1、第二章函数的概念及其基本性质第1讲函数的概念及其表示考纲展示命题探究1函数与映射的概念函数映射两集合A，BA，B是两个非空数集A，B是两个非空集合对应关系f：AB按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA对应f：AB是一个映射2函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值
2、叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集3函数的三要素定义域、值域和对应关系4相等函数如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据5函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法注意点求函数的定义域需注意的问题(1)求定义域时对于解析式先不要化简(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式.1思维辨析(1)f(x)与g(x)x是同一个函数()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等()(3)函数f(x)x2x与g(t)t2t是同一函数()(4)f(x)是一个函数()(5)函数是建立在其定义
3、域到值域的映射()(6)若函数f(x)的定义域为x|1x3，则函数f(2x1)的定义域为x|1x0，解得x1，故选C.考法综述求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解函数解析式的求解与应用是函数内容的基础，要求在熟练掌握有关技能的同时，注意换元法、待定系数法等数学思想方法的运用高考中以选择题或填空题形式考查，属于基础题命题法1求函数的定义域典例1(1)f(x)的定义域为()A.B(2，)C.(2，) D.2，)(2)若函数yf(x)的定义域为0,2，则函数g(x)的定义域是_解析(1)要使函数f(x)有意义，需
4、使(log2x)210，即(log2x)21，log2x1或log2x2或0x.故f(x)的定义域为(2，)(2)02x2，0x1，又x10，即x1，0x1，即函数g(x)的定义域是0,1)答案(1)C(2)0,1)【解题法】函数定义域的求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解(2)抽象函数若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域由ag(x)b求出若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求命题法2求函数的解析式典例2(1)已知函数
5、f(x)x3ax2bxc，且0f(1)f(2)f(3)3，则()Ac3B3c6C69(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_.解析(1)由得解得则有f(1)f(2)f(3)c6，由0f(1)3，得6c9.(2)1x0，0x11，f(x)f(x1)(x1)1(x1)x(x1)答案(1)C(2)x(x1)【解题法】求函数解析式的常见方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可(2)换元法：已知f(h(x)g(x)求f(x)时，往往可设h(
6、x)t，从中解出x，代入g(x)进行换元，求出f(t)的解析式，再将t替换为x即可(3)转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式(4)解方程组法：已知关于f(x)与f(或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程构成方程组求出f(x)1.函数yln (1x)的定义域为()A(0,1)B0,1)C(0,1D0,1答案B解析由解得0xgf(2)Bfg(2)gf(2)Cfg(2)gf(2)故选A.5已知函数f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.答案解析解法一：当0a1时，函数f(x)在1,
7、0上单调递增，由题意可得，即，显然无解所以ab.6已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f1，则f(x)_.答案解析在f(x)2f1中，用代替x，得f2f(x)1，将式代入f(x)2f1中，得f(x)4f(x)21，故f(x).1分段函数的定义若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数2分段函数的定义域分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数注意点分段函数求值时需注意的问题当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.1思维辨析(1)分段函数分几部分就是
8、几个函数()(2)f(x)|x|与g(x)是同一函数()(3)函数是特殊的映射()(4)函数f(x)1的值域是y|y1()(5)f(x)则f(x)()答案(1)(2)(3)(4)(5)2(1)设函数f(x)则f(f(3)等于()A.B3C. D.(2)如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数图象若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()答案(1)D(2)D解析(1)由题意知f(3)，f21，f(f(3)f.(2)由函数图象可知，张大爷先是离家越来越远，然后在一段时间内他离家的距离不变，最后他离家越来越近，分析可知D正确3设f(x)，若f(2)4，则a的取值范
9、围为_答案(，2解析若a2，则f(2)2与已知矛盾；若a2，则f(2)224成立故a的取值范围是(，2考法综述 在分段函数的考查中，主要以分段函数求值、解分段函数有关的不等式、分段函数求参数(范围)等形式出现，主要以选择题的形式出现，题目一般不难，偶尔也会出现难度较高的题目命题法分段函数求值典例(1)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x)则f_.(2)设函数f(x)若f(f(a)2，则实数a的取值范围是_解析(1)f(x)是周期为2的函数，fff4221.(2)当a0时，f(a)a20，又f(0)0，故由f(f(a)f(a2)a4a22，得a22，0a.当1a0时，f
10、(a)a2aa(a1)0，则由f(f(a)f(a2a)(a2a)2(a2a)2，得a2a10，得a，则有1a0.当a1时，f(a)a2aa(a1)0，则由f(f(a)f(a2a)(a2a)22，得aR，故a1.综上，a的取值范围为(，答案(1)1(2)(，【解题法】分段函数问题的解题策略(1)根据分段函数的解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式，代入求解(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围1.设函数f(x)则f(2)f(log212)()A3B6C9
11、D12答案C解析由于f(2)1log243，f(log212)2log21212log266，所以f(2)f(log212)9.故选C.2设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A.B0,1C.D1，)答案C解析由题意知，f(a).由f(a)1，解得a.所以f(f(a)故当a时，方程f(f(a)2f(a)化为9a423a1，即18a823a.如图，分别作出直线y18x8与函数y23x8x的图象，根据图象分析可知，A点横坐标为，故a不符合题意当a1)，则()Asgng(x)sgnxBsgng(x)sgnxCsgng(x)sgnf(x)Dsgng(x)sgnf(x)答案B解析
12、因为f(x)是R上的增函数，又a1，所以当x0时，f(x)f(ax)，即g(x)0；当x0时，f(x)f(ax)，即g(x)0；当xf(ax)，即g(x)0.由符号函数sgnx知，sgng(x)sgng(x)sgnx.4已知函数f(x)则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数Df(x)的值域为1，)答案D解析作出f(x)的图象如图所示，可排除A、B、C，故D正确5设f(x)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为()A1,2B1,0C1,2D0,2答案D解析当x0时，f(x)(xa)2，又f(0)是f(x)的最小值，a0.当x0时，f(x)xa2a，
13、当且仅当x1时取“”要满足f(0)是f(x)的最小值，需2af(0)a2，即a2a20，解之，得1a2，a的取值范围是0a2.选D.6.已知函数f(x)若f(f(0)4a，则实数a等于()A. B.C2D9答案C解析f(x)01，f(0)2012.f(0)21，f(f(0)222a4a，a2.故应选C.7已知函数f(x)则f(f(3)_，f(x)的最小值是_答案023解析由题知，f(3)1，f(1)0，即f(f(3)0.又f(x)在(，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，在(，)上单调递增，所以f(x)minminf(0)，f()23.已知实数a0，函数f(x)若f(
14、1a)f(1a)，则a的值为()ABC或 D.或错解错因分析在解题过程中误以为1a1，没有对a进行讨论，直接代入求解，导致错误正解(1)当a0时，1a1则f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a13a，f(1a)f(1a)，2a13a，a(舍)；(2)当a1,1a1，则f(1a)(1a)2a1a，f(1a)2(1a)a3a2，f(1a)f(1a)，1a3a2，a.综上可知a，故选B.答案B心得体会时间：45分钟基础组1.2016枣强中学周测已知集合A0,8，集合B0,4，则下列对应关系中，不能看作从A到B的映射的是()Af：xyxBf：xyxCf：xyxDf：xyx答案D解析按照对应
15、关系f：xyx，对A中某些元素(如x8)，B中不存在元素与之对应2. 2016冀州中学预测函数f(x)的定义域是()A(3,0)B(3,0C(，3)(0，)D(，3)(3,0)答案A解析f(x)，要使函数f(x)有意义，需使即3x0.32016冀州中学猜题设函数f(x)若f(a)f(1)2，则a()A3B3C1D1答案D解析当a0时，f(a)，由已知得12，得a1；当a0时，f(a)，由已知得12，得a1，综上a1.42016武邑中学仿真已知函数f(n)其中nN*，则f(6)的值为()A6B7C8D9答案B解析由函数解析式，可知f(6)f(f(11)f(8)f(f(13)f(10)1037.5
16、2016衡水中学模拟已知函数g(x)12x，fg(x)(x0)，则f等于()A1B3C15D30答案C解析令12x，得x，f15，故选C.62016冀州中学期中函数f(x)的最大值是()A. B.C. D.答案D解析1x(1x)2，所以0.72016衡水中学仿真已知函数f(x)的定义域为(0,2，则函数f()的定义域为()A1，)B(1,3C，3)D(0，)答案B解析根据题意，得02，即0x14，解得1x3，故选B.82016枣强中学预测设函数f(x)则f(f(4)_.答案4解析因为x40，所以f(16)4.92016冀州中学一轮检测函数f(x)x的值域为_答案(，1解析函数的定义域为，令t(
17、t0)，则x.yt(t1)21(t0)，故t1(即x0)时，y有最大值1，故值域为(，1102016武邑中学一轮检测已知f(x)是二次函数，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1.求函数f(x)的解析式解设f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)0，c0，即f(x)ax2bx.又f(x1)f(x)x1.a(x1)2b(x1)ax2bxx1.(2ab)xab(b1)x1，解得.f(x)x2x.112016武邑中学月考甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系
18、试写出yf(x)的函数解析式解当x0,30，设yk1xb1，由已知得k1，b10，yx；当x(30,40)时，y2；当x40,60时，设yk2xb2，由k2，b22，yx2，f(x)122016衡水中学热身已知函数f(x)x24ax2a6，xR.(1)若函数的值域为0，)，求a的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f(a)2a|a3|的值域解f(x)x24ax2a6(x2a)22a64a2.(1)函数值域为0，)，2a64a20.解得a1或a.(2)函数值域为非负数集，2a64a20.即2a2a30，解得1a.f(a)2a|a3|2a(a3)2.f(a)在上单调递减f(a)4.即f(a)值域为.能力组13.2016衡水二中期中函数y的定义域是()A，1)(1，B(，1)(1，)C2，1)(1,2D(2，1)(1,2)答案A解析由题意得即也就是1x22，所以x，1)(1，142016枣强中学模拟设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_答案(，8解析f(x)2或或x1.解(1)0c1，0c21，得当0x1，解得x；当x1，解得x1的解集为.
