1、第4讲直线与圆锥曲线的位置关系考纲展示命题探究1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元二次方程即消去y得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切或相交；0时，直线与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出x1x2，x1x2，则弦长为|AB|x1x2|y1y2|(k为直线的斜率且k0)，当A，B两点坐标易求时也可直接用|AB|求出3
2、圆锥曲线以P(x0，y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率圆锥曲线方程直线斜率椭圆：1(a0，b0)k双曲线：1(a0，b0)k抛物线：y22px(p0)k其中k(x1x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标注意点直线与圆锥曲线的相切与只有一个公共点的关系直线与椭圆(圆)只有一个公共点是直线与椭圆(圆)相切的充要条件，而直线与双曲线(抛物线)只有一个公共点，只是直线与双曲线(抛物线)相切的必要不充分条件. 1思维辨析(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点()(3)直线l与抛物线C
3、相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点()(4)如果直线xtya与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|y1y2|.()(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2椭圆ax2by21与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为()A. B.C. D.答案A解析联立椭圆方程与直线方程，得ax2b(1x)21，即(ab)x22bxb10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y21x11x22，AB中点坐标
4、为，AB中点与原点连线的斜率k.故选A.3直线l经过抛物线y24x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为_答案xy10或xy10解析设直线l的斜率为k，则方程为yk(x1)，与y24x联立得：k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，|AB|x1x2p28得k21，k1，l的方程为：xy10或xy10.考法综述直线与圆锥曲线位置关系的判断、相交弦的弦长计算、中点弦问题等是考查热点，同时与函数、数列、平面向量等知识综合考查，难度较大命题法1直线与圆锥曲线的位置关系典例1(1)若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则
5、k的取值范围是()A. B.C. D.(2)若直线l：y(a1)x1与曲线C：y2ax恰好有一个公共点，则实数a的取值为()A. B1,0C. D.解析(1)由，得(1k2)x24kx100.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得k)将点A(1，)代入方程得1，整理得a45a240，解得a24或a21(舍去)，故所求椭圆方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，B、C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由得4x22mxm240，则8m216(m24)8(8m2)0，0m28.由x1x2m，x1x2，得|BC|x1x2|.又点A到BC的距离为d，故SAB
6、C|BC|d ，当且仅当2m2162m2，即m2时取等号当m2时，满足0m2b0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1.由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxn，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n
7、260.于是x3,4.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|x4x3| .由已知，四边形ACBD的面积S|CD|AB| .当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.【解题法】弦中点问题的解题策略(1)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时，常用“点差法”“设而不求法”，并借助一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验(2)点差法求解弦中点问题的基本步骤为：设点：即设出弦的两端点坐标代入：即代入圆锥曲线方程作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求
8、解1过点P(2,0)的直线与抛物线C：y24x相交于A、B两点，且|PA|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为()A. B.C. D2答案A解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，分别过点A、B作直线x2的垂线，垂足分别为点D、E.|PA|AB|，又得x1，则点A到抛物线C的焦点的距离为1.2设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B.C. D.答案D解析由已知得F，故直线AB的方程为ytan30，即yx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立将代入并整理得x2x0，x1x2，线段|AB|x1x2p12.又原点(
9、0,0)到直线AB的距离为d.SOAB|AB|d12.3.已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A. B.C. D.答案D解析由题意可知准线方程x2，p4，抛物线方程为y28x.由已知易得过点A与抛物线y28x相切的直线斜率存在，设为k，且k0，则可得切线方程为y3k(x2)联立方程消去x得ky28y2416k0.(*)由相切得644k(2416k)0，解得k或k2(舍去)，代入(*)解得y8，把y8代入y28x，得x8，即切点B的坐标为(8,8)，又焦点F为(2,0)，故直线BF的斜率为.4已知F为抛物线
10、y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3C. D.答案B解析设AB所在直线方程为xmyt.由消去x，得y2myt0.设A(y，y1)，B(y，y2)(不妨令y10，y2b0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解(1)由题意有，1，解得a28，b24.所以C的方程为1.(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykx
11、b代入1得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值8已知椭圆E：1(ab0)过点(0，)，且离心率e.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：xmy1(mR)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由解解法一：(1)由已知得，解得所以椭圆E的方程为1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0)由得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，从而y0.所以|GH|22y2y(m21)ymy0.(1m2)(yy1y2)，故|GH|2
12、my0(1m2)y1y20，所以|GH|.故点G在以AB为直径的圆外解法二：(1)同解法一(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，.由得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，从而y1y2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)0，所以cos，0.又，不共线，所以AGB为锐角故点G在以AB为直径的圆外9已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方
13、程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.10圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)双曲线C1：1过点P且离心率为.(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线
14、l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程解(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4.此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S.由xy42x0y0，知当且仅当x0y0时x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)由题意知解得a21，b22，故C1的方程为x21.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(，0)，(，0)，由此设C2的方程为1，其中b10.由P(，)在C2上，得1，解得b3.因此C2的方程为1.显然，l不是直线y0.设l的方程为xmy，点A(x1，y1)，B(x
15、2，y2)，由得(m22)y22my30，又y1，y2是方程的根，因此由x1my1，x2my2，得因为(x1，y1)，(x2，y2)由题意知0，所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)40.将，代入式整理，得2m22m4110，解得m1或m1.因此直线l的方程为xy0或xy0.11如图，已知两条抛物线E1：y22p1x(p10)和E2：y22p2x(p20)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点(1)证明：A1B1A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点记A1B1C1与A2B2C
16、2的面积分别为S1与S2，求的值解(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为yk1x，yk2x(k1，k20)，则由得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以2p1.2p2.故，所以A1B1A2B2.(2)由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，C1A1C2A2.所以A1B1C1A2B2C2.因此2.又由(1)中的知.故.已知抛物线y24x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N.求证：直线MN恒过定点错解错因分析直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个
17、方程必有一组常数解本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线MN的方程时计算错误；二是在得到了直线系MN的方程后，对直线恒过定点的意义不明，找错方程的常数解正解设M(xM，yM)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由题设，知F(1,0)，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的斜率为k，其方程为yk(x1)(k0)，代入y24x，得k2x22(k22)xk20，得xM，又yMk(xM1)，故M.设直线CD的斜率为k，因为CDAB，所以k.同理，可得N(2k21，2k)所以直线MN的方程为(y2k)(x2k21)，化简整理，得yk2(x3)ky0，该方程对任意k恒成立，故解得故不论k为何值，
18、直线MN恒过定点(3,0)心得体会时间：90分钟基础组1.2016衡水二中预测抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4 B3C4 D8答案C解析y24x，F(1,0)，l：x1，过焦点F且斜率为的直线l1：y(x1)，与y24x联立，解得A(3，2)，AK4，SAKF424.故选C.22016枣强中学月考已知双曲线1(a0，b0)上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当ln |k1|ln |k2|最小时，双曲线离心率为()A. B.C.1 D2答案B
19、解析设点A(x1，y1)，C(x2，y2)，由于点A，B为过原点的直线与双曲线的交点，所以根据双曲线的对称性可得A，B关于原点对称，即B(x1，y1)则k1k2，由于点A，C都在双曲线上，故有1，1，两式相减，得0，所以k1k20.则ln |k1|ln |k2|ln (k1k2)，对于函数yln x(x0)利用导数法可以得到当x2时，函数yln x(x0)取得最小值故当ln |k1|ln |k2|取得最小值时，k1k22，所以e ，故选B.32016衡水二中猜题斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A2 B.C. D.答案C解析设A、B两点的坐标分别为(x1，y
20、1)、(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0.(2t)25(t21)0，即t20，直线与椭圆有两个交点，yx1是“A型直线”把y2代入1，得不成立，直线与椭圆无交点，y2不是“A型直线”把yx3代入1并整理得，7x224x240，(24)247240，y2x3是“A型直线”62016冀州中学热身已知焦点在y轴上的椭圆C1：1经过点A(1,0)，且离心率为.(1)求椭圆C1的方程；(2)过抛物线C2：yx2h(hR)上点P的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与y轴平行时，求h的最小值解(1)由题意可得解得a2，b1，所以
21、椭圆C1的方程为x21.(2)设P(t，t2h)，由y2x，得抛物线C2在点P处的切线斜率为ky|xt2t，所以MN的方程为y2txt2h，代入椭圆方程得4x2(2txt2h)240，化简得4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.又MN与椭圆C1有两个交点，故16t42(h2)t2h240，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点的横坐标为x0，则x0，设线段PA中点的横坐标为x3，由已知得x0x3，即，显然t0，所以h，当t0时，t2，当且仅当t1时取等号，此时h3，不满足式，故舍去；当t0得12k2m2，且x1x2.POQ的重心恰好在圆x2y2上，(x1x2)2(y1y2)
22、24，即(x1x2)2k(x1x2)2m24，即(1k2)(x1x2)24km(x1x2)4m24.4m24，化简得m2，代入式得2k20，k0，又m211.k0，m21，m1或mb0)，根据已知得解方程组得椭圆E的方程为1.(2)动点P(m，n)满足|PF1|PF2|10，P(m，n)是椭圆E上的点1.，m2n29.曲线M是圆心为(0,0)，半径r的圆，圆心(0,0)到直线mxny1的距离d0.|AB|y1y2|4(m21)所以4(m21)20，解得m2，所以直线l的方程是x2y1，即x2y10.102016枣强中学模拟已知点A、B的坐标分别是(1,0)、(1,0)直线AM，BM相交于点M，
23、且它们的斜率之积为2.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程解(1)设M(x，y)因为kAMkBM2，所以2(x1)，化简得2x2y22(x1)，即为动点M的轨迹方程(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)当直线lx轴时，直线l的方程为x，则C，D，此时线段CD的中点不是点N，不合题意故设直线l的方程为y1k.将C(x1，y1)，D(x2，y2)代入2x2y22(x1)，得2xy2，2xy2.整理得k1.所以直线l的方程为y1，即2x2y30.112016衡水二中期末已知定点G(3,0)，S是圆C：(x3)2y272上
24、的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E，设点E的轨迹为M.(1)求M的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l，使得l与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)由题意，知|EG|ES|，|EG|EC|ES|EC|6，又|GC|60，化简得m227，解得3mb0)的离心率为，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M，N两点在椭圆C上，且(0)，定点A(4,0)(1)求证：当1时，；(2)若当1时有，求椭圆C的方程；(3)在(2)的条件下，M，N两点在椭圆C上运动，当tanMAN的值为6时，求出直线MN的方程解(1)证明：设M(x1，y1)
25、，N(x2，y2)，F(c,0)，则(cx1，y1)，(x2c，y2)，当1时，y1y2，x1x22c，由M，N两点在椭圆上，xa2，xa2，xx.若x1x2，则x1x202c(舍去)，x1x2，(0,2y2)，(c4,0)，0，.(2)当1时，不妨设M，N，(c4)2，a2c2，b2，c28c16，c2，a26，b22，故椭圆C的方程为1.(3)因为tanMAN2SAMN|AF|yMyN|6，由(2)知点F(2,0)，所以|AF|6，即得|yMyN|.当MNx轴时，|yMyN|MN|，故直线MN的斜率存在，不妨设直线MN的方程为yk(x2)(k0)联立得(13k2)y24ky2k20，yMy
26、N，yMyN，|yMyN|，解得k1.此时，直线MN的方程为xy20或xy20.能力组13.2016冀州中学仿真已知F1、F2是双曲线1(a0，b0)的左、右两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N(设点M、N均在第一象限)，当直线MF1与直线ON平行时，双曲线的离心率的取值为e0，则e0所在的区间为()A(1，) B(，)C(，2) D(2,3)答案A解析由可得N，由可得M(a，b)，又F1(c,0)，则kMF1，kON，MF1ON，ab(ac)，又b2c2a2，2a2cc32ac22a3，2e0e2e2，设f(x)x32x22x2，f(x)3x24x
27、2，当x1时，f(x)0，所以f(x)在(1，)上单调递增，即f(x)在(1，)上至多有1个零点，f(1)12220，1e01，且e2，可得e1，令12e1t，则0t，e1e2.又f(t)t2在上为减函数，则0tf，0t，故e1e2.152016衡水二中模拟如图，F是椭圆的右焦点，以点F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点，设P是椭圆上的动点，点P到椭圆两焦点的距离之和等于4.(1)求椭圆和圆的标准方程；(2)设直线l的方程为x4，PMl，垂足为M，是否存在点P，使得FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由题意，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知可得2a4，a
28、2c，解得a2，c1，b2a2c23.椭圆的标准方程为1，圆的标准方程为(x1)2y21.(2)设P(x，y)，则M(4，y)，F(1,0)，其中2x2，P(x，y)在椭圆上，1，y23x2.|PF|2(x1)2y2(x1)23x2(x4)2，|PM|2|x4|2，|FM|232y212x2.若|PF|FM|，则(x4)212x2，解得x2或x4(舍去)，当x2时，P(2,0)，此时P、F、M三点共线，不符合题意，|PF|FM|；若|PM|PF|，则(x4)2(x4)2，解得x4，不符合题意；若|PM|FM|，则(x4)212x2，解得x4(舍去)或x，当x时，y，P，满足题意综上可得，存在点
29、P或，使得FPM为等腰三角形162016枣强中学期末如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2QB2，求直线l的方程解(1)设所求椭圆的标准方程为1(ab0)，右焦点为F2(c,0)因为AB1B2是直角三角形，又|AB1|AB2|，所以B1AB2为直角，因此|OA|OB2|，则b，又c2a2b2，所以4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1
30、B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由题设条件SAB1B24得b24，从而a25b220.因此所求椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1y2，y1y2.又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得0，即16m2640，解得m2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x2y20和x2y20.
