1、第5讲指数与指数函数考纲解读1.理解有理指数幂的含义，掌握指数幂的运算，并能通过具体实例了解实数指数幂的意义2理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性并掌握指数函数的图象及其通过的特殊点(重点、难点)3通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景，并体会指数函数是一类重要的函数模型考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的命题热点预测2021年高考主要以函数的图象、最值、比较大小、指数函数图象过定点为命题方向，也有可能与其他知识相结合进行考查.1.根式n次方根定义如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，nN*性质当n是奇数时，a的n次方根为x当n是偶数时，正数a的n次方根为x，负数的偶次方
2、根没有意义0的任何次方根都是0，记作 0续表根式定义式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数性质当n1且nN*时，()na(n为偶数时，a0)；当n1且n为奇数时，a(aR)；当n1且n为偶数时，|a|2有理数指数幂(1)幂的有关概念正数的正分数指数幂：a(a0，m，nN*且n1)正数的负分数指数幂：a(a0，m，nN*且n1)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质yax(a0且a1)a10a0时，y1；当x0时，0y0时，0
3、y1；当x1在R上是增函数在R上是减函数1概念辨析(1)已知为圆周率，则5.()(2)(2)6(2)6(2)38.()(3)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(4)若am0，且a1)，则m0，且a1)的图象可能是()答案C解析函数yaxa的图象过点(1,0)，排除A，B，D.(2)化简 的结果是_答案解析由题意得x0，且a1)的图象经过点A，则f(1)_.答案解析依题意可知a2，解得a，所以f(x)x，所以f(1)1.(4)若指数函数f(x)(a2)x为减函数，则实数a的取值范围为_答案(2，1)解析因为指数函数f(x)(a2)x为减函数，所以0a21，解得2a1.所以实数a的取值范围是
4、(2，1)题型 一指数幂的化简与求值1化简：(a2)()_(用分数指数幂表示)答案a解析(a2)()(a2a)(aa)aaaa.2. 0.00210(2)10(2)3的值为_答案18.25解析原式50010(2)1(23)1010201222.5210.2518.25.3若xx3，则的值为_答案解析由xx3，得xx129，所以xx17，所以x2x2249，所以x2x247.因为xx(xx)33(xx)27918，所以原式.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算如举例说明1.(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化
5、成分数，底数是带分数的，先化成假分数如举例说明2.(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答如举例说明1. 1化简a()5的值为_答案解析由题意，得a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0cd1ax4的解集为_答案x|1xx4，x22xx4，x22xx4，x23x40，解得1x0，且a1)型函数最值问题多用换元法，即令tax转化为yt2btc的最值问题，注意根据指数函数求t的范围(2)形如yaf(x)(a0，且a1)型函数最值问题，可令tf(x)，则yat
6、，先由x的取值范围求t的取值范围，再求yat的最值4对于形如yaf(x)的函数的单调性(1)若a1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数yaf(x)的单调增(减)区间；(2)若0a1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数yaf(x)的单调减(增)区间如举例说明3(1) 1(2019凌源模拟)设a，b，c，则a，b，c的大小关系为()Abca BabcCacb Dcab答案A解析因为函数yx在R上单调递减所以，即bc.又函数yx在(0，)上单调递增，所以，即ca.综上，bca.2设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是_答案(3,1)解析当a0时，不等式f(a)1可化为a71，即a8，即
7、a3.又a0，3a0.当a0时，不等式f(a)1可化为1.0a0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是()Aa Ba Ca Da答案C解析原式a2a.2(2020上饶摸底)已知a20.4，b90.2，c()3，则()Aabc BacbCcab Dcba答案A解析因为c()3330.7530.4，b90.230.4，所以bc，又20.430.4，即ab，所以abc.3(2019宜宾模拟)若函数f(x)2axmn(a0且a1)的图象恒过定点(1,4)，则mn()A3 B1 C1 D2答案C解析因为函数f(x)2axmn(a0且a1)的图象恒过定点(1,4)，所以1m0，且2a0n4.解得m1，n2，
8、所以mn1.4函数yax(a0且a1)与函数y(a1)x22x1在同一个坐标系内的图象可能是()答案C解析两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，1)，故排除A，D；二次函数的对称轴为直线x，当0a1时，指数函数单调递减，0，C符合题意；当a1时，指数函数单调递增，0，B不符合题意，故选C.5已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为()A. B. C. D.答案B解析当a1时，41a21，所以a；当a1时，4a12a(1a)，无解故选B.6设x0，且1bxax，则()A0ba1 B0ab1C1ba D1a0时，11.x0时，bx0时，x1.1，ab，1b0，
9、且a1，如果以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)f(x2)等于()A1 Ba C2 Da2答案A解析以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在y轴上，x1x20.又f(x)ax，f(x1)f(x2)ax1ax2ax1x2a01，故选A.8(2020中山一中摸底)化简：(2)(6)(3)_.答案4a解析原式(2ab)(6ab)(3ab)2(6)(3)ab4a.9函数f(x)的定义域为_答案(2，)解析由解得x2.所以函数f(x)的定义域为(2，)10(2019西安八校联考)已知函数f(x)(a2)ax(a0，且a1)，若对任
10、意x1，x2R，0，则a的取值范围是_答案(0,1)(2，)解析由题意知f(x)在R上是单调递增函数，当0a1时，a20，yax单调递减，所以f(x)单调递增；当1a2时，a22时，a20，yax单调递增，所以f(x)单调递增故a的取值范围是(0,1)(2，)组能力关1(2019菏泽联考)函数y2xx2的值域为()A. B.C. D(0,2答案A解析因为2xx2(x1)211，所以2xx21.所以函数y2xx2的值域为.2(2020湖南株洲月考)如图，四边形OABC是面积为8的平行四边形，ACCO，AC与BO交于点E，某指数函数yax(a0且a1)的图象经过点E，B，则a()A. B. C2
11、D3答案A解析设C(0，yC)，因为ACCO，则设A(xA，yC)，于是B(xA，2yC)，E.因为平行四边形OABC的面积为8，所以yCxA8，因为点E，B在yax的图象上，则axA2yC，ayC，所以y2yC，解得yC2或yC0(舍去)，则xA4，于是a44，因为a0，所以a.3若函数f(x)是奇函数，则使f(x)3成立的x的取值范围为()A(，1) B(1,0)C(0,1) D(1，)答案C解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即，整理得(a1)(2x2x2)0，a1，f(x)3，即为3，当x0时，2x10，2x132x3，解得0x1；当x0时，2x10，2x10，且a1，若函数y|ax2|与y3a的图象有两个交点，求实数a的取值范围解当0a1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y|ax2|与y3a的图象如图1.若直线y3a与函数y|ax2|(0a1)的图象有两个交点，则由图象可知03a2，所以0a1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y|ax2|与y3a的图象如图2.若直线y3a与函数y|ax2|(a1)的图象有两个交点，则由图象可知03a2，此时无解所以实数a的取值范围是.
