1、双曲线的方程及性质的应用(习题课)A级基础巩固1已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则双曲线C的方程是()A.1B.1C.1 D.1解析：选B由F(3，0)知焦点在x轴上，c3，a2.b2c2a25，故选B.2已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF的面积为()A. B.C. D.解析：选D由c2a2b24得c2，所以F(2，0)，将x2代入x21，得y3，所以|PF|3.又A的坐标是(1，3)，故APF的面积为3(21).3已知双曲线1(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)
2、在该双曲线上，则等于()A12 B2C0 D4解析：选C渐近线方程为yx，则b2，即双曲线方程为x2y22.当x时，y1.又双曲线的半焦距为2，F1(2，0)，F2(2，0)，(2，y0)(2，y0)1y110.故选C.4(2020全国卷)设F1，F2是双曲线C：x21的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|2，则PF1F2的面积为()A. B3C. D2解析：选B法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(2，0)，F2(2，0)，又|OP|2，所以|OP|OF1|OF2|，所以PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|216.不妨令点P在双曲
3、线C的右支上，则有|PF1|PF2|2，两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4，又|PF1|2|PF2|216，所以|PF1|PF2|6，则SPF1F2|PF1|PF2|63，故选B.法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(2，0)，F2(2，0)，又|OP|2，所以|OP|OF1|OF2|，所以PF1F2是直角三角形，所以SPF1F23(其中F1PF2)，故选B.5点P是双曲线1(a0，b0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1PF2，若F1PF2的面积是9，则ab的值等于()A4 B5C6 D7解析：选D设|PF1|m，|PF2
4、|n，则|mn|2a，又因为PF1PF2，所以m2n24c2，2得：2mn4a24c2，所以mn2a22c2.又因为F1PF2的面积是9，所以mn9，所以c2a29.又因为双曲线的离心率，所以c5，a4，所以b3，所以ab7.6双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_解析：取B为双曲线右焦点，如图所示四边形OABC为正方形且边长为2，c|OB|2，又AOB，tan 1，即ab.又a2b2c28，a2.答案：27在平面直角坐标系Oxy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点，若点P到直线xy10的距离大于c恒
5、成立，则实数c的最大值为_解析：直线xy10与双曲线x2y21的一条渐近线xy0平行，这两条平行线之间的距离为，又P为双曲线x2y21右支上的一个动点，点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则c，即实数c的最大值为.答案：8已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F.若过点F且倾斜角为60的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率e的取值范围是_解析：由题意知 ，则3，所以c2a23a2，即c24a2，所以e24，所以e2.答案：2，)9已知双曲线3x2y23，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长解：双曲线方
6、程可化为1，故a21，b23，c2a2b24，c2.F2(2，0)，又直线l的倾斜角为45，直线l的斜率ktan 451，直线l的方程为yx2，代入双曲线方程，得2x24x70.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x20，A，B两点不位于双曲线的同一支上x1x22，x1x2，|AB| 6.10已知双曲线C：y21，P为双曲线C上的任意一点(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点A的坐标为(3，0)，求|PA|的最小值解：(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点该双曲线的两条渐近线方程分别是x2y0，x2y0，点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别
7、是和，它们的乘积是，故点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数(2)设点P的坐标为(x，y)则|PA|2(x3)2y2(x3)21.|x|2，当x时，|PA|2取最小值，|PA|的最小值为.B级综合运用11(多选)双曲线C与椭圆1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x2y0，则双曲线C的标准方程可以为()A.y21 By21Cx21 D.x21解析：选AB由题知c，设双曲线的方程为x24y2(0)，1，5或()5，4或4.故选A、B.12设点F1，F2分别是双曲线C：1(a0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点若ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为(
8、)Ayx ByxCyx Dyx解析：选D设F1(c，0)，A(c，y0)，则1，1，y，|AB|2|y0|.又SABF22，2c|AB|2c2，.该双曲线的渐近线方程为yx.故选D.13已知双曲线的虚轴长为4，离心率e，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且2|AB|AF2|BF2|，则双曲线的实轴长为_，|AB|_解析：由题意可知2b4，e，又c2a2b2，于是a2.因为2|AB|AF2|BF2|，所以|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|，得|AB|AF2|AF1|BF2|BF1|4a8.答案：4814设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、
9、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t.求t的值及点D的坐标解：(1)由题意，知a2，所以一条渐近线方程为y x，即bx2y0，所以，又c2a2b212b2，所以b2(12b2)3(b212)，所以b23，所以双曲线的标准方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x00)，则由t，得(x1，y1)(x2，y2)t(x0，y0)，所以x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程代入双曲线方程，消去y得x216x840，则x1x216，y1y2x12x
10、22(x1x2)412，所以所以由t，得(16，12)(4t，3t)，所以t4，点D的坐标为(4，3)C级拓展探究15直线m：ykx1和双曲线x2y21的左支交于A，B两点，直线l过点P(2，0)和线段AB的中点M，求直线l在y轴上的截距b的取值范围解：由(x1)消去y，得(k21)x22kx20.设直线m与双曲线左支的两个交点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，方程有两个不相等的负实数根解得1k.设M(x0，y0)，则x0，所以y0kx01.由P(2，0)，M，Q(0，b)三点共线，不难得出b.设(k)2k2k22，(k)在(1，)上为减函数，故()(k)(1)，且(k)0，(2)(k)0或0(k)1，b2，即l与y轴上的截距b的取值范围为(，2)(2，)
