1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 必修5第一章 解三角形成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5解三角形 第一章 第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5章末归纳总结第一章 第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5专 题 研 究 4知 识 结 构 1学 后 反 思 2规 律 总 结 3解 题 模 板 5第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5知 识 结 构第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5第一章 章末归纳总结成才之路 高
2、中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5学 后 反 思第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修51应用正、余弦定理解三角形正弦定理、余弦定理的主要功能是实现了三角形中的边角互化，将三角形中的“边角混合”关系转化为单一的“边”或单一的“角”的关系，从而使许多问题得以解决利用正弦定理、余弦定理，可以解决三角形中的以下几类问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和一角，求第三边和其他两个角；(3)已知两角与任意一边，求其他两边和一角第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5三角形中的几何计算的难点是运算问题，由于可以将正弦定理、
3、余弦定理看成几个“方程”，那么三角形中的几何计算实质上就是把已知信息按方程的思想进行处理，解题时应根据已知和未知合理选择一个“容易解”的方程，从而使解题过程简捷，要通过加强训练，达到“算法简练，计算准确”的要求第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修52解三角形应用题的一般思路解三角形应用题，一般可按如下四步考虑：(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形的模型；(3)选择正弦定理或余弦定理求解；第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5(4)将三角
4、形的解还原为实际问题，注意实际问题中对单位、近似计算的要求这一思路可描述如下：第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5第(2)步是基础，第(3)步是关键要顺利完成解三角形应用题，必须熟练掌握解三角形的四种常见类型，即已知两角和一边，求其他边与角；已知两边及一边的对角，求其他边与角；已知两边及夹角，求其他的边与角；已知三边，求各角其次要在计算中灵活选用正、余弦定理及与三角形有关的几何性质解决问题最后，要根据题目的实际意义作出回答第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5规 律 总 结第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指
5、导 人教B版 数学 必修51三角形中的边角关系(1)三角形内角和定理ABC.(2)三角形中的诱导公式sin(AB)sinC，cos(AB)cosC，tan(AB)tanC；sinAB2cosC2，cosAB2sinC2，tanAB2cotC2.第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5(3)三角形中的边角关系三角形中等边对等角，大边对大角，反之亦然；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修52判断三角形的形状(1)判断三角形形状常用的方法化边为角化角为边要根据条件，正确选择公式
6、、定理例如，在ABC 中，已知abcosBcosA，判断三角形形状可利用余弦定理将 cosA，cosB转化为边的关系来解，也可利用正弦定理将ab转化为sinAsinB来解第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5(2)常见的思考方向是否两边(或两角)相等是否三边(或三角)相等是否有直角、钝角第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5(3)解三角形中的常用结论在ABC 中，ABabsinAsinBcosAcosB在ABC 中，sinABCabc.在ABC 中，ABC，ABC，AB22C2，则 cos(AB)cosC，sin(AB)s
7、inC，sinAB2cosC2.在ABC 中，a2b2c2cosC2；a2b2c2cosC0C2；a2b2c2cosC00C2.第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5专 题 研 究第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5专题一 应用正、余弦定理解三角形这类问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定应用哪个定理入手解决解斜三角形有下表所示的四种情况：第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a、B、C)正弦定理由ABC180求出角A；由正弦定理求出
8、b与c；S12acsinB在有解时只有一解两边和夹角(如a、b、C)余弦定理由余弦定理求出第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由ABC180求出另一角，S12absinC在有解时只有一解第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5已知条件应用定理一般解法三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用ABC180求出角C，S12absinC在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a、b、A)正弦定理由正弦定理求出角B，由ABC180求出角C，再利用正弦定理求出c边，S12absinC可有两解，一解或无解.第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指
9、导 人教B版 数学 必修5在ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是()Ab20，A45，C80Ba30，c28，B60Ca14，b16，A45Da12，c15，A120第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5解析 解法一：A中已知两角及一边有唯一解；B中已知两边及夹角，有唯一解；C中，bsinA82 14ab有两解；D中，A是最大角，但ac，无解解法二：由a14，b16，A45及正弦定理得，sinB16 sin4514，所以sinB4 27，因为ac，已知 BA BC 2，cosB 13，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值第一章 章末归
10、纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5解析(1)由BA BC 2得cacosB2.又cosB13，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accosB又b3，所以a2c292213.解ac6a2c213，得a2，c3或a3，c2.因ac，所以a3，c2.第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5(2)在ABC中，sinB 1cos2B11322 23.由正弦定理，得sinCcbsinB232 23 4 29.因abc，所以C为锐角，因此cosC1sin2C14 29 279.于是cos(BC)cosBcosCsinBsinC13792 23
11、 4 292327.第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5(2015山东文，17)ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知cos B33，sin(AB)69，ac2 3，求sin A和c的值解析在ABC中，由cos B 33，得sin B 63.因为ABC，所以sin Csin(AB)69.因为sin Csin B，所以CB，可知C为锐角，所以cos C5 39.第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5因此sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 63 5 39 33 69 2 23.由
12、asin Acsin C，可得ac sin Asin C 2 23 c692 3c，又ac2 3，所以c1.第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5专题二 判断三角形的形状根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边常见具体方法有：通过正弦定理实施边角转换；通过余弦定理实施边角转换；通过三角变换找出角之间的关系；通过三角函数值符号的判断及正、余弦函数有界性的讨论；另外要注意b2c2a20A为锐角，b2c2a20A为直角，b2c2a21，即a2b2c2，即a2b2c20，于是cosCa2b2c22ab0且sinCAD0，则由正余弦
13、的关系可得sinBAD1cos2BAD3 2114且sinCAD1cos2CAD 217，第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5再有正弦的和差角公式可得sinBACsin(BADCAD)sinBADcosCADsinCADcosBAD3 2114 2 77 217(714)3 37 314 32，在ABC中，由正弦定理可得ACsinCBABCsinBACBC7 216 32 3.第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5在ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，a4，A30，bx(x0)，判断三角形解的情况思路分析
14、由于b不确定，所以无法知道a与b的大小关系，从而无法判断B是锐角还是直角或钝角，这就需要对x的取值范围分类讨论规范解答 a4，bx，A30.当x4时，由大边对大角知B为锐角，sinBxsinAax4sin3012，此时ABC有一解；第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5当4x8时，sinBxsinAax4sin30 x8，得12sinB8时，sinBxsinAa1，B无解，ABC无解综上，当x4，或x8时，ABC有一解；当4x8时，ABC无解第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一
15、侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数yAsinx(A0，0)，x0,4的图象，且图象的最高点为S(3，2 3)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP120.(1)求A、的值和M、P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5思路分析(1)分析图象及数据可求出A、，进而求MP长；(2)连接MP，以PMN为自变量，以MNP的长度为函数，建立函数关系式，运用函数的方法求最大值规范解答(1)观察图象，有A2 3，T43，又T2，6，y2 3sin6x.当x4
16、时，y2 3sin23 3，所以M(4,3)又P(8,0)，MP 42325.第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5(2)如图所示，连接MP.在MNP中，MNP120，MP5，设PMN，则060.由正弦定理，得MPsin120 NPsinMNsin60.则NP10 33sin，MN10 33sin(60)第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5故MNNP10 33sin10 33sin(60)10 33(12sin 32 cos)10 33sin(60)060，6060120.当6090，即30时，折线段赛道MNP最长答：将
17、PMN设计为30时，折线段赛道MNP最长第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5如图，在四边形ABCD中，BCa，DC2a，四个角A、B、C、D的度数之比为37410，求AB的长思路分析 将四边形分割成两个三角形，然后在相关的三角形中分别应用余弦定理和正弦定理求解，其中的关键是求公共边BD，缺少了它的“桥梁”作用，问题就不能顺利解决第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5规范解答 设四个角A、B、C、D的度数依次为3x、7x、4x、10 x，由四边形的内角和定理有3x4x7x10 x360，x15，A45，B105，C60，D150.连接BD，在BCD中，由余弦定理，得BD2a2(2a)22a2acos603a2，BD 3a，第一章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5DC2BD2BC2，BCD 是以 DC 为斜边的直角三角形，CDB30，ADB120.在 ABD 中，由 正 弦 定 理，得 AB BDsinADBsinA3asin120sin4532 2a.AB 的长为3 22 a.
