1、2015年山东省德州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（50分）1设复数z的共轭复数为，若（2+i）z=3i，则的值为（）A1B2CD42设全集U=xN|x6，集合A=l，3，B=3，5，则（UA）（UB）=（）A2，4B2，4，6C0，2，4D0，2，4，63“p为假命题”是“pq为真命题”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4若a=20.5，b=ln2，c=0.5e（e是自然对数的底），则（）AabcBbacCacbDabc5执行如图所示的程序框图，若输入数据n=3，a1=1，a2=2，a3=3，则输出的结果为（）A4B3C2D16若函数f（x）=a2x
2、4，g（x）=loga|x|（a0，且a1），且f（2）g（2）0，则函数f（x），g（x）在同一坐标系中的大致图象是（）ABCD7棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是（）ABC4D38已知抛物线y2=8x与双曲线y2=1的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|=5，则该双曲线的渐近线方程为（）A5x3y=0B3x5y=0C4x5y=0D5x4y=09已知D是不等式组所确定的平面区域，则圆x2+y2=4与D围成的区域面积为（）ABCD10设m，n是正整数，多项式（12x）m+（15x）n中含x一次项的系数为16，则含x2项的系数是（）A13B6C
3、79D3711已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f（x），当x0时，2f（x）+xf（x）0恒成立，则f（1），2014，2015在大小关系为（）A20152014f（1）B2015f（1）2014Cf（1）20152014Df（1）20142015二、填空题（25分）12某校对全校1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校的女生人数是人13已知两个单位向量，的夹角为60，=（1t）+t，若=0，则t=14要制作一个容积为9m3，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每
4、平方米10元，则该容器的最低总价是元15将函数f（x）=2sin（x）（0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在0，上为增函数，则的最大值为16对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），给出定义：设f（x）是函数y=f（x）的导数，f（x）是f（x）的导数，若方程f（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数f（x）x3x2+3x，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+f（）=三、解答题（75分）17在如图所
5、示的几何体中，四边形CDEF为正方形，ABCD为等腰梯形，ABCD，BD=2，AB=2AD=4，AEBD（）求证：BD平面ADE；（）点M为BD的中点，证明：BF平面ECM18在ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，满足（1）求角A的大小；（2）求sinAsinBsinC的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小19某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时（）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停
6、车付费恰为6元的概率；（）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率20单调递增数列an的前n项和为Sn，且满足4Sn=an2+4n（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn满足，求数列bn的前n项和Tn21已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线上（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（2，），Q（2，）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点当A，B运动时，满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由22已知函数f（x）=x2mlnx，h（x）=x2ax+1（a0）（1）设A是函数f（
7、x）=x2mlnx上的定点，且f（x）在A点的切线与y轴垂直，求m的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若存在实数m使函数f（x），h（x）在公共定义域上具有相同的单调性，求证：m2015年山东省德州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（50分）1设复数z的共轭复数为，若（2+i）z=3i，则的值为（）A1B2CD4考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由得答案解答： 解：由（2+i）z=3i，得，=故选：B点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2设全集U
8、=xN|x6，集合A=l，3，B=3，5，则（UA）（UB）=（）A2，4B2，4，6C0，2，4D0，2，4，6考点： 交、并、补集的混合运算专题： 计算题分析： 列举出全集U中的元素，求出A与B的补集，找出两补集的交集即可解答： 解：全集U=xN|x6=0，1，2，3，4，5，集合A=l，3，B=3，5，UA=0，2，4，5，UB=0，1，2，4，则（UA）（UB）=0，2，4故选C点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键3“p为假命题”是“pq为真命题”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要
9、条件的判断专题： 简易逻辑分析： 根据复合命题之间的关系进行判断解答： 解：若p为假命题，则p为真命题若pq为真命题，则p，q都为真命题，故“p为假命题”是“pq为真命题”的必要不充分条件，故选：B点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题之间的关系是解决本题的关键4若a=20.5，b=ln2，c=0.5e（e是自然对数的底），则（）AabcBbacCacbDabc考点： 对数值大小的比较专题： 函数的性质及应用分析： 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出解答： 解：a=20.51，1b=ln2=，c=0.5e0.51=abc故选：D点评： 本题考查了指数函数与对数函数的单调
10、性，考查了推理能力，属于基础题5执行如图所示的程序框图，若输入数据n=3，a1=1，a2=2，a3=3，则输出的结果为（）A4B3C2D1考点： 程序框图专题： 图表型；算法和程序框图分析： 根据框图的流程，写出前几次循环的结果，直到得到的k3，退出循环，输出S的值解答： 解：由框图知，开始得到：n=3，a1=1，a2=2，a3=3，第一次循环得到：S=1，k=2，第二次循环得到：S=，k=3，第三次循环得到：S=2，k=4，满足条件k3，退出循环，输出S的值是2故选：C点评： 本题考察查了程序框图中的当型循环，当型循环式先判断后执行，满足条件进入循环，不满足条件，算法结束6若函数f（x）=a
11、2x4，g（x）=loga|x|（a0，且a1），且f（2）g（2）0，则函数f（x），g（x）在同一坐标系中的大致图象是（）ABCD考点： 函数的图象专题： 函数的性质及应用分析： 先由条件f（2）g（2）0确定a的取值范围，然后利用指数函数和对数函数的性质去判断f（x），g（x）的图象解答： 解：由题意f（x）=a2x4是指数型的，g（x）=loga|x|是对数型的且是一个偶函数，由f（2）g（2）0，可得出g（2）0，故loga20，故0a1，由此特征可以确定C、D两选项不正确，且f（x）=a2x4是一个减函数，由此知A不对，B选项是正确答案故选：B点评： 本题主要考查了函数图象的识别和
12、应用判断函数图象要充分利用函数本身的性质，由f（2）g（2）0确定a的取值范围，是解决本题的关键7棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是（）ABC4D3考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体沿体对角线截成解答： 解：该几何体为正方体沿体对角线截成，其分成两部分的几何体的体积相等，而正方体的体积V=23=8，故被截去的几何体的体积是=4，故选C点评： 三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图
13、，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力8已知抛物线y2=8x与双曲线y2=1的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|=5，则该双曲线的渐近线方程为（）A5x3y=0B3x5y=0C4x5y=0D5x4y=0考点： 双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 求得抛物线的焦点和准线方程，设M（m，n），则由抛物线的定义可得m=3，进而得到M的坐标，代入双曲线的方程，可得a，再由渐近线方程即可得到所求解答： 解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线方程为x=2，设M（m，n），则由抛物线的定义可得|MF|=m+2=5，解得m=3，由n2=24，可得n=2将M（3，）
14、代入双曲线y2=1，可得24=1，解得a=，即有双曲线的渐近线方程为y=x即为5x3y=0故选A点评： 本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题9已知D是不等式组所确定的平面区域，则圆x2+y2=4与D围成的区域面积为（）ABCD考点： 两直线的夹角与到角问题；二元一次不等式（组）与平面区域专题： 直线与圆分析： 作出不等式组对应的平面区域，根据区域的图形进行求面积即可解答： 解：作出不等式组对应的平面区域，则公共区域如图：则直线x2y=0的斜率k=，直线x+3y=0的斜率k=，则两直线的夹角满足tan=|=1，则=，则阴影部
15、分对应的面积之和S=，故选：A点评： 本题主要考查二元一次不等式组的应用以及圆的扇形面积的求解，根据直线所成的角求出两条直线的夹角是解决本题的关键10设m，n是正整数，多项式（12x）m+（15x）n中含x一次项的系数为16，则含x2项的系数是（）A13B6C79D37考点： 二项式系数的性质专题： 二项式定理分析： 由含x一次项的系数为16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ，再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，从而求得含x2项的系数解答： 解：由于多项式（12x）m+（15x）n中含x一次项的系数为（2）+（5）=16，可得2m+5n=16 再根据m、n为正整数，可得m=3
16、、n=2，故含x2项的系数是（2）2+（5）2=37，故选：D点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题11已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f（x），当x0时，2f（x）+xf（x）0恒成立，则f（1），2014，2015在大小关系为（）A20152014f（1）B2015f（1）2014Cf（1）20152014Df（1）20142015考点： 利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质；导数的运算专题： 函数的性质及应用；导数的概念及应用分析： 首先利用换元法设g（x）=x2f（x），进一步利用函数的导数求出函数g（x）的单调性
17、，再利用函数的奇偶性求出函数在对称区间里的单调性，最后求出函数大小关系解答： 解：已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f（x），则：设函数g（x）=x2f（x）则：g（x）=2xf（x）+x2f（x）=g（x）=x（2f（x）+xf（x）当x0时，2f（x）+xf（x）0恒成立，则：函数g（x）0所以函数在x0时，函数g（x）为单调递增函数由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，则：函数g（x）=x2f（x）为奇函数所以：在x0时，函数g（x）为单调递增函数所以：g（）即：故选：D点评： 本题考查的知识要点：利用函数的导数求函数的单调性，函数的奇偶性和函数单调性的关系二、填空题（25
18、分）12某校对全校1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校的女生人数是760人考点： 分层抽样方法；频率分布直方图专题： 概率与统计分析： 先计算出样本中女学生人数，再根据分层抽样的性质计算出该校女生的人数解答： 解：根据题意，设样本中女生人数为x，则（x+10）+x=200，解得x=95，所以该校的女生人数是人，故答案为：760点评： 本题考查分层抽样，先计算中样本中男女学生的人数是解决本题的关键，属基础题13已知两个单位向量，的夹角为60，=（1t）+t，若=0，则t=1考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量
19、及应用分析： 对=（1t）+t两边与作数量积即可得出解答： 解：两个单位向量，的夹角为60，=11cos60=（1t）+t，=0，=（1t）+，0=（1t）+t，解得t=1，故答案为：1点评： 本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14要制作一个容积为9m3，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总价是300元考点： 函数模型的选择与应用专题： 计算题；应用题；不等式的解法及应用分析： 设长方体容器的长为xm，宽为ym；从而可得xy=9，从而写出该容器的造价为20xy+10（x+x+y+y）=180+2
20、0（x+y），再利用基本不等式求最值即可解答： 解：设长方体容器的长为xm，宽为ym；则xy1=9，即xy=9；则该容器的造价为20xy+10（x+x+y+y）=180+20（x+y）180+202=180+120=300；（当且仅当x=y=3时，等号成立）故该容器的最低总价是300元；故答案为：300点评： 本题考查了基本不等式在实际问题中的应用，属于中档题15将函数f（x）=2sin（x）（0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在0，上为增函数，则的最大值为2考点： 由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题： 计算题分析： 函数的图象向左平移个单位，得
21、到函数y=g（x）的表达式，然后利用在上为增函数，说明，利用周期公式，求出的不等式，得到的最大值解答： 解：函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx，y=g（x）在上为增函数，所以，即：2，所以的最大值为：2故答案为：2点评： 本题是基础题，考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期与单调增区间的关系，考查计算能力，常考题型，题目新颖16对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），给出定义：设f（x）是函数y=f（x）的导数，f（x）是f（x）的导数，若方程f（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”某同学经过探
22、究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数f（x）x3x2+3x，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+f（）=2014考点： 类比推理专题： 计算题；推理和证明分析： 由题意可推出（，1）为f（x）的对称中心，从而可得f（）+f（）=2f（）=2，从而求f（）+f（）+f（）+f（）=2014的值解答： 解：f（x）=x2x+3，由f（x）=2x1=0得x0=，f（x0）=1，则（，1）为f（x）的对称中心，由于，则f（）+f（）=2f（）=2，则f（）+f（）+f（）+f（）=2014故答案为：2014点评： 本题考查了类比推理
23、的应用，属于基础题三、解答题（75分）17在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，ABCD为等腰梯形，ABCD，BD=2，AB=2AD=4，AEBD（）求证：BD平面ADE；（）点M为BD的中点，证明：BF平面ECM考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题： 证明题；空间位置关系与距离分析： （）由已知及勾股定理可证明BDAD，又AEBD，由AD，AE平面ADE，ADAE=A，即可证明BD平面ADE（）连接DF与EC交于点N，则N为DF的中点，可证明MNBF，又MN平面EMC，BF平面EMC，即可判定BF平面ECM解答： 证明：（）BD=2，AB=2AD=4BD2+AD2=
24、AB22分BDAD，3分又AEBD，4分AD，AE平面ADE，ADAE=ABD平面ADE6分（）连接DF与EC交于点N，则N为DF的中点8分M是BD的中点，MNBF，10分又MN平面EMC，BF平面EMC，BF平面ECM12分点评： 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识的考查18在ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，满足（1）求角A的大小；（2）求sinAsinBsinC的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算专题： 解三角形分析： （1）由利用数量积运算可得：2bccosA=a2（b+c）2，展开再利用余弦定理可
25、得2bccosA=2bccosA2bc，化为cosA=（2）由，可得，利用两角和差的正弦公式、倍角公式可得sinAsinBsinC=，由可得，当=时，sinAsinBsinC取得最大值，即可得出解答： 解：（1）=cbcosA，2bccosA=a2（b+c）2，展开为：2bccosA=a2b2c22bc，2bccosA=2bccosA2bc，化为cosA=，A（0，）（2），sinAsinBsinC=，当=时，即时，sinAsinBsinC取得最大值，此时B=C=点评： 本题考查了数量积运算、余弦定理、两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题19某商区
26、停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时（）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；（）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率考点： 古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件专题： 概率与统计分析： （）根据题意，由全部基本事件的概率之和为1求解即可（）先列出甲、乙二人停车付费之和为36元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可解答
27、： 解：（）设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，则 所以甲临时停车付费恰为6元的概率是（）设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b=6，14，22，30 则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30），共16种情形其中，（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为点评： 本题考查古
28、典概型及其概率计算公式、独立事件和互斥事件的概率，考查利用所学知识解决问题的能力20单调递增数列an的前n项和为Sn，且满足4Sn=an2+4n（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn满足，求数列bn的前n项和Tn考点： 数列的求和；数列递推式专题： 等差数列与等比数列分析： （1）由4Sn=an2+4n，利用递推关系可得：，变为（an2+an1）（an2an1）=0，利用数列an是单调递增数列，可得anan1=2利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由数列bn满足，可得=再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出解答： 解：（1）4Sn=an2+4n当n=1时，4a1=+4，解得
29、a1=2；当n2时，+4（n1），4an=4Sn4Sn1=an2+4n，化为，变为（an2+an1）（an2an1）=0，an+an1=2或anan1=2数列an是单调递增数列，an+an1=2应该舍去，anan1=2数列an是等差数列，首项为2，公差为2，an=2+2（n1）=2n（2）数列bn满足，=，=数列bn的前n项和Tn=+，=+，=+=，点评： 本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式、对数的运算性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题21已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准
30、线上（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（2，），Q（2，）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点当A，B运动时，满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由考点： 椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （1）设椭圆C的标准方程为（ab0），由椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线y=2上，可得b=2，解得b又，a2=b2+c2，联立解得即可（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由APQ=BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，直线PA的方程为：=k（x2），与椭圆的方程联立化为+416=0，利用根与系
31、数的关系、斜率计算公式即可得出解答： 解：（1）设椭圆C的标准方程为（ab0），椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线y=2上，b=2，解得b=2又，a2=b2+c2，a=4，可得椭圆C的标准方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），APQ=BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，直线PA的方程为：=k（x2），联立，化为+416=0，x1+2=，同理可得：x2+2=，x1+x2=，x1x2=，kAB=直线AB的斜率为定值点评： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、直线方程，考查
32、了推理能力与计算能力，属于难题22已知函数f（x）=x2mlnx，h（x）=x2ax+1（a0）（1）设A是函数f（x）=x2mlnx上的定点，且f（x）在A点的切线与y轴垂直，求m的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若存在实数m使函数f（x），h（x）在公共定义域上具有相同的单调性，求证：m考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 导数的综合应用分析： （1）先求出定点的坐标，通过求导得到方程f（1）=0，解出m的值即可；（2）先求出函数的导数，通过讨论m的范围，从而求出函数的单调区间；（3）先求出f（x），h（x）的公共定域，再求出m=，令g（a）=m+a
33、36a+，求出g（a）的导数，得到g（a）的单调性，从而有g（a）g（2）=0，问题得证解答： 解：（1）由题意得：A（1，1），又f（x）=2x，f（x）=2m，f（x）在A点的切线与y轴垂直，f（1）=0，2m=0，m=2；（2）f（x）=2x=，（x0），若m0则f（x）在（0，+）单调递增，若m0，由f（x）0，可得x或x（舍），由f（x）0可得0x，m0时，f（x）的递增区间是（，+），递减区间是（0，），综上可得：m0时，f（x）增区间为（0，+），无减区间，m0时，f（x）的递增区间是（，+），递减区间是（0，）；（3）易知f（x），h（x）的公共定域为（0，+），在（0，+）上，h（x）的递增区间是（，+），递减区间是（0，），若存在实数m使函数f（x），h（x）在公共定域上具有相同的单调性，再由（2）可得m=0且=，解得：m=，令g（a）=m+a36a+，则g（a）=a3+a26a+，（a0），g（a）=a2+a6，（a0），由g（a）0，解得：a3，（舍），或a2，由g（a）0，解得：0a2，g（a）在（0，2）递减，在（2，+）递增；g（a）min=f（2）=+212+=0，g（a）g（2）=0，即ma3+6a点评： 本题考查了函数的单调性问题，考查了导数的应用，考查曲线的切线方程，本题有一定的难度
