1、第2讲导数的应用考纲展示命题探究1函数的单调性与导数的关系2用充分必要条件来诠释导数与函数单调性的关系(1)f(x)0(或f(x)0(或f(x)0(或f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(3)f(x)在(a，b)上单调递增与(a，b)是f(x)的单调递增区间是相同的说法()答案(1)(2)(3)2函数y(3x2)ex的单调递增区间是()A(，0) B(0，)C(，3)和(1，) D(3,1)答案D解析y2xex(3x2)exex(x22x3)，由y0x22x303x0，f(x)ex2x的单调递增区间为(ln 2，)考法综述单调性是
2、导数几种应用中最基本也是最重要的内容，因为求极值和最值都离不开单调性利用导数讨论函数单调性或求函数的单调区间是导数的重要应用，也是高考的热点，经常在解答题的分支问题中出现，难度一般命题法判断函数的单调性典例已知函数f(x)ln xmxm，mR.(1)已知函数f(x)在点(1，f(1)处与x轴相切，求实数m的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)在(1)的结论下，对于任意的0ab，证明：0)(1)依题意得f(1)1m0，即m1.(2)当m0时，f(x)m0，函数f(x)在(0，)上单调递增；当m0时，f(x)，由f(x)0，得x，由f(x)0，得x，即函数f(x)在上单调递增，在上单调递减(
3、3)证明：由(1)知m1，得f(x)ln xx1，对于任意的0ab，1可化为1，因为0a0，故不等式可化为(ln bb)(ln aa)(ba)，即ln 1，令t，得ln tt11)，令f(t)ln tt1.由(2)知，函数f(x)在(1，)上单调递减，且f(1)0，即f(t)f(1)，于是上式成立，故对于任意的0ab，0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；d解不等式f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围1设函数f(
4、x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析由题意可知存在唯一的整数x0，使得ex0(2x01)ax0a，设g(x)ex(2x1)，h(x)axa，由g(x)ex(2x1)可知g(x)在上单调递减，在上单调递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示，故，即，所以a0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)答案A解析令F(x)，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F(x)，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取
5、值范围是(，1)(0,1)故选A.3若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1，其导函数f(x)满足f(x)k1，则下列结论中一定错误的是()AfCf答案C解析构造函数g(x)f(x)kx1，则g(x)f(x)k0，g(x)在R上为增函数k1，0，则gg(0)而g(0)f(0)10，gf10，即f1，所以选项C错误，故选C.4已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)答案C解析(1)当a0时，显然f(x)有两个零点，不符合题意(2)当a0时，f(x)3ax26x，令f(x)0，解得x10，x2.当a0时
6、，0，所以函数f(x)ax33x21在(，0)与上为增函数，在上为减函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x00，则f(0)0，即10，不成立当a0时，0，则f0，即a310，解得a2或a2，又因为a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a(0,1)，使得f(x)0在区间(1，)内恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解解(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，)，g(x)f(x)2(xa)2ln x2，所以g(x)2当0a0，(e)220.故存在x0(1，e)，使得(x0)0.令a0，u(x)x1ln x(x1)由u(x)10知，函数u(x)在区
7、间(1，)上单调递增所以0a01.即a0(0,1)当aa0时，有f(x0)0，f(x0)(x0)0.由(1)知，f(x)在区间(1，)上单调递增，故当x(1，x0)时，f(x)f(x0)0；当x(x0，)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0.所以，当x(1，)时，f(x)0.综上所述，存在a(0,1)，使得f(x)0在区间(1，)内恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解6.设函数f(x)(aR) (1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围解(1)对f(x)求导得f(x)，因为f
8、(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x)，令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1x0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0时，g(x)0，求b的最大值；(3)已知1.41420，g(x)0；当b2时，若x满足2exex2b2，即0xln (b1)时，g(x)0.而g(0)0，因此当0xln (b1)时，g(x)0，ln 2
9、0.6928；当b1时，ln (b1)ln ，g(ln )2(32)ln 20，ln 20，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值2求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求导函数f(x)； (2)求方程f(x)0的根； (3)检验f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数yf(x)在这个根处取得极小值，可列表完成3函数的最值在闭区间a，b上的连续函数yf(x)，在a，b上必有最大值与最小值在区间(a，b)上的连续函数yf(x)，若有唯一的极值点，则
10、这个极值点就是最值点注意点极值点的含义及极值与最值的关系(1)“极值点”不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1即为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)(2)极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.1思维辨析(1)导数为零的点不一定是极值点()(2)三次函数在R上必有极大值和极小值()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值
11、也不一定是极小值()(6)函数f(x)xsinx有无数个极值点()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2函数yx44x3在区间2,3上的最小值为()A72 B36C12 D0答案D解析因为y4x34，令y0即4x340，解得x1.当x1时，y1时，y0，所以函数的极小值为y|x10，而在端点处的函数值y|x227，y|x372，所以ymin0.3函数f(x)ax3bx在x1处有极值2，则a，b的值分别为()A1，3 B1,3C1,3 D1，3答案A解析f(x)3ax2b，f(1)3ab0.又当x1时有极值2，ab2.联立解得考法综述函数的极值与最值是高考热点内容，对极值的考查主要有2个命题
12、角度：判断极值的情况，已知函数求极值考查函数最值时必定涉及函数的单调性，还会涉及方程和不等式题型有大题也有小题且有一定难度另外已知函数的极值(最值)情况求参数的取值范围也是热点考查内容，涉及函数的单调性时，往往需要进行分类讨论，这类题综合性强，难度较大命题法求函数的极值与最值典例设aR，函数f(x)x2e1xa(x1)(1)当a1时，求f(x)在内的极大值；(2)设函数g(x)f(x)a(x1e1x)，当g(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)时，总有x2g(x1)f(x1)，求实数的值(其中f(x)是f(x)的导函数)解(1)当a1时，f(x)x2e1x(x1)，则f(x)(2xx2)e1
13、x1，令h(x)(2xx2)ex1，则h(x)22xex1，显然h(x)在内是减函数，又h0，故x时，总有h(x)0，从而f(x)0，这时f(x)单调递增，当x(1,2)时，h(x)0，从而f(x)0，这时f(x)单调递减，所以f(x)在内的极大值是f(1)1.(2)由题可知g(x)(x2a)e1x，则g(x)(2xx2a)e1x(x22xa)e1x.根据题意，方程x22xa0有两个不同的实根x1，x2(x10，即a1，且x1x22，因为x1x2，所以x11.由x2g(x1)f(x1)，其中f(x)(2xx2)e1xa，可得(2x1)(xa)e1x1(2x1x)e1x1a，注意到x2x1a0，
14、所以上式化为(2x1)(2x1)e1x1(2x1x)e1x1(2x1x)，即不等式x12e1x1(e1x11)0对任意的x1(，1)恒成立当x10时，不等式x12e1x1(e1x11)0恒成立，R；当x1(0,1)时，2e1x1(e1x11)0恒成立，即，令函数k(x)2，显然，k(x)是R上的减函数，所以当x(0,1)时，k(x)k(0)，所以.综上所述，.【解题法】求函数极值和最值的方法(1)求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f(x)0，再判断f(x)0的根是否是极值点，可通过列表结合导函数与0的大小(或函数的单调性)进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论(2)函数
15、的最大值若函数在区间a，b上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值若函数在闭区间a，b内有极值，要先求出a，b上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到1.设函数f(x)sin.若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)2m2，则m的取值范围是()A(，6)(6，) B(，4)(4，)C(，2)(2，) D(，1)(1，)答案C解析x0是f(x)的极值点，f(x0)0，即cos0，得x0k，kZ，即x0mkm，kZ.xf(x0
16、)2m2可转化为22m2，kZ，即2m23m2，kZ，即22成立即可又2的最小值为，1，解得m2.故选C.2已知函数f(x)x3bx2cxd(b，c，d为常数)，当x(0,1)时，f(x)取得极大值，当x(1,2)时，f(x)取得极小值，则2(c3)2的取值范围是()A. B(，5)C. D(5,25)答案D解析因为f(x)3x22bxc，f(x)的两个根分别在(0,1)和(1,2)内，所以f(0)0，f(1)0，即作出可行域如图中阴影部分所示(不包括b轴)，2(c3)2表示可行域内一点到点P的距离的平方，由图象可知，P到直线32bc0的距离最小，即2(c3)2的最小值为25，P到点A的距离最
17、大，此时2(c3)225，因为可行域的临界线为虚线，所以所求范围为(5,25)，故选D.3若函数f(x)x33x在(a,6a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A(，1) B，1)C2,1) D(2,1)答案C解析令f(x)3x230，得x1，且x1为函数f(x)的极大值点，x1为函数f(x)的极小值点函数f(x)在区间(a,6a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6a2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a满足a16a2且f(a)a33af(1)2，解得a1，且a2.故实数a的取值范围是2，1)4设函数f(x)(x1)kcosx(kN*)，则()A当k2013时
18、，f(x)在x1处取得极小值B当k2013时，f(x)在x1处取得极大值C当k2014时，f(x)在x1处取得极小值D当k2014时，f(x)在x1处取得极大值答案C解析当k2013时，f(x)(x1)2013cosx，则f(x)2013(x1)2012cosx(x1)2013sinx(x1)20122013cosx(x1)sinx，当x0；当1x0，此时函数x1不是函数f(x)的极值点，A、B选项均错误当k2014时，f(x)(x1)2014cosx，则f(x)2014(x1)2013cosx(x1)2014sinx(x1)20132014cosx(x1)sinx，当x1时，f(x)0；当1
19、x0，此时函数f(x)在x1处取得极小值，故选C.5已知点M在曲线y3ln xx2上，点N在直线xy20上，则|MN|的最小值为_答案2解析本题考查导数的几何意义、点到直线的距离当点M处的曲线的切线与直线xy20平行时|MN|取得最小值令y2x1，解得x1，所以点M的坐标为(1，1)，所以点M到直线xy20的距离为2，即|MN|的最小值为2.6函数f(x)x33x26在x_时取得极小值答案2解析依题意得f(x)3x(x2)当x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0，f(x)0成立，求a的取值范围解(1)由题意知函数f(x)的定义域为(1，)，f(x)a(2x1)，令g(x)2ax2axa1，
20、x(1，)当a0时，g(x)1，此时f(x)0，函数f(x)在(1，)单调递增，无极值点；当a0时，a28a(1a)a(9a8)a当0时，0，设方程2ax2axa10的两根为x1，x2(x1x2)，因为x1x2，所以x1.由g(1)10，可得1x10，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增；因此，函数有两个极值点当a0，由g(1)10，可得x10，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减；所以函数有一个极值点综上所述，当a时，函数f(x)有两个极值点(2)由(1)知
21、，当0a时，函数f(x)在(0，)上单调递增，因为f(0)0，所以x(0，)时，f(x)0，符合题意；当0，符合题意；当a1时，由g(0)0.所以x(0，x2)时，函数f(x)单调递减，因为f(0)0，所以x(0，x2)时，f(x)0，不合题意；当a0，所以h(x)在(0，)上单调递增，因此当x(0，)时，h(x)h(0)0，即ln (x1)x.可得f(x)1时，ax2(1a)x0，此时f(x)0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1x2，所以
22、f(x)3(xx1)(xx2)当xx2时，f(x)0；当x1x0.故f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增(2)因为a0，所以x10.当a4时，x21.由(1)知，f(x)在0,1上单调递增所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4时，x21.由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2,1上单调递减所以f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0处和x1处同时取得最小值；当1a0)，由k0，知exkx0，令f(x)0，则x2，当x(0,2)时，f(x)0，f(x)为
23、增函数综上，f(x)的减区间为(0,2)，增区间为(2，)(2)由题意知f(x)0，即exkx0在(0,2)内存在两个不等实根令g(x)exkx，g(x)exk，令g(x)0，xln k，则0ln k2，即1ke2.当0xln k时，g(x)0，g(x)为减函数当ln kx0，只需即得ek0.当a0时，f(x)0，f(x)在1,2上单调递增f(x)maxf(2)ln 2.当a0时，可令g(x)2ax2ax1，x1,2，g(x)的对称轴x且过点(0,1)当a0在1,2上恒成立，f(x)在1,2上单调递增，f(x)maxf(2)ln 22a.当a0时，若g(1)0，即a1时，f(x)0，g(2)0
24、，即a0，g(2)0，即00在1,2上恒成立，f(x)在1,2上单调递增，f(x)maxf(2)ln 22a.综上：f(x)max.11已知函数f(x)x3ax24(aR)，f(x)是f(x)的导函数(1)当a2时，对于任意的m1,1，n1,1，求f(m)f(n)的最小值；(2)若存在x0(0，)，使f(x0)0，求a的取值范围解(1)由题意得f(x)x32x24，f(x)3x24x.令f(x)0，得x0或.当x在1,1上变化时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,1)1f(x)701f(x)143对于m1,1，f(m)的最小值为f(0)4.f(x)3x24x的对称轴
25、为直线x，且抛物线开口向下，对于n1,1，f(n)的最小值为f(1)7.f(m)f(n)的最小值为11.(2)f(x)3x.若a0，当x0时，f(x)0时，f(x)0，使f(x0)0.若a0，则当0x0；当x时，f(x)0，即a327，解得a3.综上，a的取值范围是(3，)1利用导数证明不等式的常用技巧(1)利用给定函数的某些性质，如函数的单调性、最值、极值等，服务于所要证明的不等式(2)当给出的不等式无法直接证明时，先对不等式进行等价转化后再进行求证(3)根据不等式的结构特征构造函数，利用函数的最值进行求证，构造函数的方法较为灵活，要结合具体问题，平时要多积累其一般步骤为：构造可导函数研究其
26、单调性求最值得出不等关系整理得出所证明的结论2导数在研究函数零点中的作用(1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等(2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决3利用导数求解实际问题中的优化问题生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案利用导数解决实际应用问题一般有如下几类： (1)给出了具体的函数关系式，
27、只需研究这个函数的性质即可 (2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质 (3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质注意点函数定义域的重要性在函数的综合应用中，不论是研究函数的性质，还是构造函数，还是建立新的函数关系时，都要正确求出函数的定义域，再利用导数求解.1思维辨析(1)2axexx1恒成立，可转化为a恒成立()(2)对任意xR，f(x)g(x)恒成立，则f(x)ming(x)max.()(3)若函数yf(x)与yg(x)的图象有2个交点，则f(x)g(x)有2个零点()答案(1)(2)(3)2在区间(0，)上，sinx与x的
28、大小关系是_答案sinxx解析构造函数f(x)sinxx，则f(x)cosx10且不恒等于0，故函数f(x)在(0，)上单调递减，所以f(x)f(0)0，故sinxx.3已知函数f(x)x.(1)讨论函数f(x)的单调性，并求其最值；(2)若对任意的x(0，)，有f(x)ax21恒成立，求实数a的取值范围解(1)f(x)x，f(x)10，则x0.当x(，0)时f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)的最小值为f(0)1，无最大值(2)由(1)知，若a0，则当x0时f(x)1ax21，原不等式不成立若a0时，ax210，f(x)1.设(x)(ax2x1)ex，那么(x)ax2(2a1)xex.
29、若a，则(x)(ax2x1)ex在(0，)上单调递增，(x)的最小值大于(0)1，因而(ax2x1)ex1恒成立若0a，则当x时(x)单调递减，(x)时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；(2)求函数f(x)的极值点；(3)当b1时，试证明对任意的正整数n，不等式ln 都成立解(1)函数f(x)x2bln (x1)的定义域为(1，)，f(x)2x，令g(x)2x22xb，则228b，由b，得0在(1，)上恒成立，所以f(x)0.即当b时，函数f(x)在定义域(1，)上单调递增(2)由(1)知，当b时，函数无极值点当b时，f(x)，因为当x时，f(x)0，x时，f(x)0，所以当b时，函数f(
30、x)在(1，)上无极值点当b时，解f(x)0，得x1，x2.当b0时，x10，所以x1(，1)，x2(1，)，且x(1，x2)时，f(x)0，此时f(x)在(1，)上有唯一的极小值点x2.当0b时，x1，x2，f(x)在(1，x1)，(x2，)上都大于0，f(x)在(x1，x2)上小于0，此时f(x)有一个极大值点x1和一个极小值点x2.综上可知，当b0时，f(x)在(1，)上有唯一的极小值点x2；当0bh(0)0，所以当x(0，)时，有x3x2ln (x1)0，即ln (x1)x2x3，所以对任意正整数n，取x，可得ln 恒成立【解题法】利用导数证明不等式的方法(1)证明f(x)g(x)或f
31、(x)g(x)，可通过构造函数h(x)f(x)g(x)，将上述不等式转化为求证h(x)0或h(x)0，从而利用求h(x)的最小值或最大值来证明不等式(2)关于恒成立问题可以转化为求函数的最值一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可命题法2利用导数研究函数的零点问题典例2设函数f(x)axx2ln x(aR)(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)xe1x1，若对于任意给定的x0(0，e，方程f(x)g(x0)在(0，e内有两个不同的根，求实数a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)12x(2x
32、2x1)方程2x2x10有两个根x10.所以当x(0,1)时，2x2x10，f(x)0，函数f(x)在区间(0,1)上单调递增；当x(1，)时，2x2x10，f(x)0，函数g(x)在区间(0,1)上单调递增；当x(1，e时，g(x)0，函数g(x)在区间1，e上单调递减而g(0)1，g(1)0，g(e) ee1e1e2e1(1,0)，所以当x(0，e时，g(x)(1,0由(1)知，f(x)(2x2ax1)，且f(x)0在定义域内只有一个根x2.若x2e，则f(x)0在区间(0，e内无解，所以函数f(x)在区间(0，e上是单调函数，显然f(x)g(x0)至多只有一个根，不符合题意；若x20，且
33、f(e)1.由f(e)1，得aee2ln e1，解得ae.因为x2为方程2x2ax10的根，所以2xax210，即a2x2. 故由f(x2)0，得ax2xln x20，得x2xln x20，整理得x1ln x20. 设h(x)x21ln x(x(0，e)，则h(x)2x0， 所以函数h(x)在区间(0，e)上单调递增，而h(1)121ln 10， 所以不等式x1ln x20的解为1x2e. 又函数y2x在(1，e)上单调递增， 所以121a2x22e.显然，e2e，所以13)千元，设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.
34、解(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr.由于l2r，因此2r，整理得5r，故0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r34r2c.因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r，03，所以c20，当r30时，r.令 m，则m0，所以y(rm)(r2rmm2)当0m时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y0.所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2，即3c时，当r(0,2时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综合所述，当3时，建造费用最小时r.【解题法】利用导数解决实际生活中的优化问题的方法(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的
35、数学模型，写出相应的函数关系式yf(x)(2)求导数f(x)，解方程f(x)0.(3)判断使f(x)0的点是极大值点还是极小值点(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点1.设f(x)是定义在R上的可导函数，当x0时，f(x)0，则关于x的函数g(x)f(x)的零点个数为()A1 B2C0 D0或2答案C解析由f(x)0，得0，当x0时，xf(x)f(x)0，即xf(x)0，函数xf(x)单调递增；当x0时，xf(x)f(x)0，即xf(x)0f(0)0，又g(x)f(x)x1，函数g(x)的零点个数等价于
36、函数yxf(x)1的零点个数当x0时，yxf(x)11，当x1，所以函数yxf(x)1无零点，所以函数g(x)f(x)x1的零点个数为0.故选C.2设函数f(x)是定义在(，0)上的可导函数，其导函数为f(x)，且有2f(x)xf(x)x2，则不等式(x2014)2f(x2014)4f(2)0的解集为_答案(，2016)解析由2f(x)xf(x)x2，x0得2xf(x)x2f(x)x3，x2f(x)x30.令F(x)x2f(x)(x0)，则F(x)0(x0即为F(x2014)F(2)0，即F(x2014)F(2)，又因为F(x)在(，0)上是减函数，所以x20142，x2016.3已知f(x)
37、axcosx，x.若x1，x2，x1x2，0，则实数a的取值范围为_答案a解析f(x)asinx.依题意可知f(x)在上为减函数，所以f(x)0对x恒成立，可得asinx对x恒成立设g(x)sinx，x.易知g(x)为减函数，故g(x)min，所以a.4设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增；(2)若对于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围解(1)证明：f(x)m(emx1)2x.若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0.若m0，f(x)0；当x(0，)时，emx10.所以，f(x)在(，0)单调递减，
38、在(0，)单调递增(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在1,0单调递减，在0,1单调递增，故f(x)在x0处取得最小值所以对于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是即设函数g(t)ette1，则g(t)et1.当t0时，g(t)0时，g(t)0.故g(t)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增又g(1)0，g(1)e12e1时，由g(t)的单调性，g(m)0，即emme1；当m0，即emme1.综上，m的取值范围是1,15设a1，函数f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(，)上仅有一个零点；(3)若曲线yf(x)在点P处的切线与
39、x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m 1.解(1)f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2ex0，故f(x)是R上的单调递增函数，其单调增区间是(，)，无单调减区间(2)证明：因为f(0)(102)e0a1a0，由零点存在性定理知，f(x)在(，)上至少有一个零点又由(1)知，函数f(x)是(，)上的单调递增函数，故函数f(x)在(，)上仅有一个零点 (3)证明：设点P(x0，y0)，由曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行知，f(x0)0，即f(x0)(x01)2ex00，(x01)20，x01，即P(1,2e1a)由点M(m，n)处
40、的切线与直线OP平行知，f(m)kOP，即(1m)2ema.由em1m知，(1m)3(1m)2ema，即1m ，即m 1.6已知函数f(x)nxxn，xR，其中nN*，且n2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设曲线yf(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为yg(x)，求证：对于任意的正实数x，都有f(x)g(x)；(3)若关于x的方程f(x)a(a为实数)有两个正实数根x1，x2，求证：|x2x1|0，即x1时，函数f(x)单调递增；当f(x)1时，函数f(x)单调递减所以，f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减(2)证明：设点P的坐标为(x0,0)，则x0n，f
41、(x0)nn2.曲线yf(x)在点P处的切线方程为yf(x0)(xx0)，即g(x)f(x0)(xx0)令F(x)f(x)g(x)，即F(x)f(x)f(x0)(xx0)，则F(x)f(x)f(x0)由于f(x)nxn1n在(0，)上单调递减，故F(x)在(0，)上单调递减又因为F(x0)0，所以当x(0，x0)时，F(x)0，当x(x0，)时，F(x)0，所以F(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减，所以对于任意的正实数x，都有F(x)F(x0)0，即对于任意的正实数x，都有f(x)g(x)(3)证明：不妨设x1x2.由(2)知g(x)(nn2)(xx0)设方程g(x)a的根
42、为x2，可得x2x0.当n2时，g(x)在(，)上单调递减又由(2)知g(x2)f(x2)ag(x2)，可得x2x2.类似地，设曲线yf(x)在原点处的切线方程为yh(x)，可得h(x)nx.当x(0，)，f(x)h(x)xn0，即对于任意的x(0，)，f(x)h(x)设方程h(x)a的根为x1，可得x1.因为h(x)nx在(，)上单调递增，且h(x1)af(x1)h(x1)，因此x1x1.由此可得x2x1x2x1x0.因为n2，所以2n1(11)n11C1n1n，故2nx0.所以|x2x1|0时，f(x)x；(2)证明：当k0，使得对任意的x(0，x0)，恒有f(x)g(x)；(3)确定k的
43、所有可能取值，使得存在t0，对任意的x(0，t)，恒有|f(x)g(x)|x2.解(1)证明：令F(x)f(x)xln (1x)x，x0，)，则有F(x)1.当x(0，)时，F(x)0时，F(x)0时，f(x)0，故G(x)在0，)上单调递增，G(x)G(0)0，故任意正实数x0均满足题意当0k0，取x01，对任意x(0，x0)，有G(x)0，从而G(x)在0，x0)上单调递增，所以G(x)G(0)0，即f(x)g(x)综上，当k0，使得对任意x(0，x0)，恒有f(x)g(x)(3)解法一：当k1时，由(1)知，x(0，)，g(x)xf(x)，故g(x)f(x)，|f(x)g(x)|g(x)
44、f(x)kxln (1x)令M(x)kxln (1x)x2，x0，)，则有M(x)k2x.故当x时，M(x)0，M(x)在上单调递增，故M(x)M(0)0，即|f(x)g(x)|x2.所以满足题意的t不存在当k0，使得当x(0，x0)时，f(x)g(x)，此时|f(x)g(x)|f(x)g(x)ln (1x)kx.令N(x)ln (1x)kxx2，x0，)，则有N(x)k2x ，当x时，N(x)0，N(x)在上单调递增，故N(x)N(0)0，即f(x)g(x)x2.记x0与中的较小者为x1，则当x(0，x1)时，恒有|f(x)g(x)|x2.故满足题意的t不存在当k1时，由(1)知，当x0时，
45、|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln (1x)令H(x)xln (1x)x2，x0，)，则有H(x)12x.当x0时，H(x)0，所以H(x)在0，)上单调递减，故H(x)0时，恒有|f(x)g(x)|1时，由(1)知，x(0，)，g(x)xf(x)，故|f(x)g(x)|g(x)f(x)kxln (1x)kxx(k1)x.令(k1)xx2，解得0x1时，对于x(0，k1)，恒有|f(x)g(x)|x2，故满足题意的t不存在当k1时，取k1，从而kk10，使得x(0，x0)，f(x)k1xkxg(x)，此时|f(x)g(x)|f(x)g(x)(k1k)xx.令xx2，解得0xx2.记x0
46、与中的较小者为x1，当x(0，x1)时，恒有|f(x)g(x)|x2.故满足题意的t不存在当k1时，由(1)知，x0，|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln (1x)，令M(x)xln (1x)x2，x0，)，则有M(x)12x.当x0时，M(x)0，所以M(x)在0，)上单调递减，故M(x)0时，恒有|f(x)g(x)|2；(3)设实数k使得f(x)k对x(0,1)恒成立，求k的最大值解(1)因为f(x)ln (1x)ln(1x)，所以f(x)，f(0)2.又因为f(0)0，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y2x.(2)证明：令g(x)f(x)2，则g(x)f(x)2(
47、1x2).因为g(x)0(0xg(0)0，x(0,1)，即当x(0,1)时，f(x)2.(3)由(2)知，当k2时，f(x)k对x(0,1)恒成立当k2时，令h(x)f(x)k，则h(x)f(x)k(1x2).所以当0x 时，h(x)0，因此h(x)在区间上单调递减当0x 时，h(x)h(0)0，即f(x)2时，f(x)k并非对x(0,1)恒成立综上可知，k的最大值为2.9已知函数f(x)ln xax22x(a0)依题意f(x)0在x0时恒成立，即ax22x10在x0时恒成立则a21在x0时恒成立，即amin(x0)，当x1时，21取最小值1.a的取值范围是(，1(2)a，f(x)xbx2xl
48、n xb0.设g(x)x2xln xb(x0)则g(x).列表：x(0,1)1(1,2)2(2,4)g(x)00g(x)极大值极小值g(x)极小值g(2)ln 2b2，g(x)极大值g(1)b，又g(4)2ln 2b2，方程g(x)0在1,4上恰有两个不相等的实数根，则得ln 22b.10.如图，现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2 m的圆形草地为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.(1)求x的取值范围(运算中取1.4)；(2)
49、若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax 元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解(1)由题意得，解得，即9x15.所以x的取值范围是9,15(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得ya2axx2x312x2，令f(x)x4x312x2，则f(x)x34x224x4x，由f(x)0，解得x10或x15或x0(舍)，列表如下：x9(9,10)10(10,15)15f(x)00f(x)极小值所以当x10时，y取最小值即当x10时，可使“环岛”的整体造价最低已知二次函数f(x)ax2bxc，满足f(0)f(1)0，且f(x)的最小值是.(1)求f
50、(x)的解析式；(2)设函数h(x)ln x2xf(x)，若函数h(x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围错解错因分析求函数的单调区间就是解导数大于零或小于零的不等式，受此思维定式的影响，容易认为导函数在区间上大于零或小于零，而忽视了导函数在区间上的个别点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性正解(1)因为二次函数f(x)满足f(0)f(1)0，所以其对称轴为x.又f(x)的最小值是，故f(x)a2.因为f(0)0，所以a1，故f(x)x2x.(2)因为h(x)ln x2xx2xln xx23x，所以h(x)2x3，所以h(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为.根据题意，得解得0时，f
51、(x)()A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值，又有极小值D既无极大值也无极小值答案B解析f(x)，x0.令f(x)0，得x1.又f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增所以x1为f(x)的极小值点，f(x)无极大值故选B.22016枣强中学仿真在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf(x)0的解集为()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(2，1)(1,2)D(，2)(2，)答案A解析由f(x)的图象知，当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0，xf(x)f(x)，则以下判断正确的是()Af(2013)e2013f(0)Bf(2013
52、)f(x)，g(x)0，即函数g(x)在R上递减，g(2013)g(0)，f(2013)1，f(1)11，而e1e20，所以f(x)maxf(1)e1.5.2016衡水二中热身设函数f(x)ln xax，g(x)exax，其中a为实数若f(x)在(1，)上是单调减函数，且g(x)在(1，)上有最小值，则a的取值范围是()A(e，) Be，)C(1，) D1，)答案A解析解法一：f(x)a，g(x)exa，由题意得，当x(1，)时f(x)0恒成立，即x(1，)时a恒成立，则a1.因为g(x)exa在(1，)上单调递增，所以g(x)g(1)ea.又g(x)在(1，)上有最小值，则必有eae.综上，
53、可知a的取值范围是(e，)解法二：f(x)a，g(x)exa.由题意得，当x(1，)时f(x)0恒成立，即x(1，)时a恒成立，则a1.当a0时，g(x)0恒成立，从而g(x)在(1，)上单调递增，故g(x)在(1，)上无最值，不符合题意；当00得xln a，又ln a1，故g(x)在(1，)上单调递增，故g(x)在(1，)上无最值，不符合题意；当ae时，由g(x)0得xln a，又ln a1，故g(x)在(1，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，此时有最小值，为g(ln a)eln aaln aaaln a.由题意知ln a1，所以ae.综上，可知a的取值范围是(e，)6201
54、6武邑中学期末函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)答案B解析设m(x)f(x)(2x4)，m(x)f(x)20，m(x)在R上是增函数m(1)f(1)(24)0，m(x)0的解集为x|x1，即f(x)2x4的解集为(1，)72016衡水二中预测函数f(x)x(xm)2在x1处取得极小值，则m_.答案1解析f(1)0可得m1或m3.当m3时，f(x)3(x1)(x3)，1x3，f(x)0；x3，f(x)0，此时x1处取得极大值，不合题意，所以m1.82016枣强中学月考函数f(x)x3x23x1的图
55、象与x轴的交点个数是_答案3解析f(x)x22x3(x1)(x3)，函数在(，1)和(3，)上是增函数，在(1,3)上是减函数，由f(x)极小值f(3)100知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.92016衡水二中猜题已知函数f(x)(a0，r0)(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若400，求f(x)在(0，)内的极值解(1)由题意知xr，所求的定义域为(，r)(r，)f(x)，f(x)，所以当xr时，f(x)0；当rx0，因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间为(r，r)(2)由(1)的解答可知f(r)0，f(x)在(0，r)上单调
56、递增，在(r，)上单调递减因此，xr是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，)内的极大值为f(r)100，无极小值102016衡水二中一轮检测已知曲线f(x)x33x29xa与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围解f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x11，x23.列表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极小值极大值所以当x1时，f(x)有极小值f(1)a5；当x3时，f(x)有极大值f(3)a27.画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)所以a50或a275或a5或a1.解(1)函数f(x)的定义域为(0，
57、)，f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证明：由(1)知，f(x)exln xex1，从而f(x)1等价于xln xxex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x时，g(x)0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g.设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.能力组12.2016冀州中学预测定义在R上的函数f(x)ax3bx2cx(a0)的单调增区间为(1,1)，若方程3a(f(x)22
58、bf(x)c0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是_答案a0的解集是(1,1)，因此有a0，110，1，b0，c3a，函数f(x)ax3bx2cxax33ax.由3ax22bxc3ax23a0，得函数f(x)的极大值为f(1)、极小值为f(1)方程3a(f(x)22bf(x)c0可变为3a(f(x)23a0，要使3a(f(x)23a0恰有6个不同的实根，需满足，得a0)，讨论h(x)零点的个数解(1)设曲线yf(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0)0，f(x0)0，即解得x0，a.因此，当a时，x轴为曲线yf(x)的切线(2)当x(1，)时，g(x)ln x0，从而h(x)minf
59、(x)，g(x)g(x)0，故h(x)在(1，)上无零点当x1时，若a，则f(1)a0，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故x1是h(x)的零点；若a，则f(1)0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)0.所以只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数若a3或a0，则f(x)3x2a在(0,1)上无零点，故f(x)在(0,1)上单调而f(0)，f(1)a，所以当a3时，f(x)在(0,1)上有一个零点；当a0时，f(x)在(0,1)上没有零点若3a0，即a0，f(x)在(0,1)上无零点；b若f0，即a，则f(x)在(0,1)上有唯一零点；c若f0，即3a，由于f(0)，f(1)a
60、，所以当a时，f(x)在(0,1)上有两个零点；当3或a时，h(x)有一个零点；当a或a时，h(x)有两个零点；当a时，h(x)有三个零点142016武邑中学仿真已知函数f(x)xcosxsinx，x.(1)求证：f(x)0；(2)若ab对x恒成立，求a的最大值与b的最小值解(1)证明：由f(x)xcosxsinx得f(x)cosxxsinxcosxxsinx.因为在区间(0，)上f(x)xsinx0时，“a”等价于“sinxax0”；“b”等价于“sinxbx0对任意x恒成立当c1时，因为对任意x，g(x)cosxc0，所以g(x)在区间0，上单调递减从而g(x)g(0)0对任意x恒成立当0
61、cg(0)0.进一步，“g(x)0对任意x恒成立”当且仅当g1c0，即00对任意x恒成立；当且仅当c1时，g(x)0对任意x恒成立所以，若ab对任意x恒成立， 则a的最大值为，b的最小值为1.152016衡水中学模拟已知函数f(x)x33|xa|(aR)(1)若f(x)在1,1上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)m(a)；(2)设bR.若f(x)b24对x1,1恒成立，求3ab的取值范围解(1)因为f(x)所以f(x)由于1x1，当a1时，有xa，故f(x)x33x3a，此时f(x)在(1,1)上是增函数，因此，M(a)f(1)43a，m(a)f(1)43a，故M(a)m(
62、a)(43a)(43a)8.当1a1时，若x(a,1)，则f(x)x33x3a在(a,1)上是增函数；若x(1，a)，则f(x)x33x3a在(1，a)上是减函数所以M(a)maxf(1)，f(1)，m(a)f(a)a3.由于f(1)f(1)6a2，因此当1a时，M(a)m(a)a33a4；当a1时，M(a)m(a)a33a2.当a1时，有xa，故f(x)x33x3a，此时f(x)在(1,1)上是减函数，因此，M(a)f(1)23a，m(a)f(1)23a.故M(a)m(a)(23a)(23a)4.综上，M(a)m(a)(2)令h(x)f(x)b，则h(x)h(x)因为f(x)b24对x1,1恒成立，即2h(x)2对x1,1恒成立所以由(1)知，当a1时，h(x)在1,1上是增函数，h(x)在1，1上的最大值是h(1)43ab，最小值是h(1)43ab，则43ab2且43ab2，矛盾；当10，t(a)在上是增函数，故t(a)t(0)2，因此23ab0；当a1时，h(x)在1,1上的最小值是h(a)a3b，最大值是h(1)3ab2，所以a3b2且3ab22，解得3ab0；当a1时，h(x)在1,1上的最大值是h(1)23ab，最小值是h(1)23ab，所以3ab22，且3ab22，解得3ab0.综上，得3ab的取值范围是23ab0.
