1、第1课时 平面的法向量及线面位置关系基础达标练1.（多选）（2021江苏南京第十四中学高二月考）已知A(-4,6,-1),B(4,3,2) ,则下列各向量中是平面AOB（O是坐标原点）的一个法向量的是( )A.(-154,1,9) B.(154,1,-9)C.(-15,4,36)D.(15,4,-36)答案：B ; D2.若直线l的一个方向向量为a=(1,-2,3) ,平面的一个法向量为n=(-3,6,-9) ,则( )A.l B.lC.l D.l与相交答案：C3.已知平面的一个法向量为n=(1,-1,1) ,直线AB与平面相交但不垂直,则向量AB的坐标可以是( )A.(-2,2,-2)B.(
2、1,3,2)C.(2,1,-1)D.(1,2,3)答案：D4.（多选）在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为AB、CC1,A1D1,C1D1的中点,则下列结论中正确的是( )A.A1EAC1 B.BF平面ADD1A1C.BFDG D.A1ECH答案：B ; C ; D解析：设正方体的棱长为1,以D为原点,DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,1),E(1,12,0),C(0,1,0),F(0,1,12),C1(0,1,1) ,H(0,12,1),G(12,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0) ,则A1E=(0
3、,12,-1),AC1=(-1,1,1),BF=(-1,0,12),DG=(12,0,1),CH=(0,-12,1) .A1EAC1=-12 ,所以A1E与AC1不垂直,故A错误;显然平面ADD1A1的一个法向量为v=(0,1,0).BFv=0 ,所以BF平面ADD1A1,故B正确;BFDG=0 ,所以BFDG ,故C正确;A1E=-CH ,所以A1ECH,故D正确.5.平面的一个法向量为m=(k,2k,100) ,直线l的一个方向向量为n=(k,-1,0) ,若l ,则k= .答案：0或26.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,BCA=90,AA1=2,M,N,H分别是A
4、1B1,AA1,B1C1的中点.（1）求向量HN的模;（2）点P是线段AA1上一点,且A1P=14A1A ,求证：A1B平面C1MP .答案：（1）由题意知,CA,CB,CC1两两垂直,以C为原点,CA,CB,CC1的方向分别为x,y,z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,2),B1(0,1,2),C1(0,0,2) .N,H分别为A1A,B1C1的中点,H(0,12,2),N(1,0,1) ,则HN=(1,-12,-1),|HN|=12+(-12)2+(-1)2=32 .（2）证明：由题意可知,P(1,0,32),M(1
5、2,12,2) ,设平面C1MP的一个法向量为n=(x,y,z),C1M=(12,12,0),C1P=(1,0,-12) ,则nC1M=12x+12y=0,nC1P=x-12z=0,令x=1,y=-1,z=-2 ,n=(1,-1,2),又A1B=(-1,1,-2)=-n,n/A1B,A1B平面C1MP .素养提升练7.在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=AA1=2 ,D是BB1的中点,若E是线段A1C1上一点,且DE平面A1BC ,则点E的坐标为( )A.(0,1,2)B.(0,12,2)C.(0,14,2) D.(0,32,2)答案：A解析：根据题意建立如图所示的空间直
6、角坐标系,则B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),D(2,0,1),C1(0,2,2),BC=(-2,2,0),BA=(-2,0,2),A1C1=(0,2,0),由A1E=A1C1=(0,2,0) ,得点E的坐标为(0,2,2) ,则DE=(-2,2,1),设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),由BCn=0,BA1n=0,可得-2x+2y=0,-2x+2z=0,令x=1 ,得y=z=1 ,所以n=(1,1,1) ,所以nDE=-2+2+1=0 ,解得=12 ,故点E的坐标为(0,1,2).8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是BC,DD1
7、上的点,如果B1E平面ABF ,则CE与DF的长度之和为答案：1解析：以D1为原点,以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系（图略),设CE=x,DF=y ,则E(x,1,1),F(0,0,1-y),A(1,0,1),B1(1,1,0),所以AF=(-1,0,-y),B1E=(x-1,0,1) .又B1E平面ABF ,所以B1EAF ,则B1EAF=0 ,所以x+y=1 .9.如图所示,在直角梯形ABCP中,APBC,APAB,AB=BC=12AP=2,D是AP的中点,E、F、G分别为PC、PD、CB的中点,将PCD沿CD折起,使得PD平面ABCD .请用向
8、量法证明AP平面EFG .答案：证明如图,以D为原点,DA,DC,DP的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系Dxyz ,则P(0,0,2),C(0,2,0),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,0,0) .AP=(-2,0,2),EF=(0,-1,0),EG=(1,1,-1) .设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z) .nEF=0,nEG=0-y=0,x+y-z=0x=z,y=0.令x=z=1 ,n=(1,0,1) .nAP=1(-2)+00+12=0,nAP .又AP平面EFG,AP平面EFG .创新拓展练10.如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中
9、,PA平面ABCD,AP=AB=2,E,F,G是BC,PC,CD的中点.（1）求证：BG平面PAE ;（2）在线段BG上是否存在点H ,使得FH平面PAE？若存在,求出BHBG的值;若不存在,说明理由.解析：命题分析本题以四棱锥为载体,应用空间向量解决线面垂直问题以及线面平行的探索性问题,体现了数与形的灵活转化,体现了向量在解决立体几何问题中的工具性.答题要领（1）以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,证出BGAP=0 ,且BGAE=0 ,根据线面垂直的判定定理证明.（2）假设存在,利用线面垂直的定义证出FHBG=0即可.答案：详细解析（1）证明：因为
10、四棱锥P-ABCD的底面是正方形,且PA平面ABCD ,所以AP,AB,AD两两互相垂直.以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0) ,因为E,F,G分别是BC,PC,CD的中点,所以E(2,1,0),F(1,1,1),G(1,2,0) ,所以BG=(-1,2,0),AP=(0,0,2),AE=(2,1,0) ,所以BGAP=0 ,且BGAE=0 .所以BGAP,BGAE ,又AEAP=A,AE,AP平面PAE ,所以BG平面PAE .（2）存在.理由：如图,假设在线段BG上存在点H ,使得FH平面PAE .设BH=BG(01) ,则FH=FB+BH=AB-AF+BG=(1-,2-1,-1) .因为FH平面PAE,BG平面PAE ,所以FHBG=(-1)(1-)+2(2-1)+0(-1)=5-3 .所以=35 .所以在线段BG上存在点H ,使得FH平面PAE .其中BHBG=35 .方法感悟本题重点考查了空间向量法求解立体几何中的位置关系问题,处理存在性问题的关键是假设成立,利用直线与平面平行等价于直线与平面的法向量垂直来构造方程,求得未知量.
