1、一、选择题1(2013成都调研)抛物线yx2到直线2xy4距离最近的点的坐标是()A(，)B(1,1)C(，) D(2,4)解析：选B.设P(x，y)为抛物线yx2上任 一点，则P到直线的距离d，x1时，d取最小值，此时P(1,1)2椭圆1的离心率为e，点(1，e)是圆x2y24x4y40的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是()A3x2y40 B4x6y70C3x2y20 D4x6y10解析：选B.依题意得e，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点的连线的斜率为，所求直线的斜率等于，所以所求直线方程是y(x1)，即4x6y70，故选B.3设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线
2、l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A， B2,2C1,1 D4,4解析：选C.设直线方程为yk(x2)，与抛物线联立方程组，整理得ky28y16k0.当k0时，直线与抛物线有一个交点，当k0时，由6464k20，解得1k1且k0.综上1k1.4若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3C6 D8解析：选C.由题意得F(1,0)，设点P(x0，y0)，则y3(2x02)，x0(x01)yxx03(x02)22，当x02时，取得最大值6.5若AB是过椭圆1(ab0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kA
3、M，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAMkBM()A BC D解析：选B.法一(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(x1，y1)，kAMkBM.法二(特殊值法)：因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(a,0)，M(0，b)，可得kAMkBM.二、填空题6(2013安徽名校联考)已知直线ym与椭圆1有两个不同的交点，则实数m的取值范围为_解析：因为椭圆1上的点的纵坐标的取值范围是2,2，故要使直线ym与椭圆1有两个不同的交点，则实数m的取值范围是(2,2)答案：(2,2)7抛物线y24x上的P点到直线l：xy20的距离最小，则P点坐标为_解析：设P(x0，y0)，则
4、y4x0，P到l的距离d.当y02时，d取最小值，此时x01，故P点坐标为P(1，2)答案：(1，2)8已知抛物线y24x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值是_解析：当所给直线的斜率存在时，设过点P(4,0)的直线为yk(x4)，将x代入直线方程，得ky24y16k0.y1y216，y1y2，yy3232.又当所给直线的斜率不存在时，易算得此时yy32，yy32，即yy的最小值为32.答案：32三、解答题9(2013广东汕头二中第五次考试)已知椭圆x21(0b1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B.过F、B、C作P，其中圆
5、心P的坐标为(m，n)(1)当mn0时，求椭圆离心率的范围；(2)直线AB与P能否相切？证明你的结论解：(1)由已知得F、B、C的坐标分别为(c,0)，(0，b)，(1,0)则FC、BC的中垂线分别为x，y.联立方程组，解得由mn0得bbcb2c0，即(1b)(bc)0，bc，从而b2c2，即有a22c2，e2.又e0，0e.(2)直线AB与P不能相切由kABb，kPB.如果直线AB与P相切，则b1，又因b2a2c2即b21c2将代入解得c0或c2，与0c1矛盾，直线AB与P不能相切10(2013安徽名校联考)已知椭圆C1：1(0b0)的焦点是椭圆的顶点(1)求抛物线C2的方程；(2)过点M(
6、1,0)的直线l与抛物线C2交于E，F两点，过E，F作抛物线C2的切线l1，l2，当l1l2时，求直线l的方程解：(1)椭圆C1的长半轴长a2，半焦距c.由e，得b21，椭圆C1的上顶点为(0,1)，抛物线C2的焦点为(0,1)，抛物线C2的方程为x24y.(2)由已知可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)由x24y，得yx2，yx.切线l1，l2的斜率分别为x1，x2.当l1l2时，x1x21，即x1x24.由，得x24kx4k0，(4k)24(4k)0，解得k0.且x1x24k4，即k1，满足式，直线l的方程为xy10.1如图，已知ABC的
7、顶点A的坐标为A(4,0)，且ABAC，ABC的内切圆M的方程为(x2)2y2.(1)求经过A、B、C三点的椭圆E的标准方程；(2)是否存在圆M的切线，平分上述椭圆E的面积？若不存在，说明理由：若存在，求切线的斜率解：(1)设椭圆的标准方程为1(m0，n0，mn)，依题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：yK(x4)圆(x2)2y2的圆心为(2,0)，半径r，直线AB与圆相切，圆心(2,0)到直线AB的距离为d解得k1，或k2(k2为直线AC的斜率)直线AB的方程为y(x4)又ABAC，点A(4,0)在x轴上，点B的横坐标为xB2，把xB代入直线AB的方程解得yB，B.把A(4,0)，
8、B代入椭圆方程得：解得m16，n1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)由椭圆的对称性，当且仅当圆M的切线过原点时，椭圆E的面积被切线平分，此时设切线方程为ykx，圆心(2,0)到切线：ykx的距离为k.2过原点的直线ykx(k0)与椭圆C：y21相交于A，B两点(B在第一象限)，BH垂直x轴，垂足为H.(1)当k变化时，求ABH面积的最大值；(2)过B作直线lAB，已知l与直线AH交于点M，判断点M是否在椭圆C上，证明你的结论解：(1)设x0，y00，A(x0，y0)，B(x0，y0)，由得x，y.则SABH2SBOHx0y0.(当且仅当k时取等号)即ABH面积的最大值为.(2)点M在椭圆C上，以下证明：设M(x1，y1)，由H(x0,0)，则AH的斜率k1.显然BM有斜率k2.lAB，k2k10，即2k1k210.又2k1k2121.由得x2yx2y.B(x0，y0)在椭圆y21上x2y2，代入上式得x2y2，即y1.点M在椭圆C上
