故选B.【答案】B7
3、.若函数f(x)x33x29xa在区间上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为()A.5B.7C.10D.19【解析】f(x)3x26x93(x1)(x3)，所以函数在内单调递减，所以最大值为f(2)2a2，a0，最小值为f(1)a55.【答案】A8.函数yx2sin x的图像大致是()【解析】因为y2cos x，所以令y2cos x0，得cos x，此时原函数是增函数；令y2cos x，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C正确.【答案】C9.若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是()【导学号：94210067】A.D.(，1)【解析】f(x)x，由题意
4、知f(x)0在(1，)上恒成立，即bx22x在(1，)上恒成立，即b(x1)21，则b1，故选C.【答案】C10.已知yf(x)是定义在R上的函数，且f(1)1，f(x)1，则f(x)x的解集是()A.(0，1)B.(1，0)(0，1)C.(1，)D.(，1)(1，)【解析】不等式f(x)x可化为f(x)x0，设g(x)f(x)x，则g(x)f(x)1，由题意g(x)f(x)10，函数g(x)在R上单调递增，又g(1)f(1)10，原不等式g(x)0g(x)g(1)，x1，故选C.【答案】C11.当x时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【解析】当x0时，
5、ax3x24x30变为30恒成立，即aR.当x(0，1时，ax3x24x3，a，a.设(x)，(x)0，(x)在(0，1上递增，(x)max(1)6.a6.当x2，0)时，a，a.仍设(x)，(x).当x2，1)时，(x)0.当x(1，0)时，(x)0.当x1时，(x)有极小值，即为最小值.而(x)min(1)2，a2.综上知6a2.【答案】C12.已知函数f(x)x22xaln x，若函数f(x)在(0，1)上单调，则实数a的取值范围是()A.a0B.a0或a4【解析】f(x)2x2，x(0，1)，f(x)在(0，1)上单调，f(x)0或f(x)0在(0，1)上恒成立，2x20或2x20在(
6、0，1)上恒成立，即a2x22x或a2x22x在(0，1)上恒成立.设g(x)2x22x2，则g(x)在(0，1)上单调递减，g(x)maxg(0)0，g(x)ming(1)4.ag(x)max0或ag(x)min4.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_.【解析】因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.【答案】314.函数f(x)ex(sin xcos x)在区间上的值域为_. 【导学号：94210068】
7、【解析】x，f(x)excos x0，f(0)f(x)f，即f(x)e.【答案】15.已知函数f(x)x3ax2bxa2，在x1时有极值10，则ab_.【解析】f(x)3x22axb，f(1)2ab30，f(1)a2ab110，解得或当a3时，x1不是极值点，a，b的值分别为4，11，ab7.【答案】716.周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_cm3.【解析】设矩形的长为x，则宽为10x(0x0，当x时，V(x)0，解得a2或a0，解得x3；又令f(x)0，解得1x0)有极大值，求m的值.【解】f(x)3x2mx2m2(xm)(3x2m)，令f(x)0，则xm
8、或xm.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，m)mmf(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增f(x)极大值f(m)m3m32m34，m1.20.(本小题满分12分)证明：当x0时，ln(x1)xx2.【证明】设f(x)ln(x1)ln(x1)xx2，函数的定义域是(1，)，则f(x)1x.当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上是增函数.当x0时，f(x)f(0)0，即当x0时，ln(x1)xx2.21.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，
9、侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.【解】(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元.又根据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3).因为r0，又由h0可得0r5，故函数V(r)的定义域为(0，5).(2)因为V(r)(300r4r3)(0r
10、0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r(5，5)时，V(r)0，故V(r)在(5，5)上为减函数.由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x22.【解】(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).设a0，则f(x)(x2)ex，f(x)只有一个零点.设a0，则当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)内单调递减，在(1，)内单调递增.又f(1)e
11、，f(2)a，取b满足b0且bln ，则f(b)(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在两个零点.设a0，由f(x)0得x1或xln(2a).若a，则ln(2a)1，故当x(1，)时，f(x)0，因此f(x)在(1，)内单调递增.又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点.若a，则ln(2a)1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)0；当x(ln(2a)，)时，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在(ln(2a)，)内单调递增.又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0，).(2)证明：不妨设x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)内单调递减，所以x1x22等价于f(x1)f(2x2)，即f(2x2)0.由于f(2x2)x2e2x2a(x21)2，而f(x2)(x22)ex2a(x21)20，所以f(2x2)x2e2x2(x22)ex2.设g(x)xe2x(x2)ex，则g(x)(x1)(e2xex).所以当x1时，g(x)0，而g(1)0，故当x1时，g(x)0.从而g(x2)f(2x2)0，故x1x22.
