1、2015-2016学年江苏省宿迁市泗阳县高一（下）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）120是数列（1）n+1n（n+1）的第项2函数y=sinxcosx的最小正周期是3若sincos（）cossin（）=，则sin=4已知an是等差数列，a5=8，a9=24，则a4=5不等式x25x140的解集为6已知tan=2，则=7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60，b=2，SABC=2，则a=8不等式的解集为x|xb或x3，那么ab的值等于9在等比数列an中，已知第1项到第10项的和为9，第11项到第20项的和为36，则前40项的和为10在ABC中，已知
2、tanA+tanB+tanAtanB=1，若ABC最大边的长为，则其外接圆的半径为11已知数列an满足a1=3，且an=an1+n+2n（nN*），则an的前n项的和为12在求函数y=x2+的最小值时，某同学的做法如下：由基本不等式得y=x2+a=2a因此函数y=x2+的最小值为2a若该同学的解法正确，则a的取值范围是13已知x0，y0，且x=4xy2y，则3x+2y的最小值为14已知数列an中，a1=1，a2=3，且对任意nN+，a，an+12an+1恒成立，则an=二、解答题（共6小题，满分90分）15在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（a+b+c）（abc）+3bc=
3、0（1）求角A的大小；（2）若a=2c cosB，试判断ABC的形状16设数列an的所有项都是正数，前n项和为Sn，已知点Pn（an，Sn）（nN+）在一次函数y=kx+b的图象上，其中k为大于1的常数（1）求证：数列an是等比数列；（2）已知a1+a6=66，a2a5=128，求b的值17已知（0，），且sin（）=（1）求cos的值；（2）求sin（2）的值18A，B两地之间隔着一个水塘（如图），现选择另一点C，测得CA=10km，CB=10km，CBA=60（1）求A，B两地之间的距离；（2）若点C在移动过程中，始终保持ACB=60不变，问当CAB何值时，ABC的面积最大？并求出面积的最
4、大值19直角三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且c为斜边的长（1）若a，b，c成等比数列，且a=2，求c的值；（2）已知a，b，c均为正整数 （i）若a，b，c是三个连续的整数，求三角形ABC的面积； （ii）若a，b，c成等差数列，将这些三角形的面积从小到大排成一列，记第n个为Sn，且Tn=S，求满足不等式|Tn|32n的所有n的值20函数f（x）=x2+ax+b，其中aR，bR且（b+4）2a2=4，已知对任意的xR不等式f（x）2恒成立（1）求实数a，b的值；（2）若函数g（x）=，求g（x）的值域；（3）是否存在实数m，n使得不等式mf（x）n的解集为m，n？若存在，求出m，n的值
5、；若不存在，请说明理由2015-2016学年江苏省宿迁市泗阳县高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）120是数列（1）n+1n（n+1）的第4项【考点】数列的概念及简单表示法【分析】令（1）n+1n（n+1）=20，解出即可得出【解答】解：令（1）n+1n（n+1）=20，解得n=4，故答案为：42函数y=sinxcosx的最小正周期是【考点】三角函数的周期性及其求法；二倍角的正弦【分析】把函数y=sinxcosx化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期【解答】解：函数y=sinxcosx=sin2x，它的最小正周期是： =故答案
6、为：3若sincos（）cossin（）=，则sin=【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数【分析】直接利用两角差的正弦公式化简求得sin【解答】解：由sincos（）cossin（）=，得sin（）=，即sin=故答案为：4已知an是等差数列，a5=8，a9=24，则a4=4【考点】等差数列的通项公式【分析】根据等差数列的定义与性质，求出公差d，即可求出a4的值【解答】解：等差数列an中，a5=8，a9=24，a9a5=4d=16，d=4，a4=a5d=84=4故答案为：45不等式x25x140的解集为（2，7）【考点】一元二次不等式的解法【分析】把不等式化为（x+2）（x7）0
7、，可得其对应方程的根，进而得出解集【解答】解：不等式x25x140可化为：（x+2）（x7）0，解得2x7；所以该不等式的解集为（2，7）故答案为：（2，7）6已知tan=2，则=【考点】三角函数的化简求值【分析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简所求，根据已知即可计算求值【解答】解：tan=2，=故答案为：7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60，b=2，SABC=2，则a=2【考点】正弦定理【分析】利用SABC=bcsinA即可得出c，由余弦定理即可求a【解答】解：在ABC中，A=60，b=2，SABC=2，2=bcsinA=，解得c=4由余弦定理可得：a2=b
8、2+c22bccosA=4+162=12，解得：a=2故答案为：28不等式的解集为x|xb或x3，那么ab的值等于【考点】其他不等式的解法【分析】依题意，知3是方程=1的解，从而可得a的值，解不等式求出b的值，求出ab的值即可【解答】解：依题意得3是方程=1的解，3a=31=2，a=，由1，解得：x3或x1，故b=1，故ab=1=，故答案为：9在等比数列an中，已知第1项到第10项的和为9，第11项到第20项的和为36，则前40项的和为360【考点】等比数列的前n项和【分析】设等比数列an的前n项和为Sn，则S10，S20S10，S30S20，S40S30仍然成等比数列即可得出【解答】解：设等
9、比数列an的前n项和为Sn，则S10，S20S10，S30S20，S40S30仍然成等比数列即9，369，S3036，S40S30仍然成等比数列272=9（S3036），27（S40S30）=，解得S30=117，S40=360故答案为：36010在ABC中，已知tanA+tanB+tanAtanB=1，若ABC最大边的长为，则其外接圆的半径为【考点】两角和与差的正切函数【分析】由条件利用两角和的正切公式求得 tan（A+B）=1，可得A+B的值，从而求得C的值，再利用正弦定理求出外接圆的半径【解答】解：ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1，tan（A+B）（1tanAtanB）
10、+tanAtanB=1，tan（A+B）（1tanAtanB）=1tanAtanB，tan（A+B）=1，A+B=45，C=135；ABC最大边的长为c=，由正弦定理得，2R=2，其外接圆的半径为故答案为：11已知数列an满足a1=3，且an=an1+n+2n（nN*），则an的前n项的和为【考点】数列的求和【分析】先求出an，再利用累加求Tn【解答】解：由an=an1+n+2n（nN*），累加求得；前n项和为Tn=a1+a2+a3+an，=，故答案为：12在求函数y=x2+的最小值时，某同学的做法如下：由基本不等式得y=x2+a=2a因此函数y=x2+的最小值为2a若该同学的解法正确，则a的
11、取值范围是（0，1【考点】基本不等式【分析】由不等式求最值等号成立的条件求得a的取值范围【解答】解：a0，y=x2+a=2a，当且仅当有实数解时上式等号成立，则x2+a=1有实数解，即x2=1a有实数解，1a0，即a1，又a0，a的取值范围是（0，1故答案为：（0，113已知x0，y0，且x=4xy2y，则3x+2y的最小值为2+【考点】基本不等式【分析】变形已知式子可得+=4，整体代入可得3x+2y=（3x+2y）（+）=（8+），由基本不等式可得【解答】解：x0，y0，且x=4xy2y，x+2y=4xy，故=4，即+=4，3x+2y=（3x+2y）（+）=（8+）（8+2）=2+当且仅当=
12、时取等号，结合+=4可解得x=且y=故答案为：2+14已知数列an中，a1=1，a2=3，且对任意nN+，a，an+12an+1恒成立，则an=2n1【考点】数列递推式【分析】由an+12an+1恒成立，利用放缩法可得an2n1；利用a可得an2n1；从而求得【解答】解：an+12an+1恒成立，an+1+12（an+1）恒成立，an+12（an1+1）4（an2+1）2n1（a1+1），即an+12n，故an2n1；而an+22an+1+12（2an+1）+1=4an+3，而a， 故4an+3an+32n，故an2n1；故an=2n1，故答案为：2n1二、解答题（共6小题，满分90分）15在
13、ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（a+b+c）（abc）+3bc=0（1）求角A的大小；（2）若a=2c cosB，试判断ABC的形状【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）将（a+b+c）（abc）+3bc=0化简，利用余弦定理求出cosA；（2）使用正弦定理得sinA=2sinCcosB，即sin（B+C）=2sinCcosB，化简得sin（BC）=0，于是B=C【解答】解：（1）在ABC中，（a+b+c）（abc）+3bc=0，a2（b+c）2+3bc=0，即b2+c2a2=bc，cosA=A=（2）a=2ccosB，sinA=2cosBsinC，sin（B+C）=2
14、cosBsinC，即sinBcosCcosBinC=0，sin（BC）=0，BC=0，即B=C又A=，故ABC为正三角形16设数列an的所有项都是正数，前n项和为Sn，已知点Pn（an，Sn）（nN+）在一次函数y=kx+b的图象上，其中k为大于1的常数（1）求证：数列an是等比数列；（2）已知a1+a6=66，a2a5=128，求b的值【考点】等比数列的通项公式；等比关系的确定【分析】（1）由已知得Sn=kan+b，Sn+1=kan+1+b，从而（k1）an+1=kan，由此能证明数列an是等比数列（2）数列an的公比q=，由此推导出a1=2，a6=64，由此利用等比数列的性质能求出b【解答
15、】（本题满分14分）证明：（1）点Pn（an，Sn）（nN+）在一次函数y=kx+b的图象上，其中k为大于1的常数，Sn=kan+b，又Sn+1=kan+1+b，Sn+1Sn=k（an+1an），即（k1）an+1=kan，常数k1，且an0，（非零常数），数列an是等比数列解：（2）由（1）得数列an的公比q=，a1+a6=66，a2a5=128=a1a6，a1a6，且a1，a6是方程x266x+128=0的两个根，解方程x266x+128=0，解a1=2，a6=64，（）5=32=25，解得k=2，又S1=ka1+b，2=22+b，解得b=217已知（0，），且sin（）=（1）求cos的
16、值；（2）求sin（2）的值【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值【分析】（1）令t=，由已知可求范围t（，），从而利用同角三角函数基本关系式可求cost的值，由=t+，利用两角和的正弦函数公式即可化简求值（2）利用角的关系，2=2（t+）=2t+，根据诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可化简求值【解答】（本题满分14分）解：令t=，由（0，），则t（，），又sin（）=即sint=，则cost= （1）cos=cos（t+） =costcossintsin =； （2）sin（2）=sin2（t+）=sin（2t+） =cos2t=cos2tsin2t =（）2（）2= 18A，B两
17、地之间隔着一个水塘（如图），现选择另一点C，测得CA=10km，CB=10km，CBA=60（1）求A，B两地之间的距离；（2）若点C在移动过程中，始终保持ACB=60不变，问当CAB何值时，ABC的面积最大？并求出面积的最大值【考点】解三角形的实际应用【分析】（1）过C作CDAB于D，使用勾股定理依次解出BD，CD，AD，则AB=AD+BD；（2）利用余弦定理和基本不等式求出ACBC的最大值，根据最大值成立的条件得出CAB的度数，代入三角形面积公式得出面积的最大值【解答】解：（1）过C作CDAB于D，CBA=60，BD=km，CD=5km在RtACD中，AD=25kmAB=AD+BD=30k
18、m（2）在ABC中，由余弦定理得cosACB=，AC2+BC2=ACBC+AB2=ACBC+900，AC2+BC22ACBC，ACBC+9002ACBC，ACBC900，当且仅当AC=BC=30时取得等号当AC=BC=30时，ABC是等边三角形，故CAB=60SABC的最大值为=22519直角三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且c为斜边的长（1）若a，b，c成等比数列，且a=2，求c的值；（2）已知a，b，c均为正整数 （i）若a，b，c是三个连续的整数，求三角形ABC的面积； （ii）若a，b，c成等差数列，将这些三角形的面积从小到大排成一列，记第n个为Sn，且Tn=S，求满足不等式|T
19、n|32n的所有n的值【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式【分析】（1）设公比为q，则b=aq，c=aq2，由a，b，c为直角三角形的三边长，利用勾股定理能求出c（2）（i）由已知得b=a+1，c=a+2，由勾股定理得a=3，b=4，c=5，由此能求出ABC的面积（ii）设a，b，c的公差为d（dZ），推导出a=3d，从布三角形的三边长可设为3d，4d，5d，S=6d2，|Sn|=3n2+3n，令f（n）=，则f（n+1）f（n）=，由此能求出满足不等式|Tn|32n的所有n的值【解答】（本题满分16分）解：（1）设公比为q，则b=aq，c=aq2，由a，b，c为直角三角形的三边长，
20、知a2+a2q2=a2q4，q4q21=0，a=2，c=aq2=1+（2）（i）a，b，c为连续正整数，b=a+1，c=a+2，由a2+b2=c2，知a2+（a+1）2=（a+2）2，a=3，b=4，c=5S=6（ii）设a，b，c的公差为d（dZ），则a2+（a+d）2=（a+2d）2，a=3d，三角形的三边长可设为3d，4d，5d，S=，Sn=6（112+2232+42+（1）nn2），若n为偶数，则6（3+7+11+2n1）=3n2+3n，若n为奇数，则Sn=6（12+22）+（4232）+（n1）2（n2）26n2=6（3+7+11+2n3）6n2=3n23n|Sn|=3n2+3n，|
21、Sn|32n，即n2+n2n，即，令f（n）=，则f（n+1）f（n）=，当n=1，2时，f（n+1）f（n）0，即f（3）f（2）f（1），n3时，f（n+1）f（n）0，f（n）递减，即f（n）f（n1）f（4），由f（1）=1，f（2）=，f（3）=1，f（4）=1，f（5）=1，得到满足|Sn|32n的所有n的值为2，3，4 20函数f（x）=x2+ax+b，其中aR，bR且（b+4）2a2=4，已知对任意的xR不等式f（x）2恒成立（1）求实数a，b的值；（2）若函数g（x）=，求g（x）的值域；（3）是否存在实数m，n使得不等式mf（x）n的解集为m，n？若存在，求出m，n的值；若
22、不存在，请说明理由【考点】函数恒成立问题；函数的值域【分析】（1）根据不等式f（x）2恒成立，得出=a24（b+2）0，求解即可；（2）对分段函数分别讨论，结合单调性逐步求出函数的值域，最后求并集即可；（3）根据二次函数的性质，结合题意可知当m=2，n=2时符合题意，故存在【解答】解：（1）对任意的xR不等式f（x）2恒成立即x2+ax+b+2对任意xR恒成立，只要=a24（b+2）0即可，又（b+4）2a2=4，故4+（b+4）24（b+2）0即b2+4b+40，即（b+2）20，又（b+2）20，故b=2，此时a=0，综上所述，a=0，b=2； （2）xf（x）=x22得x2x20，则x1或x2或因此xf（x）=x22的解为1x2于是g（x）=当x1或x2时，g（x）=x2+x+2在（，1）时单调递减，g（x）2，g（x）在（2，+）上单调递增，g（x）8因此x1或x2时，g（x）2 当1x2时，g（x）=x2x2在1，上单调递减，在，2上单调递增，所以g（x）0 综上所述，g（x）的值域是，0（2，+）；（3）f（x）=x22，f（2）=2，f（2）=2，f（0）=2，当x2，2时，f（x）2，2，故满足题意，m=2，n=2成立2016年5月18日版权所有：高考资源网()
