1、第1课时 两点间的距离、点到直线的距离、异面直线间的距离基础达标练1.（2020福建宁德一中高二月考）已知空间直角坐标系中,点A(1,2,3)关于xOy平面的对称点为点B ,关于原点的对称点为点C ,则B,C间的距离为( )A.5 B.14 C.25 D.214答案：C2.（2021天津武清第三中学高二月考）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为( )A.13 B.33 C.53 D.63答案：C3.（2020天津第五十五中学高二月考）在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AC与BC1之间的距离是( ) A.22 B.33 C.1
2、2 D.13答案：B4.如图,AB=AC=BD=1,AB平面,AC平面,BDAB,BD与平面成30角,则C,D间的距离为 .答案：2解析：|CD|2=|CA+AB+BD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CAAB+2ABBD+2CABD=1+1+1+0+0+211cos120=2 ,|CD|=2 .即C,D间的距离为2 .5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a ,则直线AC1与B1C的距离d为 .答案：66a解析：建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(a,0,0),C1(0,a,a),B1(a,a,a),C(0,a,0) ,AC1=(-a,a,a),B1C=
3、(-a,0,-a),AB1=(0,a,a),设AC1,B1C的公垂线的一个方向向量为n=(x,y,z),由nAC1=0,nB1C=0,得-ax+ay+az=0,-ax-az=0,令x=1 ,则z=-1,y=2,n=(1,2,-1) .d=|nAB1|n|=a6=66a .6.四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,AD=2AB=4 ,且PD与底面ABCD所成的角为45 ,求点B到直线PD的距离.答案：PA平面ABCD,PDA即为PD与平面ABCD所成的角,PDA=45,PA=AD=4 .以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
4、A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,4),D(0,4,0),DP=(0,-4,4) .设存在点E ,使DE=DP ,且BEDP ,设E(x,y,z),DE=(x,y-4,z)=(0,-4,4),x=0,y=4-4,z=4 ,E(0,4-4,4),BE=(-2,4-4,4) .BEDP,BEDP=-4(4-4)+44=0 ,解得=12 .BE=(-2,2,2),|BE|=4+4+4=23 ,故点B到直线PD的距离为23 .素养提升练7.（2021山东滕州第一中学新校高二月考）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,侧棱AA1底面ABCD .已知AB=1,AA1=3
5、,E为线段AB上的一个动点,则|D1E|+|CE|的最小值为( )A.22 B.10 C.5+1 D.2+2答案：B解析：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则A(0,0,0),D1(0,1,3),C(1,1,0).E为线段AB上的一个动点,设E(t,0,0)(0t1) ,则|D1E|=t2+1+3=t2+4,|CE|=(t-1)2+1,故问题转化为求|D1E|+|CE|=t2+4+(t-1)2+1的最小值问题,即转化为求平面直角坐标系tOu中的一个动点P(t,0)到两定点M(0,-2),N(1,1)的距离之和的最小值的问题,如图所示.由图可知,当M,P,N三点共线时,(|D1E|+|CE
6、|)min=t2+4+(t-1)2+1min=|MN|=1+9=10 ,故选B.8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,动点M在线段CC1上,动点P在平面A1B1C1D1上,且AP平面MBD1,则线段AP长度的取值范围为( )A.1,2 B.1,3C.32,2 D.62,2答案：D解析：以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),设M(0,1,t),t0,1,P(x,y,1),x,y0,1.则AP=(x-1,y,1),BD1=(-1,-1,1),BM=(-1,0,t),由AP平面
7、MBD1,知BMAP=0,且BD1AP=0,所以1-x+t=0 ,且1-x-y+1=0 ,得x=t+1,y=1-t .所以|AP|=(x-1)2+y2+1=2(t2-t+1)=2(t-12)2+32,当t=12时,|AP|min=62,当t=0或t=1时,|AP|max=2,所以62|AP|2 .9.ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(3,0,-5),C(1,3,-1) ,则AC边上的高BD的长为 .答案：29解析：由题意得AB=(2,1,-7) ,AC=(0,4,-3) ,AC边上的高BD=|AB|1-(cosAB,AC)2=541-(255425)2=29 .创新拓展练10.如图所示
8、的正方体是一个三阶魔方（由27个全等的棱长为1的小正方体构成）,正方形ABCD是上底面正中间的一个正方形,正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形,已知点P是线段AC上的动点,点Q是线段B1D上的动点,求线段PQ长度的最小值.解析：命题分析本题以具体的几何体三阶魔方为载体,考查空间中两点间的距离公式的应用,同时考查学生利用已有知识分析问题、解决问题的能力以及数学建模的核心素养.答题要领建立空间直角坐标系,写出点的坐标,求出|QP|2的表达式,从而可得PQ长度的最小值.答案：详细解析以B1为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图.则B1(0,0,0),A(1,2,3),C(2,1,3),D(2,2
9、,3),所以B1D=(2,2,3),AC=(1,-1,0),B1A=(1,2,3) ,设B1Q=B1D,AP=AC,0,1则B1Q=(2,2,3),B1P=B1A+AP=B1A+AC=(1+,2-,3) .则QP=B1P-B1Q=(1+-2,2-2,3-3),|QP|2=(1+-2)2+(2-2)2+(3-3)2=172-30+22-2+14=17(-1517)2+2(-12)2+934,当=1517且=12时,|QP|2取到最小值934 ,所以线段PQ长度的最小值为33434 .方法感悟本题主要考查空间向量的应用,利用空间向量求解距离的最值问题时,一般是把目标式表示出来,结合目标式的特征,选择合适的方法求解最值.
