1、 数 学G单元 立体几何 G1 空间几何体的结构 19、2014安徽卷 如图15所示，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.图15(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积19解： (1)证明：因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC
2、，BD都在平面ABCD内，所以PO平面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，所以GK平面ABCD.又EF平面ABCD，所以GKEF，所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，从而KBDBOB，即K是OB的中点再由POGK得GKPO，所以G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3，故四边形GEFH的面积SGK318. 32014福建卷 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A2 B C2 D13A102014湖北
3、卷 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A. B.C. D.10B72014新课标全国卷 正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A B1DC1的体积为()A3 B. C1 D.7C20、2014重庆卷 如图14所示四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底
4、面ABCD，AB2，BAD，M为BC上一点，且BM.(1)证明：BC平面POM；(2)若MPAP，求四棱锥PABMO的体积图1420解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形的中心，连接OB，则AOOB.因为BAD，所以OBABsinOAB2sin1.又因为BM，且OBM，在OBM中，OM2OB2BM22OBBMcosOBM1221cos，所以OB2OM2BM2，故OMBM.又PO底面ABCD，所以POBC.从而BC与平面POM内的两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC平面POM.(2)由(1)可得，OAABcosOAB2cos.设POa，由PO底面ABCD，知POA为直角三
5、角形，故PA2PO2OA2a23.又POM也是直角三角形，故PM2PO2OM2a2.连接AM，在ABM中，AM2AB2BM22ABBMcosABM2222cos.由已知MPAP，故APM为直角三角形，则PA2PM2AM2，即a23a2，解得a或a(舍去)，即PO.此时S四边形ABMOSAOBSOMBAOOBBMOM1.所以四棱锥PABMO的体积V四棱锥PABMOS四边形ABMOPO.G2 空间几何体的三视图和直观图82014安徽卷 一个多面体的三视图如图12所示，则该多面体的体积是()图12A. B. C6 D78A112014北京卷 某三棱锥的三视图如图13所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_图
6、1311272014湖北卷 在如图11所示的空间直角坐标系O xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)给出编号为、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图12A和 B和C和 D和7D8、2014湖南卷 一块石材表示的几何体的三视图如图12所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()图12A1 B2 C3 D48B7、2014辽宁卷 某几何体三视图如图12所示，则该几何体的体积为()图12A8 B8 C8 D827C32014浙江卷 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()图11A72
7、cm3 B90 cm3C108 cm3 D138 cm33B62014新课标全国卷 如图11，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()图11A. B.C. D.6C82014全国新课标卷 如图11，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A三棱锥 B三棱柱C四棱锥 D四棱柱8B17、2014陕西卷 四面体ABCD及其三视图如图14所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G
8、，H.图14(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形17解：(1)由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1，AD平面BDC，四面体ABCD的体积V221.(2)证明：BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH 平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形又AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形42014四川卷 某三棱锥的侧视图、俯视图如图11所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：VSh，其中S为底面面积，h为高)()图11A3 B2 C. D1
9、4D72014重庆卷 某几何体的三视图如图12所示，则该几何体的体积为()图12A12 B18 C24 D307C102014天津卷 一个几何体的三视图如图12所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.10.G3 平面的基本性质、空间两条直线19、2014安徽卷 如图15所示，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.图15(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积19解： (1)证明：因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH
10、，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO平面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，所以GK平面ABCD.又EF平面ABCD，所以GKEF，所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，从而KBDBOB，即K是OB的中点再由POGK得GKPO，所以G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6
11、，所以GK3，故四边形GEFH的面积SGK318.18、2014湖南卷 如图13所示，已知二面角MN的大小为60，菱形ABCD在面内，A，B两点在棱MN上，BAD60，E是AB的中点，DO面，垂足为O.图13(1)证明：AB平面ODE；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值18解：(1)证明：如图，因为DO，AB，所以DOAB.连接BD，由题设知，ABD 是正三角形，又E是AB的中点，所以DEAB.而DODED，故AB平面ODE.(2)因为BCAD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即ADO是BC与OD所成的角由(1)知，AB平面ODE，所以ABOE.又DEAB，于是DEO是二面
12、角MN的平面角，从而DEO60.不妨设AB2，则AD2，易知DE.在RtDOE中，DODEsin 60.连接AO，在RtAOD中，cosADO.故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.42014辽宁卷 已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n4BG4 空间中的平行关系 6、2014浙江卷 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若mn，n，则m B若m，则mC若m，n，n，则m D若mn，n，则m6C19、2014安徽卷 如图15所示，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G
13、，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.图15(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积19解： (1)证明：因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO平面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK
14、，所以POGK，所以GK平面ABCD.又EF平面ABCD，所以GKEF，所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，从而KBDBOB，即K是OB的中点再由POGK得GKPO，所以G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3，故四边形GEFH的面积SGK318.17、2014北京卷 如图15，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点图15(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥E ABC的体积17解：(1)证明：在三棱柱ABC A1B1C
15、1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又因为ABBC，所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FGAC，且FGAC，EC1A1C1.因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(3)因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥E ABC的体积VSABCAA112.20、2014湖北卷 如图15，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F
16、，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点求证：(1)直线BC1平面EFPQ；(2)直线AC1平面PQMN.图1520证明：(1)连接AD1，由ABCD A1B1C1D1是正方体，知AD1BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FPAD1.从而BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则ACBD.由CC1平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1BD.又ACCC1C，所以BD平面ACC1A1.而AC1平面ACC1A1，所以BDAC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所
17、以MNBD，从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMNN，所以直线AC1平面PQMN.16、2014江苏卷 如图14所示，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.图1416证明： (1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，所以DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PA
18、AC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.18、2014新课标全国卷 如图13，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥P ABD的体积V，求A到平面PBC的距离图1318解：(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)VPAABADAB，由V，可得AB.作AHPB交PB于点H.
19、由题设知BC平面PAB，所以BCAH，因为PBBCB，所以AH平面PBC.又AH，所以点A到平面PBC的距离为.18，2014山东卷 如图14所示，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PC的中点图14(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：BE平面PAC.18证明：(1)设ACBEO，连接OF，EC.由于E为AD的中点，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，所以O为AC的中点又在PAC中，F为PC的中点，所以APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)由题意知，EDBC，EDBC，所以四边形BCDE为平行四边
20、形，所以BECD.又AP平面PCD，所以APCD，所以APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.18、2014四川卷 在如图14所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形(1)若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1.(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论图1418解：(1)证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC，所
21、以AA1BC.又由已知，ACBC，AA1，AC为平面ACC1A1内的两条相交直线，所以BC平面ACC1A1.(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点图14由已知，O为AC1的中点连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线，所以MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，所以DEMO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC.所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.17、2014天津卷 如图14所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形
22、，BABD，AD2，PAPD，E，F分别是棱AD，PC的中点(1)证明：EF平面PAB；(2)若二面角PADB为60.(i)证明：平面PBC平面ABCD；(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值17解：(1)证明：如图所示，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，所以MFBC，且MFBC.由已知有BCAD，BCAD，又由于E为AD中点，因而MFAE且MFAE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EFAM.又AM平面PAB，而EF平面PAB，所以EF平面PAB.(2)(i)证明：连接PE，BE.因为PAPD，BABD，而E为AD中点，所以PEAD，BEAD，所以PEB为二面角P AD
23、B的平面角在PAD中，由PAPD，AD2，可解得PE2.在ABD中，由BABD，AD2，可解得BE1.在PEB中，PE2，BE1，PEB60，由余弦定理，可解得PB，从而PBE90，即BEPB.又BCAD，BEAD，从而BEBC，因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD.(ii)连接BF，由(i)知，BE平面PBC，所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角由PB及已知，得ABP为直角，而MBPB，可得AM，故EF.又BE1，故在直角三角形EBF中，sinEFB.所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.G5 空间中的垂直关系6、2014浙江卷 设m，n是两条不同的直线
24、，是两个不同的平面()A若mn，n，则m B若m，则mC若m，n，n，则m D若mn，n，则m6C17、2014北京卷 如图15，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点图15(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥E ABC的体积17解：(1)证明：在三棱柱ABC A1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又因为ABBC，所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，
25、所以FGAC，且FGAC，EC1A1C1.因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(3)因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥E ABC的体积VSABCAA112.19，2014福建卷 如图16所示，三棱锥A BCD中，AB平面BCD，CDBD.(1)求证：CD平面ABD；(2)若ABBDCD1，M为AD中点，求三棱锥A MBC的体积图1619解：方法一：(1)证明：AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD.又CDBD，ABBDB，AB平面A
26、BD，BD平面ABD，CD平面ABD.(2)由AB平面BCD，得ABBD.ABBD1，SABD.M是AD的中点，SABMSABD.由(1)知，CD平面ABD，三棱锥C ABM的高hCD1，因此三棱锥A MBC的体积VA MBCVC ABMSABMh.方法二：(1)同方法一(2)由AB平面BCD，得平面ABD平面BCD.且平面ABD平面BCDBD.如图所示，过点M作MNBD交BD于点N，则MN平面BCD，且MNAB.又CDBD，BDCD1，SBCD.三棱锥A MBC的体积VA MBCVA BCDVM BCDABSBCDMNSBCD.18、2014广东卷 如图12所示，四边形ABCD为矩形，PD平
27、面ABCD，AB1，BCPC2，作如图13折叠：折痕EFDC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥M CDE的体积 图12图1320、2014湖北卷 如图15，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点求证：(1)直线BC1平面EFPQ；(2)直线AC1平面PQMN.图1520证明：(1)连接AD1，由ABCD A1B1C1D1是正方体，知AD1BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FPAD1.从而BC1FP.
28、而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则ACBD.由CC1平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1BD.又ACCC1C，所以BD平面ACC1A1.而AC1平面ACC1A1，所以BDAC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MNBD，从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMNN，所以直线AC1平面PQMN.18、2014湖南卷 如图13所示，已知二面角MN的大小为60，菱形ABCD在面内，A，B两点在棱MN上，BAD60，E是AB的中点，DO面，垂足为O.图13(1)证明：AB平面ODE；(2)求异面直线BC与
29、OD所成角的余弦值18解：(1)证明：如图，因为DO，AB，所以DOAB.连接BD，由题设知，ABD 是正三角形，又E是AB的中点，所以DEAB.而DODED，故AB平面ODE.(2)因为BCAD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即ADO是BC与OD所成的角由(1)知，AB平面ODE，所以ABOE.又DEAB，于是DEO是二面角MN的平面角，从而DEO60.不妨设AB2，则AD2，易知DE.在RtDOE中，DODEsin 60.连接AO，在RtAOD中，cosADO.故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.16、2014江苏卷 如图14所示，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱
30、PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.18，2014山东卷 如图14所示，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PC的中点图14(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：BE平面PAC.18证明：(1)设ACBEO，连接OF，EC.由于E为AD的中点，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，所以O为AC的中点又在PAC中，F为PC的中点，所以APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)由题意知，EDBC，EDBC，所以四边形BCDE为
31、平行四边形，所以BECD.又AP平面PCD，所以APCD，所以APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.图1416证明： (1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，所以DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所
32、以平面BDE平面ABC.19、2014江西卷 如图11所示，三棱柱ABC A1B1C1中，AA1BC，A1BBB1.(1)求证：A1CCC1；(2)若AB2，AC，BC，问AA1为何值时，三棱柱ABC A1B1C1体积最大，并求此最大值图1119解：(1)证明：由AA1BC知BB1BC.又BB1A1B，故BB1平面BCA1，所以BB1A1C.又BB1CC1，所以A1CCC1.(2)方法一：设AA1x.在RtA1BB1中，A1B.同理，A1C.在A1BC中，cosBA1C，sinBA1C，所以SA1BCA1BA1CsinBA1C.从而三棱柱ABC A1B1C1的体积VS直lSA1BCAA1.因为
33、x，所以当x，即AA1时，体积V取到最大值.(2)方法二：过A1作BC的垂线，垂足为D，连接AD.由AA1BC，A1DBC，得BC平面AA1D，故BCAD.又BAC90，所以SABCADBCABAC，得AD.设AA1x.在RtAA1D中，A1D，SA1BCA1DBC.从而三棱柱ABC A1B1C1的体积VS直lSA1BCAA1.因为x，所以当x，即AA1时，体积V取到最大值.19、2014辽宁卷 如图14所示，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点图14(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥D BCG的体积 附：锥体的体
34、积公式VSh，其中S为底面面积，h为高19解：(1)证明：由已知得ABCDBC，因此ACDC.又G为AD的中点，所以CGAD，同理BGAD.又BGCGG，所以AD平面BGC.又EFAD，所以EF平面BCG.(2)在平面ABC内，作AOCB，交CB延长线于点O.由平面ABC平面BCD，知AO平面BDC.又G为AD的中点，所以G到平面BDC的距离h是AO长度的一半在AOB中，AOABsin 60，所以V三棱锥D BCGV三棱锥G BCDSDBChBDBCsin 120.192014全国新课标卷 如图14，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C
35、.图14(1)证明：B1CAB；(2)若ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱ABC A1B1C1的高19解：(1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，由于BC1AOO，故B1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)作ODBC，垂足为D，连接AD.作OHAD，垂足为H.由于BCAO，BCOD，且AOODO，故BC平面AOD，所以OHBC.又OHAD，且ADBCD，所以OH平面ABC.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形，又BC1，可得OD.因为ACAB1，所以OAB1C.由OH
36、ADODOA，且AD，得OH.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为.故三棱柱ABC A1B1C1的高为.18、2014四川卷 在如图14所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形(1)若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1.(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论图1418解：(1)证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC，所以AA1BC.又由已知，ACBC，AA1，
37、AC为平面ACC1A1内的两条相交直线，所以BC平面ACC1A1.(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点图14由已知，O为AC1的中点连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线，所以MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，所以DEMO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC.所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.17、2014天津卷 如图14所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形，BABD，AD2，PAPD，E，F分别是
38、棱AD，PC的中点(1)证明：EF平面PAB；(2)若二面角PADB为60.(i)证明：平面PBC平面ABCD；(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值17解：(1)证明：如图所示，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，所以MFBC，且MFBC.由已知有BCAD，BCAD，又由于E为AD中点，因而MFAE且MFAE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EFAM.又AM平面PAB，而EF平面PAB，所以EF平面PAB.(2)(i)证明：连接PE，BE.因为PAPD，BABD，而E为AD中点，所以PEAD，BEAD，所以PEB为二面角P AD B的平面角在PAD中，由PAPD，AD2，
39、可解得PE2.在ABD中，由BABD，AD2，可解得BE1.在PEB中，PE2，BE1，PEB60，由余弦定理，可解得PB，从而PBE90，即BEPB.又BCAD，BEAD，从而BEBC，因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD.(ii)连接BF，由(i)知，BE平面PBC，所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角由PB及已知，得ABP为直角，而MBPB，可得AM，故EF.又BE1，故在直角三角形EBF中，sinEFB.所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.20、2014浙江卷 如图15，在四棱锥A BCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2
40、，DEBE1，AC.图15(1)证明：AC平面BCDE；(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值20解：(1)证明：连接BD，在直角梯形BCDE中，由DEBE1，CD2，得BDBC，由AC，AB2，得AB2AC2BC2，即ACBC.又平面ABC平面BCDE，从而AC平面BCDE.(2)在直角梯形BCDE中，由BDBC，DC2，得BDBC.又平面ABC平面BCDE，所以BD平面ABC.作EFBD，与CB的延长线交于点F，连接AF，则EF平面ABC.所以EAF是直线AE与平面ABC所成的角在RtBEF中，由EB1，EBF，得EF，BF；在RtACF中，由AC，CF，得AF.在RtAEF中，由E
41、F，AF，得tanEAF.所以，直线AE与平面ABC所成的角的正切值是.20、2014重庆卷 如图14所示四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M为BC上一点，且BM.(1)证明：BC平面POM；(2)若MPAP，求四棱锥PABMO的体积图1420解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形的中心，连接OB，则AOOB.因为BAD，所以OBABsinOAB2sin1.又因为BM，且OBM，在OBM中，OM2OB2BM22OBBMcosOBM1221cos，所以OB2OM2BM2，故OMBM.又PO底面ABCD，所以POBC.从而BC与平面
42、POM内的两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC平面POM.(2)由(1)可得，OAABcosOAB2cos.设POa，由PO底面ABCD，知POA为直角三角形，故PA2PO2OA2a23.又POM也是直角三角形，故PM2PO2OM2a2.连接AM，在ABM中，AM2AB2BM22ABBMcosABM2222cos.由已知MPAP，故APM为直角三角形，则PA2PM2AM2，即a23a2，解得a或a(舍去)，即PO.此时S四边形ABMOSAOBSOMBAOOBBMOM1.所以四棱锥PABMO的体积V四棱锥PABMOS四边形ABMOPO.G6 三垂线定理19、2014全国卷 如图11所示，三棱柱
43、ABC A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB90，BC1，ACCC12.(1)证明：AC1A1B；(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1 AB C的大小图1119解：方法一：(1)证明：因为A1D平面ABC，A1D平面AA1C1C，故平面AA1C1C平面ABC.又BCAC，平面AA1C1C平面ABCAC，所以BC平面AA1C1C.连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1A1C.由三垂线定理得AC1A1B.(2)BC平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，故平面AA1C1C平面BCC1B1.作A1ECC1，E为垂足，则A1E平面BCC1B1.又
44、直线AA1平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E.因为A1C为ACC1的平分线，故A1DA1E.作DFAB，F为垂足，连接A1F.由三垂线定理得A1FAB，故A1FD为二面角A1 AB C的平面角由AD1，得D为AC中点，所以DF，tanA1FD，所以cosA1FD.所以二面角A1 AB C的大小为arccos.方法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直线坐标系C xyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内(1)证明：设A1(a，0，c)，由题设有a2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，则(2，
45、1，0)，(2，0，0)，(a2，0，c)，(a4，0，c)，(a，1，c)由|2，得2，即a24ac20.又a24ac20，所以AC1A1B.(2)设平面BCC1B1的法向量m(x，y，z)，则m，m，即mCB0，m0.因为(0，1，0)，(a2，0，c)，所以y0，且(a2)xcz0.令xc，则z2a，所以m(c，0，2a)，故点A到平面BCC1B1的距离为|cosm，|c.又依题设，A到平面BCC1B1的距离为，所以c，代入，解得a3(舍去)或a1，于是(1，0，)设平面ABA1 的法向量n(p，q，r)，则n，n，即n0，n0，所以pr0，且2pq0.令p，则q2 ，r1，所以n(，2
46、 ，1)又p(0，0，1)为平面ABC的法向量，故cosn，p，所以二面角A1 AB C的大小为arccos.G7 棱柱与棱锥 19，2014福建卷 如图16所示，三棱锥A BCD中，AB平面BCD，CDBD.(1)求证：CD平面ABD；(2)若ABBDCD1，M为AD中点，求三棱锥A MBC的体积图1619解：方法一：(1)证明：AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD.又CDBD，ABBDB，AB平面ABD，BD平面ABD，CD平面ABD.(2)由AB平面BCD，得ABBD.ABBD1，SABD.M是AD的中点，SABMSABD.由(1)知，CD平面ABD，三棱锥C ABM的高hCD1，因
47、此三棱锥A MBC的体积VA MBCVC ABMSABMh.方法二：(1)同方法一(2)由AB平面BCD，得平面ABD平面BCD.且平面ABD平面BCDBD.如图所示，过点M作MNBD交BD于点N，则MN平面BCD，且MNAB.又CDBD，BDCD1，SBCD.三棱锥A MBC的体积VA MBCVA BCDVM BCDABSBCDMNSBCD.18、2014广东卷 如图12所示，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如图13折叠：折痕EFDC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求
48、三棱锥M CDE的体积 图12图1382014江苏卷 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且，则的值是_8.19、2014江西卷 如图11所示，三棱柱ABC A1B1C1中，AA1BC，A1BBB1.(1)求证：A1CCC1；(2)若AB2，AC，BC，问AA1为何值时，三棱柱ABC A1B1C1体积最大，并求此最大值图1119解：(1)证明：由AA1BC知BB1BC.又BB1A1B，故BB1平面BCA1，所以BB1A1C.又BB1CC1，所以A1CCC1.(2)方法一：设AA1x.在RtA1BB1中，A1B.同理，A1C.在A1BC中，cosB
49、A1C，sinBA1C，所以SA1BCA1BA1CsinBA1C.从而三棱柱ABC A1B1C1的体积VS直lSA1BCAA1.因为x，所以当x，即AA1时，体积V取到最大值.(2)方法二：过A1作BC的垂线，垂足为D，连接AD.由AA1BC，A1DBC，得BC平面AA1D，故BCAD.又BAC90，所以SABCADBCABAC，得AD.设AA1x.在RtAA1D中，A1D，SA1BCA1DBC.从而三棱柱ABC A1B1C1的体积VS直lSA1BCAA1.因为x，所以当x，即AA1时，体积V取到最大值.7、2014辽宁卷 某几何体三视图如图12所示，则该几何体的体积为()图12A8 B8 C
50、8 D827C19、2014辽宁卷 如图14所示，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点图14(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥D BCG的体积 附：锥体的体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高19解：(1)证明：由已知得ABCDBC，因此ACDC.又G为AD的中点，所以CGAD，同理BGAD.又BGCGG，所以AD平面BGC.又EFAD，所以EF平面BCG.(2)在平面ABC内，作AOCB，交CB延长线于点O.由平面ABC平面BCD，知AO平面BDC.又G为AD的中点，所以G到平面BDC的距离h是AO长度的一半在
51、AOB中，AOABsin 60，所以V三棱锥D BCGV三棱锥G BCDSDBChBDBCsin 120.10、2014全国卷 正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16C9 D.10A132014山东卷 一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_1312 G8 多面体与球8、2014湖南卷 一块石材表示的几何体的三视图如图12所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()图12A1 B2 C3 D48B52014陕西卷 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何
52、体的侧面积是()A4 B3 C2 D5C10、2014全国卷 正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16C9 D.10A17、2014陕西卷 四面体ABCD及其三视图如图14所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.图14(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形17解：(1)由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1，AD平面BDC，四面体ABCD的体积V221.(2)证明：BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH 平面ABCEH
53、，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形又AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形G9空间向量及运算G10 空间向量解决线面位置关系G11 空间角与距离的求法102014浙江卷 如图13，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小(仰角为直线AP与平面ABC所成角)若AB15 m，AC25 m，BCM30，则tan 的最大值是()图13A. B.C. D.10D42014全国卷 已知正四面体ABC
54、D中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A. B.C. D.4B19、2014全国卷 如图11所示，三棱柱ABC A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB90，BC1，ACCC12.(1)证明：AC1A1B；(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1 AB C的大小图1119解：方法一：(1)证明：因为A1D平面ABC，A1D平面AA1C1C，故平面AA1C1C平面ABC.又BCAC，平面AA1C1C平面ABCAC，所以BC平面AA1C1C.连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1A1C.由三垂线定理得AC1A1B.(2)BC平
55、面AA1C1C，BC平面BCC1B1，故平面AA1C1C平面BCC1B1.作A1ECC1，E为垂足，则A1E平面BCC1B1.又直线AA1平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E.因为A1C为ACC1的平分线，故A1DA1E.作DFAB，F为垂足，连接A1F.由三垂线定理得A1FAB，故A1FD为二面角A1 AB C的平面角由AD1，得D为AC中点，所以DF，tanA1FD，所以cosA1FD.所以二面角A1 AB C的大小为arccos.方法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直线坐标系C xyz.由题设知A1D
56、与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内(1)证明：设A1(a，0，c)，由题设有a2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，则(2，1，0)，(2，0，0)，(a2，0，c)，(a4，0，c)，(a，1，c)由|2，得2，即a24ac20.又a24ac20，所以AC1A1B.(2)设平面BCC1B1的法向量m(x，y，z)，则m，m，即mCB0，m0.因为(0，1，0)，(a2，0，c)，所以y0，且(a2)xcz0.令xc，则z2a，所以m(c，0，2a)，故点A到平面BCC1B1的距离为|cosm，|c.又依题设，A到平面BCC1B1的距离为，所以c，代入，解得a3(舍去)或a1，于是(1，0
57、，)设平面ABA1 的法向量n(p，q，r)，则n，n，即n0，n0，所以pr0，且2pq0.令p，则q2 ，r1，所以n(，2 ，1)又p(0，0，1)为平面ABC的法向量，故cosn，p，所以二面角A1 AB C的大小为arccos.18、2014新课标全国卷 如图13，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥P ABD的体积V，求A到平面PBC的距离图1318解：(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.EO平面AEC，PB平
58、面AEC，所以PB平面AEC.(2)VPAABADAB，由V，可得AB.作AHPB交PB于点H.由题设知BC平面PAB，所以BCAH，因为PBBCB，所以AH平面PBC.又AH，所以点A到平面PBC的距离为.192014全国新课标卷 如图14，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.图14(1)证明：B1CAB；(2)若ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱ABC A1B1C1的高19解：(1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，由于BC1A
59、OO，故B1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)作ODBC，垂足为D，连接AD.作OHAD，垂足为H.由于BCAO，BCOD，且AOODO，故BC平面AOD，所以OHBC.又OHAD，且ADBCD，所以OH平面ABC.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形，又BC1，可得OD.因为ACAB1，所以OAB1C.由OHADODOA，且AD，得OH.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为.故三棱柱ABC A1B1C1的高为.17、2014天津卷 如图14所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形，BABD，AD2，PAPD，E，F分别是棱AD，PC的中点(1
60、)证明：EF平面PAB；(2)若二面角PADB为60.(i)证明：平面PBC平面ABCD；(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值17解：(1)证明：如图所示，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，所以MFBC，且MFBC.由已知有BCAD，BCAD，又由于E为AD中点，因而MFAE且MFAE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EFAM.又AM平面PAB，而EF平面PAB，所以EF平面PAB.(2)(i)证明：连接PE，BE.因为PAPD，BABD，而E为AD中点，所以PEAD，BEAD，所以PEB为二面角P AD B的平面角在PAD中，由PAPD，AD2，可解得PE2.在ABD
61、中，由BABD，AD2，可解得BE1.在PEB中，PE2，BE1，PEB60，由余弦定理，可解得PB，从而PBE90，即BEPB.又BCAD，BEAD，从而BEBC，因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD.(ii)连接BF，由(i)知，BE平面PBC，所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角由PB及已知，得ABP为直角，而MBPB，可得AM，故EF.又BE1，故在直角三角形EBF中，sinEFB.所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.20、2014浙江卷 如图15，在四棱锥A BCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC.图
62、15(1)证明：AC平面BCDE；(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值20解：(1)证明：连接BD，在直角梯形BCDE中，由DEBE1，CD2，得BDBC，由AC，AB2，得AB2AC2BC2，即ACBC.又平面ABC平面BCDE，从而AC平面BCDE.(2)在直角梯形BCDE中，由BDBC，DC2，得BDBC.又平面ABC平面BCDE，所以BD平面ABC.作EFBD，与CB的延长线交于点F，连接AF，则EF平面ABC.所以EAF是直线AE与平面ABC所成的角在RtBEF中，由EB1，EBF，得EF，BF；在RtACF中，由AC，CF，得AF.在RtAEF中，由EF，AF，得tanEAF.所以，直线AE与平面ABC所成的角的正切值是. G12 单元综合
