1、第2讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差考纲展示命题探究1随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量随机变量常用字母X，Y，表示2离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3离散型随机变量的分布列的表示一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则下表称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列Xx1x2xixnPp1p2pipn为了简单起见，也可以用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列4离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：(1)p
2、i0，i1,2，n；(2)p1p2pipn1.5两点分布如果随机变量X的分布列为X01P1pp，称X服从两点分布，并称pP(X1)为成功概率6超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，称分布列X01mP为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布7离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均
3、水平注意点分布列的性质(2)的应用分布列的性质(2)的作用：可以用来检查所写出的分布列是否有误，还可以求分布列中的某些参数.1思维辨析(1)随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个()(2)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出()(3)离散型随机变量的分布列中pi0(i1,2，n)()(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和()答案(1)(2)(3)(4)2设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)等于()A0 B.C. D.答案C解析设失败率为p，则成功率为2p.X的分布列为X01Pp2p，即“X0”表示试
4、验失败，“X1”表示试验成功，由p2p1得p，故选C.3从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：012P_答案解析P(0)，P(1)，P(2).考法综述离散型随机变量的分布列、期望的考查是近几年的热点，主要是结合概率同时考查期望的意义，特别是分布列的计算，要确保计算准确命题法离散型随机变量的分布列及均值的计算典例某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额
5、一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)解设Ai(i0,1,2,3)表示摸到i个红球，Bj(j0,1)表示摸到j个蓝球，则Ai与Bj独立(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1).(2)X的所有可能值为0,10,50,200，则P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)，P(X0)1.综上可知，获奖金额X的分布列为X01050200P从
6、而有E(X)010502004(元)【解题法】求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义(2)利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率(3)按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证1若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，
7、得1分；若能被10整除，得1分(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)解(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C84，随机变量X的取值为：0，1,1，因此P(X0)，P(X1)，P(X1)1.所以X的分布列为X011P则E(X)0(1)1.2.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获
8、二等奖；若没有红球，则不获奖(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望解(1)记事件A1从甲箱中摸出的1个球是红球，A2从乙箱中摸出的1个球是红球，B1顾客抽奖1次获一等奖，B2顾客抽奖1次获二等奖，C顾客抽奖1次能获奖由题意，A1与A2相互独立，A1与A2互斥，B1与B2互斥，且B1A1A2，B2A1A2，CB1B2.因为P(A1)，P(A2)，所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(B2)P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1)P()P()P(A2)P(A1)(1P(A2)(1P(A1)P
9、(A2).故所求概率为P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2).(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以XB.于是P(X0)C03，P(X1)C12.P(X2)C21.P(X3)C30.故X的分布列为X0123PX的数学期望为E(X)3.3某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2
10、)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望解(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A).(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.又P(X1)，P(X2)，P(X3)1.所以X的分布列为X123P所以E(X)123.4端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A).(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X
11、0)，P(X1)，P(X2).综上可知，X的分布列为X012P故E(X)012(个)5某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望解(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A).所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(Xk)(k
12、0,1,2,3)所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.6某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列和数学期望解记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功由题设知P(E)，P()，P(F)，P()，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立(1)记H至少有一种新产品研发成功，则 ，于是P()P()P()，故所求的
13、概率为P(H)1P()1.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220.因P(X0)P( )，P(X100)P( F)，P(X120)P(E )，P(X220)P(EF)，故所求的分布列为X0100120220P数学期望为E(X)0100120220140.7某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本(样本容量为n)进行统计，按照50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100分组作出频率分布直方图，如图(1)所示，并作出样本高度的茎叶图，如图(2)(图中仅列出了高度在50,60
14、)，90,100的数据)(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取3株，设随机变量X表示所抽取的3株高度在80,90)内的株数，求随机变量X的分布列及数学期望解(1)由题意可知，样本容量n50，y0.004，x0.1000.0040.0100.0160.0400.030.(2)由题意可知，高度在80,90)内的株数为5，高度在90,100内的株数为2，共7株抽取的3株中高度在80,90)内的株数X的可能取值为1,2,3，则P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为X123P所以E(X)123.1离散型随机
15、变量的方差与标准差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn称D(X) (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差，记作(X)2均值与方差的性质若YaXb，其中a，b是常数，X是随机变量，则(1)E(aXb)aE(X)b.证明：E(Y)(ax1b)p1(ax2b)p2(axib)pi(axnb)pna(x1p1x2p2xipixnpn)b(p1p2pipn)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)证明：D(Y)(ax1baE(X)b)2p1(ax2baE(X)b)2p2(axibaE(X)
16、b)2pi(axnbaE(X)b)2pna2(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xiE(X)2pi(xnE(X)2pna2D(X)3两点分布与二项分布的均值与方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)(2)若随机变量XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)注意点随机变量的均值、方差与样本的平均值、方差的关系随机变量的均值、方差是常数，它们不依赖于样本的抽取，而样本的平均值、方差是随机变量，它们随着样本的不同而变化.1思维辨析(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程
17、度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小()(3)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关()答案(1)(2)(3)2随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望是_X123P0.20.5m答案2.1解析由题知0.20.5m1，m0.3，E(X)10.220.530.32.1.3有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)_.答案解析由题意知取到次品的概率为，XB.D(X)3.考法综述利用随机变量的期望与方差作出科学的决策问题是高考热点，考查学生的理解能力与数学计算能力，且不断创新问题情境突出运用概率、期望与方差解决实际问题的能力，难度中等命题法利
18、用期望与方差进行决策典例某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明
19、理由解(1)当日需求量n16时，利润y16580.当日需求量n16时，利润y10n80.所以y关于n的函数解析式为y(nN)(2)由(1)及列表可知，X可能的取值为60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望为E(X)600.1700.2800.776.X的方差为D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.解法一：花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54
20、Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差为D(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然E(X)E(Y)，但两者相差不大，故花店一天应购进16枝玫瑰花解法二：花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望有E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4
21、.由以上的计算结果可以看出，E(X)p2，E(1)E(2)Bp1E(2)Cp1p2，E(1)E(2)Dp1p2，E(1)0，即有p1p2.此时，2的取值为1,2,3.P(21)，P(22)，P(23)，则E(2)1233p2，则有E(1)p2，E(1)70)P(T135，T240)P(T140，T235)P(T140，T240)0.40.10.10.40.10.10.09.故P(A)1P()0.91.4.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名从这8名运动员中随机选择4人参加比赛(1)设A
22、为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望解(1)由已知，有P(A).所以，事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(Xk)(k1,2,3,4)所以，随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)1234.5已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费
23、用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)，(2)X的可能取值为200,300,400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400PE(X)200300400350.6李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815
24、主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较E(X)与的大小(只需写出结论)解(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率
25、超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”则CAB，A，B独立根据投篮统计数据，P(A)，P(B).P(C)P(A)P(B).所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.(3)E(X).7设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望解设Ai表示事
26、件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i0,1,2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备(1)DA1BCA2BA2C.P(B)0.6，P(C)0.4，P(Ai)C0.52，i0,1,2，所以P(D)P(A1BCA2BA2C)P(A1BC)P(A2B)P(A2C)P(A1)P(B)P(C)P(A2)P(B)P(A2)P()P(C)0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P(X0)P(A0)P()P(A0)P()(10.6)0.52(10.4)0.06，P(X1)P(BA0A0CA1)P(B)P(A0)P()P()P(
27、A0)P(C)P()P(A1)P()0.60.52(10.4)(10.6)0.520.4(10.6)20.52(10.4)0.25，P(X4)P(A2BC)P(A2)P(B)P(C)0.520.60.40.06，P(X3)P(D)P(X4)0.25，P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)P(X4)10.060.250.250.060.38，数学期望E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)4P(X4)0.2520.3830.2540.062.8盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的
28、概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数求X的概率分布和数学期望E(X)解(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4，X4表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X4)；X3表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X3)；于是P(X2)1P(X3)P(X4)1.所以随机变量X的概率分布如下表：X234P因此随机变量X的数学期望E(X)234.9.为回馈顾客，某商场拟
29、通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由解(1)设顾客所获的奖励额为X.依题意，
30、得P(X60)，即顾客所获的奖励额为60元的概率为.依题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X60)，P(X20)，即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)200.5600.540(元)(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元所以，先寻找期望为60元的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面
31、值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100PX1的期望为E(X1)206010060，X1的方差为D(X1)(2060)2(6060)2(10060)2.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080PX2的期望为E(X2)40608060，X2的方差为D(X2)(4060)2(6060)2(8
32、060)2.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.10计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X
33、120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解(1)依题意，p1P(40X120)0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为pC(1p3)4C(1p3)3p34430.9477.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故1台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5000，E(Y)500015000.安装2台发电机的情形依题意，当40X80时，1台发电机运行，此时Y50008004200，因此P
34、(Y4200)P(40X80) p10.2；当X80时，2台发电机运行，此时Y5000210000，因此P(Y10000)P(X80)p2p30.8；由此得Y的分布列如下：Y420010000P0.20.8所以 ，E(Y)42000.2100000.88840.安装3台发电机的情形依题意，当40X80时，1台发电机运行，此时Y500016003400，因此P(Y3400)P(40X120时，3台发电机运行，此时Y5000315000，因此P(Y15000)P(X120)p30.1，由此得Y的分布列如下Y3400920015000P0.20.70.1所以，E(Y) 34000.292000.71
35、50000.18620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望(注：若三个数a，b，c满足abc，则称b为这三个数的中位数)错解错因分析求错了当x2时对应事件的概率，最后也未根据分布列中各概率和为1进行检验，从而导致错误正解(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X1)，P(X2)，P(X3)，故X的
36、分布列为X123P从而E(X)123.心得体会时间：60分钟基础组1.2016枣强中学模拟设随机变量的分布列如表所示，且E()1.6，则ab()0123P0.1ab0.1A.0.2 B0.1C0.15 D0.4答案C解析由分布列的性质，得0.1ab0.11.ab0.8.又由E()00.11a2b30.11.6，得a2b1.3.由解得a0.3，b0.5，ab0.30.50.15.22016衡水二中期末某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，则E(X)，D(Y)分别为()A0.6,60 B3,12C3,120 D3,1.2答案C解析X
37、B(5,0.6)，Y10X，E(X)50.63，D(X)50.60.41.2，D(Y)100D(X)120.32016武邑中学猜题一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了设放对的个数为，则的期望值为()A. B.C1 D2答案C解析将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数可取的值有0,1,2,4.其中，P(0)，P(1)，P(2)，P(4)，E()01241，故选C.42016冀州中学仿真已知B，并且23，则方差D()()A. B.C. D.答
38、案A解析D()4，23，D()4D()4.52016武邑中学预测现有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机地、无放回地抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是()A6 B7.8C9 D12答案B解析P(6)，P(9)，P(12)，则E()69127.8.62016衡水二中模拟甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后通过的人数X的数学期望是()A. B.C1 D.答案A解析依题意，X的取值为0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).故X的数学期望E(X)012，故选A.72016枣强中学期末设随机变量的概率分布列如下表所示：x012P(x)
39、abc其中a，b，c成等差数列，若随机变量的均值为，则的方差为_答案解析由题意有abc1,2bac，b2c，解得a，b，c，则其方差为D()222.82016衡水二中仿真某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则均值E()_(结果用最简分数表示)答案解析可以将“从7名学生中选出2名志愿者”看作“从7件产品中抽取2件产品”，将“选出的志愿者中女生的人数”看作“任取2件产品中的次品数”，则随机变量服从参数为N7，M2，n2的超几何分布的可能取值为0,1,2，因为P(0)，P(1)，P(2)，故的分布列为012P从而E()012.或由超几
40、何分布期望E().9.2016枣强中学期中一个袋子里装有7个球，其中有红球4个，编号分别为1,2,3,4；白球3个，编号分别为1,2,3.从袋子中任取4个球(假设取到任何一个球的可能性相同)(1)求取出的4个球中，含有编号为3的球的概率；(2)在取出的4个球中，红球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望解(1)设“取出的4个球中，含有编号为3的球”为事件A，由题意知，取出4个球共有C种取法，其中含有编号为3的球的取法有CCCC种则P(A).所以取出的4个球中，含有编号为3的球的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，则P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，
41、所以随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)1234.102016衡水二中热身为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡(1)在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；(2)在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列解(1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，
42、其中6人持银卡设事件B为“采访该团3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，事件A1为“采访该团3人，1人持金卡，0人持银卡”，事件A2为“采访该团3人，1人持金卡，1人持银卡”，则P(B)P(A1)P(A2).所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是.(2)的可能取值为0,1,2,3，且服从参数为N9，M6，n3的超几何分布，故P(0)，P(1)，P(2)，P(3).所以的分布列为0123P11.2016武邑中学期末袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)，现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求的分布列、期望和方差；
43、(2)若ab，E()1，D()11，试求a，b的值解(1)的取值为0,1,2,3,4，其分布列为01234PE()012341.5，D()(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由D()a2D()得2.75a211，得a2，又E()aE()b，当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4，或122016衡水二中预测年龄在60岁(含60岁)以上的人称为老龄人，某地区老龄人共有35万，随机调查了该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：健康指数210160岁至79岁的人数250260652580岁及以上的人数20452015其中
44、健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，1表示“生活不能自理”(1)估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率；(2)若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于1.2，则该地区可被评为“老龄健康地区”请写出该地区老龄人健康指数X的分布列，并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”解(1)该地区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为，所以该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为.(2)该地区老龄人健康指数X的可能取值为2,1,0，1，其分布列为(用频率估计概率)：X2101PE(X)210(1)1.15，因为E(X)1.2，所以该地区不能被评为“老龄健
45、康地区”能力组13.2016枣强中学月考某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100 B200C300 D400答案B解析记“不发芽的种子数为”，则B(1000,0.1)，所以E()10000.1100，而X2，故E(X)E(2)2E()200.142016衡水二中猜题若p为非负实数，随机变量的分布列如下表，则E()的最大值为_，D()的最大值为_012Ppp答案1解析E()p1；D()p2p11.152016衡水二中一轮检测某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生
46、得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数若P(X0)，则随机变量X的数学期望E(X)_.答案解析由题意知P(X0)(1p)2，p.随机变量X的分布列为X0123PE(X)0123.16.2016冀州中学周测甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)解用A表示“甲在4局以内(含4局)
47、赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)，P(Bk)，k1,2,3,4,5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)222.所以甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率为.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).故X的分布列为X2345PE(X)2345.
