1、山东省德州一中2015届高三上学期1月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若U=1，2，3，4，5，6，M=1，2，4，N=2，3，6，则U（MN）=（）A1，2，3B5C1，3，4D22（5分）已知aR，则“a2a”是“a1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（5分）正项等比数列an的公比为2，若a2a10=16，则a9的值是（）A8B16C32D644（5分）已知命题p：x0，x+4：命题q：x0R+，2x0=，则下列判断正确的是（）Ap是假命题Bq
2、是真命题Cp（q）是真命题D（p）q是真命题5（5分）已知m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（）Am，nmnBm，nmnCm，n，mnDn，n6（5分）若变量x，y满足条件，则x+2y的最小值为（）AB0CD7（5分）下列函数中，与函数y=的奇偶性相同，且在（，0）上单调性也相同的是（）ABy=x2+2Cy=x33D8（5分）设函数f（x）=sinx+cosx（0）的最小正周期为，将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则（）Ag（x）在（0，）上单调递减Bg（x）在（，）上单调递减Cg（x）在（0，）上单调递增Dg（x）在（，）上单调递增9（5分）设函数
3、f（x）的零点为x1，g（x）=4x+2x2的零点为x2，若|x1x2|0.25，则f（x）可以是（）Af（x）=x21Bf（x）=2x4Cf（x）=ln（x+1）Df（x）=8x210（5分）设函数f（x）=若f（f（t）2，则实数t的取值范围是（）A（，B，+）C（，2D2，+）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.11（5分）已知向量=（，1），=（0，1），=（t，），若2与共线，则t=12（5分）设为锐角，若cos（+）=，则sin（）=13（5分）计算：1g25=14（5分）若椭圆的焦点在x轴上，过点（2，1）作圆x2+y2=4的切线，切
4、点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是15（5分）棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.）16（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且2ccosA=2ba（I）求角C的大小；（）若ABC的面积S=2，b=2，求sinA的值17（12分）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，D为AB的中点，且AB1A1C（1）AB1A1D；（2）证明：BC1平面A1CD1
5、8（12分）等差数列an的前n项和为Sn，满足：S3=15，a5+a9=30（I）求an及Sn；（）数列bn满足bn（Snn）=2（nN+），数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn219（12分）某公司生产的商品A每件售价为5元时，年销售10万件（1）据市场调查，若价格每提2014-2015学年高一元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才
6、可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？20（13分）已知椭圆的两个焦点为F1、F2，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF1|+|AF2|=4，O为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）证明：OAB的面积为定值21（14分）设函数f（x）=mlnx（I）当m=时，求f（x）的极值；（）设A、B是曲线y=f（x）上的两个不同点，且曲线在A、B两点处的切线均与x轴平行，直线AB的斜率为k，是否存在m，使得mk=1？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由山东省德州一中2015届高三上学期1月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小
7、题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若U=1，2，3，4，5，6，M=1，2，4，N=2，3，6，则U（MN）=（）A1，2，3B5C1，3，4D2考点：并集及其运算 专题：计算题分析：由M与N求出两集合的并集，根据全集U求出并集的补集即可解答：解：M=1，2，4，N=2，3，6，MN=1，2，3，4，6，U=1，2，3，4，5，6，U（MN）=5故选B点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2（5分）已知aR，则“a2a”是“a1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条
8、件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质，进行判断即可解答：解：由a2a得0a1，则“a2a”是“a1”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键3（5分）正项等比数列an的公比为2，若a2a10=16，则a9的值是（）A8B16C32D64考点：等比数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：利用正项等比数列an的公比为2，a2a10=16，求出a1=，再利用a9=a128，即可得出结论解答：解：正项等比数列an的公比为2，a2a10=16，a12210=16，a1=，a9=a128
9、=25=32，故选：C点评：本题考查等比数列的通项公式，考查学生的计算能力，比较基础4（5分）已知命题p：x0，x+4：命题q：x0R+，2x0=，则下列判断正确的是（）Ap是假命题Bq是真命题Cp（q）是真命题D（p）q是真命题考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：利用基本不等式求最值判断命题p的真假，由指数函数的值域判断命题q的真假，然后结合复合命题的真值表加以判断解答：解：当x0，x+，当且仅当x=2时等号成立，命题p为真命题，P为假命题；当x0时，2x1，命题q：x0R+，2x0=为假命题，则q为真命题p（q）是真命题，（p）q是假命题故选：C点评：本题考查了命题的真假判断与
10、应用，考查了复合命题的真假判断，考查了利用基本不等式求最值，是中档题5（5分）已知m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（）Am，nmnBm，nmnCm，n，mnDn，n考点：平面与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解解答：解：在A选项中，可能有n，故A错误；在B选项中，可能有n，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确故选：D点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养6（5分）若变量x，y满足条件，则x+2y的最小值为（）AB0C
11、D考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（，1），此时z的最小值为z=+2（1）=，故选：A点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法7（5分）下列函数中，与函数y=的奇偶性相同，且在（，0）上单调性也相同的是（）ABy=x2+2Cy=x33D考点：奇偶性与单调性的综合 专题：计算题；函数的性质及应用分析：运用奇偶性的定义 判断已知
12、函数为偶函数，在x0上递减，再由常见函数的奇偶性和单调性及定义，即可得到满足条件的函数解答：解：函数y=，当x=0时，f（0）=1；当x0时，x0，f（x）=（）x=ex=f（x），当x0时，x0，f（x）=ex=f（x），则有在R上，f（x）=f（x）则f（x）为偶函数，且在x0上递减对于Af（x）=f（x），则为奇函数，则A不满足；对于B则函数为偶函数，在x0上递减，则B满足；对于Cf（x）=（x）33=x33f（x），则不为偶函数，则C不满足；对于Df（x）=f（x），则为偶函数，当x0时，y=递增，则D不满足故选B点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查常见函数的奇偶性和单调性及
13、定义的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题8（5分）设函数f（x）=sinx+cosx（0）的最小正周期为，将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则（）Ag（x）在（0，）上单调递减Bg（x）在（，）上单调递减Cg（x）在（0，）上单调递增Dg（x）在（，）上单调递增考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：化简解析式可得f（x）=sin（x+），由周期可求，从而得f（x）=sin（2x+），向左平移个单位得函数g（x）=cos2x的图象，从而可求单调区间解答：解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），T=，=2，
14、f（x）=sin（2x+），将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则y=g（x）=sin2（x+）+=sin（2x+）=cos2x，令2k2x2k+，kZ可解得：k，kZ，当k=0时，x0，即g（x）在（0，）上单调递减故选：A点评：本题主要考查了函数y=Asin（x+）的图象变换，三角函数的单调性，周期性，属于基础题9（5分）设函数f（x）的零点为x1，g（x）=4x+2x2的零点为x2，若|x1x2|0.25，则f（x）可以是（）Af（x）=x21Bf（x）=2x4Cf（x）=ln（x+1）Df（x）=8x2考点：函数的零点 专题：函数的性质及应用分析：求出函数g（x
15、）的零点的取值范围，分别求出哈思楠f（x）的零点，判断不等式|x1x2|0.25是否成立即可解答：解：g（1）=4+220，g（0）=120，g（）=2+120，g（）=220，则x2（，），A函数的零点为x1=1，则不满足|x1x2|0.25，B函数的零点为x1=2，则不满足|x1x2|0.25，C函数的零点为x1=0，则不满足|x1x2|0.25，D函数的零点为x1=，则满足|x1x2|0.25，故选：D点评：本题考查了函数的零点的求法及二分法求函数的零点的近似，分别求出函数的零点是解决本题的关键10（5分）设函数f（x）=若f（f（t）2，则实数t的取值范围是（）A（，B，+）C（，2D
16、2，+）考点：分段函数的应用 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：运用换元法，令a=f（t），则f（a）2，即有或，分别解出它们，再求并集可得a2即有f（t）2，则或，分别解出它们，再求并集即可得到解答：解：令a=f（t），则f（a）2，即有或，即有2a0或a0，即为a2即有f（t）2，则或，即有t0或0t，即有t则实数t的取值范围是（，故选A点评：本题考查分段函数的运用：解不等式，考查二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.11（5分）已知向量=（，1），=（0，1），=（t，），若2与共
17、线，则t=1考点：平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值解答：解：=（，1），=（0，1），2=，又=（t，），且2与共线，则，解得：t=1故答案为：1点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别若=（a1，a2），=（b1，b2），则a1a2+b1b2=0，a1b2a2b1=0，是基础题12（5分）设为锐角，若cos（+）=，则sin（）=考点：两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值分析：先求出sin
18、（+）=，再sin（）=sin（+），利用两角和与差的正弦函数展开即可由特殊角的三角函数值求解解答：解：为锐角，cos（+）=，则sin（+）=，sin（）=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=，故答案为：点评：本题主要考查了两角和与差的正弦公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查13（5分）计算：1g25=1考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算 专题：计算题分析：根据根式与指数幂的互化结合对数的运算性质，进行计算即可解答：解：原式=+lg=+lg102=2=32=1，故答案为：1点评：本题考查了根式与指数幂的互化以及对数的运算性质，是一道基础题14（
19、5分）若椭圆的焦点在x轴上，过点（2，1）作圆x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设出切点坐标，利用切点与原点的连线与切线垂直，列出方程得到AB的方程，将右焦点坐标及上顶点坐标代入AB的方程，求出参数c，b；利用椭圆中三参数的关系求出a，求出椭圆方程解答：解：设切点坐标为（m，n）则=1即m2+n2n2m=0m2+n2=42m+n4=0即AB的直线方程为2x+y4=0线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点2c4=0；b4=0解得c=2，b=4所以a2=b2+c2=20故椭圆方程
20、为故答案为：点评：本题考查椭圆方程的求法，圆的切线的性质、椭圆中三参数的关系：a2=b2+c2，考查计算能力15（5分）棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是32考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征是什么从而求出它的体积解答：解：由三视图知余下的几何体如图示；B、D都是侧棱的中点，上、下两部分的几何体相同，即上、下两部分的体积相等，该几何体的体积为V=43=32故答案为：32点评：本题考查了几何体的三视图的应用问题，是基础题目三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写
21、出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.）16（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且2ccosA=2ba（I）求角C的大小；（）若ABC的面积S=2，b=2，求sinA的值考点：正弦定理 专题：解三角形分析：（I）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出角C的大小；（）利用三角形面积公式列出关系式，把b，sinC以及已知面积代入求出a的值，利用余弦定理求出c的值，再利用正弦定理求出sinA的值即可解答：解：（I）由2ccosA=2ba，利用正弦定理化简得：2sinCcosA=2sinBsinA，即2s
22、inCcosA=2sin（A+C）sinA，整理得：2sinCcosA=2sinAcosC+2cosAsinCsinA，即sinA（2cosC）=0，sinA0，2cosC=0，即cosC=，则C=；（）SABC=absinC=a2=a=2，a=4，由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC=48+4242=28，解得：c=2，由正弦定理=得：sinA=点评：出此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键17（12分）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，D为AB的中点，且AB1A1C（1）AB1A1D；（2）证明：BC1平面A1CD考点：直线与
23、平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）首先利用线面垂直的性质，转化成线线垂直，进一步利用线面垂直的判定定理得到线面垂直进一步转化成线线垂直（2）直接利用三角形的中位线得到线线平行，利用线面平行的判定定理转化成线面平行解答：证明：（1）如图，三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，AA1平面ABC，又CD平面ABC，AA1CD，由于AA1AB=A，CD平面AB1，又AB1平面AB1，CDAB1，AB1A1C，CDA1C=C所以：AB1平面A1CD，又A1D平面A1CD，AB1A1D（2）连接AC1交A1C于点F，连接C1B和FD，四边形A1ACC1是平行四边形，F是AC1的中点，D是A
24、B的中点，在AC1B中，FDBC1又BC1平面A1CD，BC1平面A1CD点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理和性质定理，线面平行的判定定理，属于基础题型18（12分）等差数列an的前n项和为Sn，满足：S3=15，a5+a9=30（I）求an及Sn；（）数列bn满足bn（Snn）=2（nN+），数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn2考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（）设等差数列an的公差是d，根据题意和等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出a1和d的值，代入公式求出an及Sn；（）由题意和（）求
25、出bn，再利用裂项相消法求出数列bn的前n项和为Tn，即可证明Tn2解答：解：（）设等差数列an的公差是d，S3=15，a5+a9=30，解得a1=3，d=2，an=3+（n1）2=2n+1，Sn=n2+2n；证明：（）由（）得，bn（Snn）=2，则bn（n2+n）=2，=2（），Tn=b1+b2+bn=2（1）+（）+（）=2（1）2，对于任意正整数n，有Tn2成立点评：本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，裂项相消法求数列的前n项和，以及方程思想，属于中档题19（12分）某公司生产的商品A每件售价为5元时，年销售10万件（1）据市场调查，若价格每提2014-2015学年高一元，销量相
26、应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？考点：函数模型的选择与应用 专题：函数的性质及应用分析：（1）根据条件建立函数关系即可；（2）结合基本不等式的性质即可求出函数的最值解答：解：（1）设商品的销售价格提高a元，则销售量减少10a万件，则（10a）（5+a）50，即a25a0，解得0a
27、5，故商品的销售价格最多提高5元（2）由题意知，改革后的销售收入为mx万元，若使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和，则只需要满足mx=（x2+x）+50，（x5）即可，即m=x+2=10+=，当且仅当x=，即x=10时，取等号，答：销售量m至少应达到万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和点评：本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用基本不等式的性质求最值是解决本题的关键20（13分）已知椭圆的两个焦点为F1、F2，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF1|+|AF2|=4，O为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）证明：O
28、AB的面积为定值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由椭圆的离心率，结合椭圆的定义及隐含条件求得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（）设出直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联直线方程和椭圆方程，由根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，结合，得到A，B的横坐标的乘积再由y1y2=（kx1+m）（kx2+m）求得A，B的纵坐标的乘积，最后把OAB的面积转化为含有k，m的代数式可得为定值解答：解：（1）由椭圆的离心率为，可得，即a=，又2a=|AF1|+|AF2|=，a=，c=2，b2=4，椭圆方程为：；（）设直线AB的方
29、程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0=（4km）24（1+2k2）（2m28）=8（8k2m2+4）0，又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，（m24）=m28k2，即4k2+2=m2，设原点到直线AB的距离为d，则=，当直线斜率不存在时，有A（），B（），d=2，SOAB=即OAB的面积为定值2点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题
30、21（14分）设函数f（x）=mlnx（I）当m=时，求f（x）的极值；（）设A、B是曲线y=f（x）上的两个不同点，且曲线在A、B两点处的切线均与x轴平行，直线AB的斜率为k，是否存在m，使得mk=1？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：（I）当m=时，求函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系即可求f（x）的极值；（）求函数的导数，根据导数的几何意义，求出直线AB的斜率，建立方程关系即可得到结论解答：解：（I）函数的定义域为（0，+），则f（x）=，当m=时，f（x）=，令f（x）=0，则x=2或
31、x=，当x变化时，f（x），f（x）变化时，x（0，）（，2）2（2，+）f（x）0+0f（x）递减递增递减当x=时，f（x）的极小值为f（）=，当x=2时，f（x）的极大值为f（2）=；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），（0x1x2），由题意得f（x1）=f（x2）=0，又f（x）=，x1，x2是方程x22mx+1=0的两个正根，故x1x2=1，判别式=4m240，即m21，f（x1）f（x2）=mlnx11+mlnx2+=m（lnx1lnx2）（x1x2）+=m（lnx1lnx2）（x1x2），若存在实数m，使得mk=1，则k=，即，即lnx1lnx2=x1x2，x1x2=1，0x1x2，x1，令h（t）=t2lnt，0t1，h（t）=1+=（）20，h（t）在（0，1）上单调递增，h（t）h（1）=112ln1=0，即x12lnx10，与矛盾，故不存在这样的m，使mk=1点评：本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用函数的极值，最值和导数之间是关系是解决本题的关键综合性较强，运算量较大
