1、11正弦定理预习课本P4549，思考并完成以下问题 (1)正弦定理的推导体现了什么思想方法？ (2)正弦定理的内容是什么？ (3)应用正弦定理可解哪两类三角形？ (4)三角形的面积公式有哪些？ 1正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.点睛对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化2三角形的面积公式Sabsin Cbc
2、sin Acasin B.3在ABC中，各边与所对角的正弦的比值是同一个常数，这个常数就是三角形外接圆的直径1判断下列结论是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)正弦定理只适用锐角三角形()(2)在ABC中，等式asin Absin B总成立()(3)在ABC中，已知a30，b23，A130，则此三角形有唯一解()答案：(1)(2)(3)2在ABC中，下列等式总能成立的是()Aacos Cccos ABbsin Ccsin ACabsin Cbcsin B Dasin Ccsin A解析：选D由正弦定理易知，选项D正确3在ABC中，a7，c5，则sin Asin C的值是()A. B.C.
3、 D.解析：选A由正弦定理得sin Asin Cac75.4边长为a的等边三角形的面积为_解析：Saasin 60a2.答案：a25已知ABC外接圆半径是2，A60，则BC边长为_解析：因为2R，所以BC2Rsin A4sin 602.答案：2已知两角及一边解三角形典例在ABC中，已知a8，B60，C75，求A，b，c.解A180(BC)180(6075)45，由正弦定理，得b4，由，得c4(1)已知三角形两角及一边解三角形的方法(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正
4、弦定理求另外两边活学活用已知在ABC中，c10，A45，C30，求a，b和B.解：，a10.B180(AC)180(4530)105.又，b20sin 75205().已知两边及一边的对角解三角形典例在ABC中，a1，b，A30，求边c的长解由，得sin B.aA30，B为60或120.当B60时，C180603090.此时，c 2.当B120时，C1801203030.此时，ca1.综上知c1或2.已知三角形两边及一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求
5、锐角唯一(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 活学活用在ABC中，c，C60，a2，求A，B，b.解：，sin A.A45或135.又ca，CA，A45，B75，b1.求三角形的面积典例在ABC中，B30，AB2，AC2，求ABC的面积解由正弦定理，得，sin C.ABAC，CB30，即C有两解C60或120.当C60时，A90，SABCABAC222；当C120时，A30，SABCABACsin A22sin 30.综上可知，ABC的面积为2或.求三角形面积的公式(1)求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解
6、题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备(2)三角形面积计算公式Sahabhbchc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)Sabsin Cacsin Bbcsin A.Sr(abc)(r为内切圆半径)活学活用在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A，b1，ABC的外接圆半径为1，则ABC的面积S_.解析：由正弦定理2R，得a，sin B，ab，AB，B，C.SABC1.答案：判断三角形的形状典例在ABC中，acos bcosB，判断ABC的形状解法一化角为边acosbcos，asin Absin B由正弦定理可得：ab.a2b2，ab，ABC为等腰三角形法二化边为角a
7、cosbcos，asin Absin B.由正弦定理可得：2Rsin2A2Rsin2B，即sin Asin B，AB(AB不合题意舍去)，故ABC为等腰三角形利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边，将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如ab，a2b2c2等，进而确定三角形的形状，利用的公式为：sin A，sin B，sin C.(2)化边为角，将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状，利用的公式为：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C活学
8、活用在ABC中，sin2Asin2Bsin2C，且sin A2sin Bcos C，试判断ABC的形状解：由正弦定理，得sin A，sin B，sin C，sin2Asin2Bsin2C，222，即a2b2c2，故A90，C90B，cos Csin B.2sin Bcos C2sin2Bsin A1.sin B.B45或B135(AB225180，故舍去)，ABC是等腰直角三角形层级一学业水平达标1在ABC中，下列式子与的值相等的是()A.B.C. D.解析：选C由正弦定理得，所以.2在ABC中，abc156，则sin Asin Bsin C等于()A156 B651C615 D不确定解析：选
9、A由正弦定理，知sin Asin Bsin Cabc156.3在ABC中，若sin Asin B，则A与B的大小关系为()AAB BAsin B，2Rsin A2Rsin B，即ab，故AB.4ABC中，b30，c15，C26，则此三角形解的情况是()A一解 B两解C无解 D无法确定解析：选B因为b30，c15，C26，所以cbsin C，又cb，所以此三角形有两解5在ABC中，absin A，则ABC一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形解析：选B由题意有b，则sin B1，即角B为直角，故ABC是直角三角形6在ABC中，已知BC，sin C2sin A，则AB_.解
10、析：由正弦定理得，所以ABBC2BC2.答案：27若ABC的面积为，BC2，C60，则边AB的长度等于_解析：由于SABC，BC2，C60，2AC，AC2，ABC为正三角形，AB2.答案：28在ABC中，若a14，b7，B60，则C_.解析：由正弦定理知，又a14，b7，B60，sin A，ab，AB，A45，C180(BA)180(6045)75.答案：759在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b2，sin Bcos B， 求角A的大小解：sin Bcos Bsin，sin1.又0B，B.由正弦定理，得sin A.又ab，AB，A.10在ABC中，已知a10，B75，C6
11、0，试求c及ABC的外接圆半径R.解：ABC180，A180756045.由正弦定理，得2R，c5，2R10，R5.层级二应试能力达标1ABC中，a，b，sin B，则符合条件的三角形有()A1个B2个C3个 D0个解析：选Basin B，asin Bba，符合条件的三角形有2个2已知锐角ABC的面积为3，BC4，CA3，则角C的大小为()A75 B60C45 D30解析：选B由SABC3BCCAsin C34sin C得sin C，又C为锐角，故C60.3在ABC中，已知b2sin2Cc2sin2B2bccos Bcos C，则ABC是()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三
12、角形解析：选Bb2sin2Cc2sin2B2bccos Bcos C，由正弦定理，得2sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos Bcos C，即sin Bsin Ccos Bcos C，cos(BC)0，BC90，A90，ABC是直角三角形4在ABC中，A60，a，则等于()A. B.C. D2解析：选B由a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C得2R.5已知a，b，c分别是ABC的三个内角所对的边，若a1，b，AC2B，则sin A_.解析：AC2B，ABC，B，由正弦定理，即.ab，sin A.答案：6已知ABC中，ax，b2，B45，若三角形有两解，则x的取值范围是_
13、解析：由正弦定理，得x2sin A，45A90或90A135，2x2.答案：(2,2)7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a3，cos A，BA.(1)求b的值；(2)求ABC的面积解：(1)cos A，0Ab2c2，则ABC一定为钝角三角形()(3)在ABC中，已知两边和其夹角时，ABC不唯一()解析：(1)正确余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适用于任何三角形(2)正确当a2b2c2时，cos A0.因为0A，故A一定为钝角，ABC为钝角三角形(3)错误当ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此ABC唯一确定答案：(1)(2)(3)2在ABC中
14、，符合余弦定理的是()Ac2a2b22abcos CBc2a2b22bccos ACb2a2c22bccos ADcos C解析：选A注意余弦定理形式，特别是正负号问题3在ABC中，a1，b1，C120，则c_.解析：由余弦定理，得c2a2b22abcos C12122113，c.答案：4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a1，b，c，则B_.解析：由余弦定理，得cos B，B150.答案：1505在ABC中，a2c2b2ab，则角C的大小为_解析：由余弦定理得cos C.所以C60.答案：60已知两边及一角解三角形典例ABC中，已知b3，c3，B30，解三角形解法一利用余弦
15、定理由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22a3cos 30，a29a180，得a3或6.当a3时，A30，C120.当a6时，由正弦定理sin A1.A90，C60.法二利用正弦定理由bcsin 303知本题有两解由正弦定理得，sin C，C60或120.当C60时，A90，由勾股定理a 6.当C120时，A30，ABC为等腰三角形，a3.已知两边及一角解三角形时有两种方法(1)利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，然后利用正弦定理和三角形内角和定理求出另外两个角(2)直接用正弦定理，先求角再求边用方法(2)时要注意解的情况，用方法(1
16、)就避免了取舍解的麻烦活学活用在ABC中，已知角A，B，C所对的三边长分别为a，b，c，若A，b2，SABC2，求a.解：因为SABCbcsin A2cc2，所以c2.根据余弦定理得a2b2c22bccos A482224，所以a2.已知三边解三角形典例 (1)在ABC中，a3，b4，c，则最大角为_；(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知BC,2ba，则cos A_.解析 (1)43，边c最大，则角C最大，又cos C.最大角C120.(2)由BC,2ba，可得cba.所以cos A.答案(1)120(2)已知三边解三角形的策略(1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定
17、理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解活学活用1已知在ABC中，abc2(1)，求角A的大小解：abc2(1)，令a2k，bk，c(1)k(k0)，由余弦定理得，cos A，0A0，则a2k，b3k，c4k.由余弦定理得cos B.判断三角形的形状典例在ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos Asin Bsin C，确定ABC的形状解法一：由正弦定理得，由2cos Asin Bsin C，有cos A.又由余弦定理得cos A，所以，即c2b2c2
18、a2，所以a2b2，所以ab.又因为(abc)(abc)3ab，所以(ab)2c23ab，所以4b2c23b2，即b2c2.所以bc，所以abc.所以ABC为等边三角形法二：因为ABC180，所以sin Csin(AB)，又因为2cos Asin Bsin C，所以2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin(AB)0.又因为A与B均为ABC的内角，所以AB.又由(abc)(abc)3ab得(ab)2c23ab，所以a2b2c22ab3ab，即a2b2c2ab.由余弦定理，得cos C，又0C180，所以C60.所以ABC为等边三角形判断三角形形状的两条途径(1)
19、利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论活学活用在ABC中，若sin Asin Bsin C(cos Acos B)，试判断ABC的形状解：由已知条件，根据正弦定理及余弦定理可得：abc，整理得(ab)(c2a2b2)0.因为ab0，所以a2b2c2.故ABC是以C为直角的直角三角形.正、余弦定理的综合应用题点一：利用正、余弦定理解三角形1在ABC中，C2A，ac10，cos A，求b.解：由正弦定理得2cos A，.又ac10
20、，a4，c6.由余弦定理a2b2c22bccos A，得cos A，b4或b5.当b4时，a4，AB.又C2A，且ABC，A，与已知cos A矛盾，不合题意，舍去当b5时，满足题意，所以b5.题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式2在ABC中，求证a2sin 2Bb2sin 2A2absin C.证明：法一：(化为角的关系式)a2sin 2Bb2sin 2A(2Rsin A)22sin Bcos B(2Rsin B)22sin Acos A8R2sin Asin B(sin Acos Bcos Asin B)8R2sin Asin Bsin C22Rsin A2Rsin Bsin C2a
21、bsin C.原式得证法二：(化为边的关系式)左边a22sin Bcos Bb22sin Acos Aa2b2(a2c2b2b2c2a2)2c22ab2absin C右边，原式得证题点三：正、余弦定理与三角恒等变换的交汇3设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值解：(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cos B)又b2，ac6，cos B，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理，得sin A.因为ac，所以A为锐角，所以cos A.因此sin(A
22、B)sin Acos Bcos Asin B.正弦、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180、大边对大角等层级一学业水平达标1在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC的大小为()A. B.C. D.解析：选A由余弦定理得cos BAC，且BAC(0，)，因此BAC，选A.2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2ac，且c2a，则cos B()A. B.C. D.解析：选B由b2ac，又c2a，由余弦定理，得cos B.3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2b2
23、c2ac，则角B的大小是()A45 B60C90 D135解析：选A因为a2b2c2ac，所以a2c2b2ac，由余弦定理得cos B，又0B180，所以B45.4在ABC中，B60，b2ac，则这个三角形是()A不等边三角形 B等边三角形C等腰三角形 D直角三角形解析：选B由余弦定理得cos B，则(ac)20，ac，又B60，ABC为等边三角形5如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A. B. C. D.解析：选D设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，由余弦定理得cos A，故选D.6在ABC中，若a4b4c42c2(a2b2)，则角C_.解析：co
24、s C，cos2C.a4b4c42c2(a2b2)，a4b4c42c2a22c2b20，cos2C，cos C，C45或135.答案：45或1357在ABC中，A60，AC1，ABC的面积为，则BC的长为_解析：SABCABACsin AAB4，BC.答案：8在ABC中，AB，BC1，cos C，则BCCA_.解析：在ABC中，由余弦定理得|AB|2|CA|2|CB|22|CA|CB|cos C，即2|CA|212|CA|.|CA|2|CA|10.|CA|2.BCCA|BC|CA|cos(180C)|BC|CA|cos C12.答案：9在ABC中，AC2B，ac8，ac15，求b.解：法一：在
25、ABC中，由AC2B，ABC180，知B60.ac8，ac15，则a，c是方程x28x150的两根解得a5，c3或a3，c5.由余弦定理，得b2a2c22accos B92523519.b.法二：在ABC中，AC2B，ABC180，B60.由余弦定理，得b2a2c22accos B(ac)22ac2accos B8221521519.b.10在ABC中，已知sin C，a2，b2，求边c.解：sin C，且0C，C为或.当C时，cos C，此时，c2a2b22abcos C4，即c2.当C时，cos C，此时，c2a2b22abcos C28，即c2.综上，c2或c2.层级二应试能力达标1若A
26、BC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为()A.B84C1 D.解析：选A依题意得两式相减得ab.2在ABC中，sin2Asin2Bsin Bsin Csin2C，则A等于()A30 B60C120 D150解析：选C由正弦定理，得a2b2bcc2，由余弦定理，得cos A，A120.3在ABC中，已知AB3，AC2，BC，则ABAC 等于()A BC. D.解析：选D由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB|3，|AC|2，cosAB，AC，ABAC32.4在ABC中，AB3，BC，AC4，则AC边上的高为()A. B.C. D3解析：选B由余弦定理，
27、可得cos A，所以sin A.则AC边上的高hABsin A3，故选B.5在不等边三角形中，a是最大的边，若a2.又a20，A， 故A.答案：6在ABC中，A120，AB5，BC7，则的值为_解析：由余弦定理可得49AC22525ACcos 120，整理得：AC25AC240，解得AC3或AC8(舍去)，再由正弦定理可得.答案：7(全国卷)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B；(2)设B90，且a，求ABC的面积解：(1)由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b22ac.因为B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca.所以ABC的面积为1.8设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值解：(1)因为A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得a2b.因为b3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0A，所以sin A .故sinsin Acoscos Asin .
