1、第二章 推理与证明22.2 反证法第二章 推理与证明 1.了解反证法的基本思想 2.理解反证法的证明思路 3.会用反证法证明数学问题栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明反证法(1)定义由证明 pq 转向证明：qrt，t 与_，或与某个_，从而判定_，推出_的方法叫做反证法假设矛盾真命题矛盾q为假q为真栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤分清_；做出_的假定；由_，推出矛盾的结果；断定产生矛盾结果的原因，在于_，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真命题的条件和结论与命题结论相矛盾假定出发，应用
2、正确的推理方法开始所做的假定不真栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)反证法属于间接证明问题的方法()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾()栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明2应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()结论的否定，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原命题的结论A BCD答案：C栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明3命题“ABC 中，若AB，则 ab”的结论的否
3、定应该是()AabBabCabDab答案：B栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明 用反证法证明否定性命题 如图，设 SA、SB 是圆锥的两条母线，O 是底面圆心，C 是 SB 上一点求证：AC 与平面 SOB 不垂直栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明【证明】假设 AC平面 SOB，因为直线 SO 在平面 SOB 内，所以 ACSO.又 SO底面，所以 SOAB.因为 ABACA，所以 SO平面 SAB.故平面 SAB底面 这与已知条件矛盾，所以假设不成立 即 AC 与平面 SOB 不垂直栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案
4、自主学习第二章 推理与证明(1)用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法(2)用反证法证明数学命题的步骤 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明 1.已知 a，b，c，dR，且 adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.证明：假设 a2b2c2d2abcd1.因为 adbc1，所以 a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20.所以 ab0，cd0，ad0，bc0，则 abcd0，这与已知条件 adbc1
5、矛盾，故假设不成立 所以 a2b2c2d2abcd1.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明2已知三个正数 a，b，c，若 a2，b2，c2 成公比不为 1 的等比数列，求证：a，b，c 不成等差数列证明：假设 a，b，c 构成等差数列，则有 2bac，即 4b2a2c22ac，又 a2，b2，c2 成公比不为 1 的等比数列，且 a，b，c 为正数，所以 b4a2c2 且 a，b，c 互不相等，即 b2ac，因此 4aca2c22ac，所以(ac)20，从而 acb，这与 a，b，c 互不相等矛盾 故 a，b，c 不成等差数列栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升
6、预习案自主学习第二章 推理与证明 用反证法证明唯一性命题 求证：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行【证明】已知：点 P 在直线 a 外 求证：过点 P 与直线 a 平行的直线有且只有一条 证明如下：因为点 P 在直线 a 外，所以点 P 和直线 a 确定一个平面，设该平面为，在平面 内，过点 P 作直线 b，使得 ba，则过点 P 有一条直线与 a 平行 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明假设过点 P 还有一条直线 c 与 a 平行，因为 ab，ac，所以 bc，这与 b、c 相交于点 P 矛盾，故假设不成立 即过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平
7、行栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明 已知 a0，证明方程 axb 有且只有一个根证明：由于 a0，因此方程至少有一个根 xba，如果方程不止一个根，不妨设 x1，x2 是它的两个不同的根，即 ax1b，ax2b.得 a(x1x2)0.因为 x1x2，所以 x1x20，所以应有 a0，这与已知矛盾，故假
8、设不成立 所以，当 a0 时，方程 axb 有且只有一个根栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明 用反证法证明“至多”“至少”命题 设 f(x)x2bxc，x1，1，证明：当 b2 时，f(x)在其定义域内至少存在一个 x，使|f(x)|12成立栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明【证明】假设不存在 x1，1使|f(x)|12成立，则对任意 x1，1都有12f(x)12成立 当 b2 时，xb21，所以 f(x)在1，1上是单调递减函数，所以f(1)1bc12，f(1)1bc12b12，与 b2 矛盾 故假设不成立，因此当 b2 时
9、，f(x)在其定义域内至少存在一个 x，使|f(x)|12成立栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明(1)对于结论中含有“至多”“至少”等词语的命题，若直接从条件推证，解题方向不明确，过程不可推测，不易证明，则可考虑用反证法证明(2)注意“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式分别为“一个也没有”“至少有两个”“不都是”栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明 设 a0，b0，且 ab1a1b，求证：a2a2 与 b2b2 至多有一个成立证明：因为 ab1a1babab，因为 a0，b0，所以 ab1.假设 a2a2 与 b2b2
10、 同时成立，则由 a2a2 及 a0 得 0a1；同理 0b1，从而 ab1，这与 ab1 矛盾，故 a2a2 与 b2b2 至多有一个成立栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明1解题、证题时要向着“正难则反”的思路进行思考2反证法中的矛盾(1)与假设矛盾，与已知矛盾(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾(3)与公认的简单事实矛盾栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明使用反证法必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习
11、第二章 推理与证明1反证法是()A从结论的反面出发，推出矛盾的证法B对其否命题的证明C对其逆命题的证明D分析法的证明方法解析：选 A反证法是先否定结论，在此基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明2用反证法证明命题“设 a、b 为实数，则方程 x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程 x3axb0 没有实根B方程 x3axb0 至多有一个实根C方程 x3axb0 至多有两个实根D方程 x3axb0 恰好有两个实根解析：选 A“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故选 A栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明3用反证法证明命题“若 a2b20，则 a，b 全为 0(a，b 为实数)”时，应假设_解析：a，b 全为 0 的否定是 a，b 不全为 0.答案：a，b 不全为 0(a，b 为实数)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明4“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_解析：至少有两个的否定是至多有一个 答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 推理与证明本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
