1、1 福宁古五校教学联合体 2023 届高三毕业班三月质量监测 数学参考答案 一、单选题：1 2 3 4 5 6 7 8 B A D C B A D C 二、多选题：9 10 11 12 AC AD ABD BCD 三、填空题：13.20 14.2 15.0.48 16.2e 16.【详解】令()()23 exg xx=，()()()2e23 e21 exxxgxxx=+=令()()21 e0 xgxx=解得12x，因此()g x 在10,2单调递减，1,2+单调递增()03g=，()3g x=的另一个根在 1 3,2 2，因为()()12f xf x=，若12xx的最大值为4，则1x 和2x
2、不能同时大于零；令()eh xxa=，()h x 在(,0单调递增设10 x，20 x，12xx的最大值为 4，即0 x 时，()()23 exg xx=上的一点切线和()eh xxa=平行，此时这一切点的横坐标为2x，而()ehx=，因此()1ehx=，由此可得()()22221 eexgxx=，解得21x=，故()1eg=()()()()1212efxfxh xg x=，即11ee1eaxax=12 max1 1e4xax=，解得2ae=或6ea=，因为110eax=，所以2ae=故答案为：2e2 四、解答题：17.【答案】(1)证明见解析，43nbn=(2)297【详解】（1）因为2(1
3、)4nnnaa+=，所以212121(1)4nnnaa+=，即21214nnaa+=，1又21nnba=，所以121214nnnnbbaa+=，又111ba=，所以，数列 nb为以 1 为首项，4 为公差的等差数列，3所以1(1)443nbnn=+=.5（2）因为2(1)4nnnaa+=，所以2222(1)4nnnaa+=，即2224nnaa+=6所以231223Saaa=+()()13232422aaaaaa=+7()()()()12122468102022bbbaaaaaaa=+812(145)(14 5)2972+=+=.1018.【答案】（1）证明见解析；（2）2564【解答】解：（1
4、）证明：由于 sin()sin()coscosABACBC=，所以sincoscossinsincoscossincoscosABABACACBC=，2 整理的 cosA（sinBcosCcosBsinC）0，即 cosAsin（BC）0，3 因为 A 为锐角，所以 cosA0，4 故 sin（BC）0，由 B，C 为锐角可得 BC；5（2）由（1）得 bc，3 因为 asinC2，且由正弦定理得 asinCcsinAbsinAasinB2，6 所以2sinaB=，2sinbA=，7 则2222111(sinsin)4ABab+=+221 sinsin()4BBC=+8221 sinsin 2
5、4BB=+21 1 cos2(sin 2)42BB=+2113cos 2cos2488BB=+，10 因为02022BB，所以 42B，则22B，所以1cos2B0，11 根据二次函数的性质可知，当1cos24B=时，2211ab+取得最大值 256412 19.【答案】(1)证明见解析(2)105 【详解】（1）证明：因为2BC=，且 D 为 BC 的中点，所以1CD=,因为112CCAA=，160C CB=，所以2211112cos4122 1 cos603C DCCCDCC CDC CD=+=，1 所以22211CCCDC D=+，所以1C DBC.2 因为平面11BBC C 平面 AB
6、C，且平面11BB C C平面 ABCBC=，1C D 平面11BBC C，所以1C D 平面 ABC，4 又 AB 平面 ABC，所以1C DAB.5（2）因为 ABAC=，D 为 BC 的中点，所以 ADBC,因为平面11BBC C 平面 ABC，且平面11BB C C平面 ABCBC=，AD 平面 ABC，4 所以 AD 平面11BBC C，又1C D 平面11BBC C，所以1ADC D.所以 AD，DB，1C D 两两垂直，故以 AD，DB，1C D 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），.6 则(3,0,0)A，(0,1,0)C，1(0,0,3)C，
7、所以1(3,0,3)AC=，11(3,1,0)C ACA=,7 设平面11AAC 的一个法向量()111,xny z=，则11100n ACn C A=,即111133030 xzxy+=+=,令11x=，解得13y=，11z=，所以(1,3,1)n=；9 平面1ADC 的一个法向量可取(0,1,0)m=，10 设二面角11AACD的大小为，0,，则|315|cos|5|5 1m nmn=，所以2210sin1cos55=.12 20.解：（1）将得分为 50 分记为事件 A；得分为 50 分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，5 可能的结果共有：112221222122332332
8、3354C C C CC C CC C C+=（种）1三名顾客产生的反馈结果总共有：2 34()216C=（种）2则541()2164P A=购物中心得分为 50 分的概率为 143（2）将顾客丙投出一个不满意记为事件 B，则2212332 341()()24C C CP ABC=5 1()124(|)1()64P ABP B AP A=6（3）X 可能的取值为 2、3、4、5、67 2112332 341(2)()24C C CP XC=111121222122332332332 341(3)()4C C C CC C CC C CP XC+=222111211212112332233223
9、32332 345(4)()12C C CC C C CC C C CC C CP XC+=1(5)4P X=2222332 341(6)()24C C CP XC=11 X 2 3 4 5 6 P 124 14 512 14 124 11511()23456424412424E X=+=10X=，()10()40EE X=12 6 21.【答案】（1）2212xy+=；（2）证明见解析，3(,0)2.（1）由题知，解得22a=，21b=，所以椭圆C 的方程为2212xy+=；4（2）设11(,)A x y，22(,)B x y因为直线l 的斜率不为零，令l 的方程为：1xmy=+，由2211
10、2xmyxy=+=得22(2)210mymy+=，则12222myym+=+，12212yym=+，6 APPQ，则2(2,)Qy，则1212AQyykx=，故 AQ 的方程为：1221(2)2yyyyxx=，7 由椭圆的对称性，则定点必在 x 轴上，所以令0y=，则 2121212221211(2)(1)222yxy mymy yyxyyyyyy+=+=+=+，而12222myym+=+，12212yym=+，12122yymy y+=，所以212211322222yyyxyy+=+=+=，11 故直线 AQ 恒过定点，且定点为 3(,0)2，同理直线 BP 也过定点 3(,0)2.12 2
11、2.解：（1）由()21xf xeax=+，得()2xfxea=+，1 当0a 时，因为1(1)120fae=，不合题意；2 当0a 时，当(),ln(2)xa 时，()0fx，()f x 单调递减，3 当()ln(2),xa+时，()0fx，()f x 单调递增，4 7 所以()min()ln(2)22 ln(2)1f xfaaaa=+，要()0f x，只需min()22 ln(2)10f xaaa=+，5 令()ln1g xxxx=，则()lng xx=，当(0,1)x时，()0g x，()g x 单调递增；当(1,)x+时，()0g x，()g x 单调递减；所以()(1)0g xg=，
12、则由(2)22 ln(2)10gaaaa=+得 21a=所以12a=，故实数a 取值的集合126（2）由已知2()21xF xeaxax=+，()22xF xeaxa=+，因为函数()F x 有两个不同的极值点1x，2x，所以()22xF xeaxa=+有两个不同零点，若0a 时，则()F x 在 R 上至多一个零点，与已知矛盾，舍去；7 当0a 时，由220 xeaxa+=，得 112xxae=，令1()xxxe=，所以2()xxxe=，当(,2)x 时，()0 x，()x单调递增；当(2,)x+，()0 x，()x单调递减；所以max21()(2)xe=，8 因为(1)0=，1lim0 x
13、xxe+=，所以21102ae，所以22ea，故实数a 的取值范围为21,2 e+9 设12xx，则1212xx，8 因为12()()0 xx=，所以1122xeaxa=，2222xeaxa=，则212111xxxeex=，取对数得2121ln(1)ln(1)xxxx=，令111xt=，221xt=，则 2121lnlntttt=，即 221112lnln(01)tttttt=，令()lnu ttt=，则12()()u tu t=，因为1()u ttt=，所以()lnu ttt=在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，10 令11()()2lnv tu tutttt=，则22(1)()0tv tt=，()v t 在(0,)+上单调递增，又(1)0v=，所以当(0,1)t 时，()(1)0v tv=，即1()u tu t ，11 因为 21t ，121t，()lnu ttt=在(1,)+上单调递增，所以 211tt，所以21111xx，即1 212x xxx+，所以212121212212()()323x xxxexxa xx+故121232()x xa xx+成立。12
