1、第三章 3.3 3.3.1几何概型A级基础巩固一、选择题1已知函数f(x)2x，若从区间2,2上任取一个实数x，则使不等式f(x)2成立的概率为(A)ABCD解析这是一个几何概型，其中基本事件的总数构成的区域对应的长度是2(2)4，由f(x)2可得x1，所以满足题设的基本事件构成的区域对应的长度是211，则使不等式f(x)2成立的概率为.2一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是(C)ABCD解析设看到黄灯亮为事件A，构成事件A的“长度”等于5，试验的全部结果所构成的区域长度是3054580，所以P(A).3已知ABC
2、D为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点P，则取到的点P到O的距离大于1的概率为(B)AB1CD1解析如图所示，设取到的点P到O的距离大于1为事件M，则点P应在阴影部分内，阴影部分的面积为21122，所以P(M)1.4一只小狗在图所示的方砖上走来走去，最终停在涂色方砖的概率为(C)ABCD解析由题意知，这是一个与面积有关的几何概型题这只小狗在任何一个区域的可能性一样，图中有大小相同的方砖共9块，显然小狗停在涂色方砖的概率为.故选C5平面上有一组平行线且相邻平行线的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是(
3、B)ABCD解析如图，要使硬币不与平行直线l1、l4中任何一条相碰，则应使硬币的中心在两平行线l2、l3之间，故所求概率为P.6某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为(B)A16 mB20 mC8 mD10 m解析物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件找到的概率为，即掉到河里的概率为，则河流的宽度占总距离的，所以河宽为50020(m)二、填空题7.如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部
4、分的面积为_0.18_.解析由几何概型的概率可知，所求概率P0.18，.S阴0.18.8设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间 0,1上的数字，另一半均匀地刻上区间1,3上的数字，旋转它，则它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于上的概率是.解析由题意，记事件A为“陀螺停止时，其圆周上触及桌面的刻度位于”设圆的周长为C，则P(A).三、解答题9某同学向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分内的概率.解析由于是随机投掷飞镖，故可认为飞镖落在正方形内任一点的机会是均等的，因此落在阴影部分的概率应等于三角形面积与正方形面积的比，如图所示记“飞镖落在阴影内”为事件A，则P(A).10
5、设关于x的一元二次方程x22axb20.(1)若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间0,3任取的一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率解析设事件A为“方程x22axb20有实根”，当a0，b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为ab.(1)基本事件共有12个：(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,0)、(1,1)、(1,2)、(2,0)、(2,1)、(2,2)、(3,0)、(3,1)、(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含9个基本事件，故事件A发
6、生的概率为P(A).(2)试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3,0b2构成事件A的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab即如右图的阴影区域所示，所以所求的概率为P(A).B级素养提升一、选择题1在1 000 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率(B)A0B0.002C0.004D1解析由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出的2mL水样中有草履虫”，属于几何概型P(A)0.002.2在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为(C)ABCD解析本题考查几何概
7、型设ACx cm，则BC(12x) cm，x(12x)20，解得x2或x10，故所求概率P.3一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体六个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(A)ABCD解析根据几何概型知识，概率为体积之比，即P.选A4已知直线yxb在y轴上的截距在区间2,3内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是(B)ABCD解析由几何概型的概率公式知，所求概率P.二、填空题5如果在一个5万平方千米的海域里有表面积达40平方千米的大陆架贮藏着石油，假如在这个海域里随意选定一个点探，则钻到石油的概率是_0.000_8_.解析
8、如图，设为海域，A为贮藏着石油的大陆架，由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比，即P0.000 8.6如图所示，设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径倍的概率是.解析由图可知，符合条件的点应在与点A相对的另一半圆弧BC上，.三、解答题7某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10 min的概率.解析假设他在0 min60 min这段时间的任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这
9、符合几何概型的条件设事件A“等待时间不多于10 min”，事件A发生是打开收音机的时刻位于50,60时间段内，所以A605010，60.所以P(A).8设有一个正方形网络，其中每个最小正方形的边长都等于6 cm.现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公共点的概率.解析如图所示，硬币落下后与格线无公共点时，硬币中心应在如图所示的阴影部分(边长为4 cm的正方形)内，其概率为，故硬币落下后与格线有公共点的概率为1.C级能力拔高在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得AOC和BOC都不小于30的概率.解析如图设事件A“作射线OC，使AOC和BOC都不小于30”，A90303030，90，由几何概率公式得P(A).
