1、1在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC等于()A1 B2 C3 D4答案A解析设在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a3，c，C120，由余弦定理得139b23b，解得b1或b4(舍去)，即AC1.2(2019沧州七校联考)已知ABC，a，b，A30，则c等于()A2 B.C2或 D均不正确答案C解析，sin Bsin 30.ba，B60或120.若B60，则C90，c2.若B120，则C30，ac.3(2020江苏省如皋中学模拟)在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为()A. B.C2 D2答案B解析因为SABACsin A2AC，所以AC1，所以B
2、C2AB2AC22ABACcos A3.所以BC.4ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bc，a22b2(1sin A)，则A等于()A. B. C. D.答案C解析由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A，所以2b2(1sin A)2b2(1cos A)，所以sin Acos A，即tan A1，又0A，所以A.5(2019江西七校联考)在ABC中，若sin(AB)12cos(BC)sin(AC)，则ABC的形状一定是()A等边三角形 B不含60角的等腰三角形C钝角三角形 D直角三角形答案D解析sin(AB)12cos(BC)sin(AC)12cos As
3、in B，sin Acos Bcos Asin B12cos Asin B，sin Acos Bcos Asin B1，即sin(AB)1，则AB，故ABC为直角三角形6(2019全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A，则等于()A6 B5 C4 D3答案A解析asin Absin B4csin C，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cos A，6.7(多选)对于ABC，有如下判断，其中正确的判断是()A若cos Acos B，则ABC为等腰三角形B若AB，则sin Asin BC若a8，c10，B60
4、，则符合条件的ABC有两个D若sin2Asin2Bsin2C，则ABC是钝角三角形答案ABD解析对于A，若cos Acos B，则AB，ABC为等腰三角形，故正确；对于B，若AB，则ab，由正弦定理2R，得2Rsin A2Rsin B，即sin Asin B成立故正确；对于C，由余弦定理可得b，只有一解，故错误；对于D，若sin2Asin2Bsin2C，则根据正弦定理得a2b2c2，cos C，0A.由正弦定理得.0tan A，2，即2.的取值范围是(2，)11(2019全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；
5、(2)若ab2c，求sin C.解(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc，由余弦定理得cos A，因为0A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sinC，可得cos(C60).由于0C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.12(2020山东模拟)在ABC中，A90，点D在BC边上在平面ABC内，过点D作DFBC且DFAC. (1)若D为BC的中点，且CDF的面积等
6、于ABC的面积，求ABC；(2)若ABC45，且BD3CD，求cosCFB.解(1)如图所示，D为BC的中点，所以BDCD.又因为SABCSCDF，即ABACCDDFBCAC，从而BC2AB，又A90，从而ACB30，所以ABC903060.(2)由于ABC45，从而ABAC，设ABACk，则BCk.由于BD3CD，所以BDBCk，CDk.因为DFACk，从而BFk，CFk.方法一 由余弦定理，得cosCFB.方法二所以cosDFB，从而sinDFB，cosDFC，从而sinDFC.所以cosCFBcos(CFDDFB).13在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m，n，
7、p共线，则ABC的形状为()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案A解析向量m，n共线，acosbcos.由正弦定理得sin Acossin Bcos.2sincoscos2sincoscos.则sinsin.0，00，0bc6，当且仅当bc时取“”，abc9，ABC的周长最大值为9.15(多选)已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且a6,4sin B5sin C，以下四个命题中正确的是()AABC的面积的最大值为40B满足条件的ABC不可能是直角三角形C当A2C时，ABC的周长为15D当A2C时，若O为ABC的内心，则AOB的面积为答案ACD解析以BC的中
8、点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，可得B(3,0)，C(3,0)，4sin B5sin C，可得4b5c，设A(m，n)，可得45，平方可得16(m2n26m9)25(m2n26m9)，即有m2n2m90，化为2n22，则A的轨迹为以为圆心，半径为的圆(除去与x轴的交点)，可得ABC的面积的最大值为640，故A对；a6,4sin B5sin C，即4b5c，设b5t，c4t，由3616t225t2，可得t2，满足条件的ABC可能是直角三角形，故B错误；a6,4sin B5sin C，A2C，可得B3C，由正弦定理可得4b5c，可得b，由，可得，由sin C0，可得4cos2
9、C1，解得cos C或(舍去)，sin C，可得sin A2sin Ccos C2，由，可得c4，b5，则abc15，故C对；当A2C时，c4，b5，a6，sin A，SABCbcsin A54.设ABC的内切圆半径为R，则R，SABOcR4.故D对16.如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后，A，C同时接到该声波信号，已知声波在水中的传播速度为1.5千米/秒(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求P到海防警戒线AC的距离解(1)依题意，有PAPCx，PBx1.58x12.在PAB中，AB20，cosPAB.同理，在PAC中，AC50，cosPAC.因为cosPABcosPAC，所以，解得x31.(2)作PDAC于点D(图略)在ADP中，由cosPAD，得sinPAD，所以PDPAsinPAD314.故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米
