1、-1-本章整合知识建构 复数 复数的有关概念 复数的分类 实数虚数 纯虚数非纯虚数复数相等复数的几何意义复数的模共轭复数复数的四则运算 复数的加法、减法法则复数的乘法法则复数的除法法则综合应用 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 复数的有关概念 解决复数问题,首先要弄清复数的有关概念,对于复数 z=a+bi(a,bR),实部是 a,虚部是 b 而不是 bi,复数的模|z|=2+2.复数的共轭复数为=i,且=|2.综合应用 专题一 专题二 专题三 专题四 应用 1 复数 21+i 的模是()A.1 B.2 C.2 D.2 2提示:先把复数化简,再求复数的模即可,亦可直接求模如方法二.答案:B
2、 解析:(方法一)设 z=21+i,则z=2(1-i)(1+i)(1-i)=1 i,所以|z|=2.(方法二)21+i=2 2=2.综合应用 专题一 专题二 专题三 专题四 应用 2 3i1-i 的共轭复数是()A.32+32 iB.32+32 iC.32 32 iD.32 32 i提示:先根据复数的除法运算进行化简,再确定复数的实部、虚部,即可写出其共轭复数.解析:3i1-i=3i(1+i)(1-i)(1+i)=3(i-1)2=32+32 i,所以它的共轭复数为 32 32 i.答案:C 综合应用 专题一 专题二 专题三 专题四 应用 3 设 z 是虚数,=z+1 是实数,且 1 2.求|的
3、值及的实部的取值范围.提示:先设 z=a+bi(a,bR,且 b0),再代入化简,表示出|z|及其实部的范围,也可根据复数是实数的充要条件 R=转化得到=|2求出.综合应用 专题一 专题二 专题三 专题四 解法一:设 z=a+bi(a,bR,且 b0),则=z+1=(+i)+1+i=a+bi+-i2+2=+2+2+-2+2 i,为实数,b2+2=0.b0,a2+b2=1,即|z|=1.=2a.-12,-12a2.12 1.故复数 z 的实部的取值范围是 -12,1.综合应用 专题一 专题二 专题三 专题四 解法二 为实数,=.z+1=+1.(z)1-1=0.z 为虚数,z0.11=0,=|2=
4、1,即|z|=1.1=.设z=a+bi(a,bR,且 b0),则=z+1=+=2.-12,-12a2.12 1.故复数 z 的实部的取值范围是 -12,1.综合应用 专题一 专题二 专题三 专题四 专题二 复数的分类 复数分为实数、虚数,虚数又包括纯虚数和非纯虚数,要判断一个复数是不是为实数可根据定义判断,也可由 z与是否相等来判断,要判定一个复数为纯虚数,根据定义需满足实部为零且虚部不为零,或由+=0(0)来判断.综合应用 专题一 专题二 专题三 专题四 应用 1 已知复数 与 z 的关系为=1-1+,其中|=1,为虚数.求证:为纯虚数.提示:本题可先把 z 设出,再进行运算化简确定 的实部
5、与虚部,也可由 与它的共轭复数之间的关系=来判断.证法一:设 z=a+bi(a,bR,b0).由|z|=1,得 a2+b2=1,=1-1+=1-(+i)1+i=(1-)-i(1+)-i(1+)2+2=(1-2)-2-(1+1-)i(1+)2+2=1-2-2-2i(1+)2+2=2(1+)2+2 i.b0,为纯虚数.综合应用 专题一 专题二 专题三 专题四 证法二|z|=1,=1.=1-1+=-+=-1+1=-1+1=,+=0.为纯虚数.综合应用 专题一 专题二 专题三 专题四 应用 2 已知 z 为复数,|z|=1,且 zi,证明:1+2 是实数.提示:z 为复数,可先设出 z=x+yi(x,
6、yR),再进行运算、判断;也可先把|z|=1 转化为=1,即 1=,再进一步化简1+2.综合应用 专题一 专题二 专题三 专题四 证法一设z=x+yi(x,yR),则1+2=+i1+(+i)2=+i1+2-2+2i=(+i)(1+2-2-2i)(1+2-2)2+422=(1+2-2)+22-22i+(1+2-2)i(1+2-2)2+422=(+3+2)+(-2-3)i(1+2-2)2+422.|z|=1,x2+y2=1.y-x2y-y3=y(1-x2-y2)=0.1+2=2(1+2-2)2+422R,即1+2 是实数.综合应用 专题一 专题二 专题三 专题四 证法二:|z|=1,=1.1=.1
7、+2=11+=1+.设z=a+bi(a,bR),则 z+=2R,1+2 为实数.综合应用 专题一 专题二 专题三 专题四 专题三 复数的几何意义 复数 z=a+bi(a,bR)在复平面内唯一对应着点 Z(a,b),也唯一对应着向量 =(,).向量 的模|就是复数的模,也是点到原点的距离.综合应用 专题一 专题二 专题三 专题四 应用1设全集U=C,A=z|z|-1|=1-|z|,zC,B=z|z|1,zC,若zA(UB),求复数z在复平面内的对应点的轨迹.提示:求复数z在复平面内的对应点的轨迹,借助复数模的几何意义可知,只需求|z|所满足的条件即可.而这由zA(UB)及集合的运算即可得出.解:
8、zC,|z|R,1-|z|R.由|z|-1|=1-|z|,得1-|z|0,即|z|1,A=z|z|1.又B=z|z|0),由|z|=5,得a2+b2=5.又复数(1+3i)(a+bi)=(a-3b)+(3a+b)i 在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上,则 a-3b=3a+b,即 a=-2b.联立 =-2,2+2=5,解得 =2,=-1 或 =-2,=1(舍去),故 z=2-i.(2)由题意,得+2(1+i)2i+2 5=2+2 3+(2 1)i,又因为复数+2(1+i)2i+2 5 为纯虚数,得 2-1 0,2+2-3=0,解得m=-3.即实数 m 的值为-3.综合应用 专题一 专题
9、二 专题三 专题四 专题四 复数的四则运算 复数的加法、减法、乘法运算与多项式运算类似,复数的除法运算类似于分母有理化,利用=2为实数,将除法运算转化为乘法运算,注意一些特殊值的运算:(1)i的乘方运算;(2)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i;(3)1+i1-i=i,1-i1+i=i;(4)若=12+32 i,则 1+2=0.综合应用 专题一 专题二 专题三 专题四 应用 22+22 i 2的值为()A.iB.-i C.1D.-1 提示:先提取 22,分为 22 和1+i 两部分的平方计算.解析:22+22 i 2=22(1+i)2=12(1+i)2=i.答案:A 综合应用 专题一 专
10、题二 专题三 专题四 应用 2 满足 z+5 是实数,且+3 的实部与虚部互为相反数的复数是否存在?若存在,求出复数;若不存在,请说明理由.解:设复数 z=x+yi(x,yR,且 y0),则 z+3=x+3+yi,z+5=+i+5+i=+52+2+-52+2 i.由已知,得 -52+2=0,+3=-.y0,2+2=5,+=-3,解得 =-1,=-2或 =-2,=-1.存在复数 z=-1-2i 或 z=-2-i 满足题意.123456789101(2018北京高考)在复平面内,复数11-i 的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析:由11-i=1+i(1
11、-i)(1+i)=1+i2=12+12 i,得其共轭复数为12 12 i,而在复平面内,12 12 i 对应的点的坐标为 12,-12,得点 12,-12 位于第四象限,故选 D.答案:D 123456789102(2018全国 1 高考)设 z=1-i1+i+2i,则|=()A.0B.12C.1D.2解析:因为 z=(1-i)2(1+i)(1-i)+2i=-2i2+2i=i,所以|z|=1.答案:C 1234567891011123(2018全国2高考)i(2+3i)=()A.3-2iB.3+2i C.-3-2iD.-3+2i 解析:i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.答案:D 123
12、456789104(2018全国3高考)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+i C.3-iD.3+i 解析:(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.答案:D 123456789105(2018浙江高考)复数21-i(i 为虚数单位)的共轭复数是()A.1+iB.1-i C.-1+iD.-1-i 解析:21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i,复数21-i 的共轭复数为1-i.答案:B 123456789106(2017全国1高考)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)解析:i(1+i)2=
13、2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,(1+i)2=2i为纯虚数,故选C.答案:C 123456789107(2017全国3高考)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:由题意可得z=-1-2i,在复平面内对应点的坐标为(-1,-2),则该点位于第三象限.故选C.答案:C 123456789108(2018天津高考)i 是虚数单位,复数6+7i1+2i=_.解析:6+7i1+2i=(6+7i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=6-12i+7i+145=4 i.答案:4-i 12
14、3456789109(2018上海高考)已知复数z满足(1+i)z=1-7i(i是虚数单位),则|z|=.解析:(方法一)因为(1+i)z=1-7i,所以 z=1-7i1+i=(1-7i)(1-i)(1+i)(1-i)=-6-8i2=3 4i,所以|z|=|-3-4i|=32+42=5.(方法二)因为(1+i)z=1-7i,所以|1+i|z|=|1-7i|,即 2|=5 2,解得|z|=5.答案:5 1234567891010(2018江苏高考)若复数z满足iz=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为 .解析:由 iz=1+2i,得复数 z=1+2ii=(1+2i)(i)=2 i,即z 的实部是 2.答案:2