1、河北省唐山遵化市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题）1.直线x+2y+3=0的斜率是（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】将直线的一般式方程整理为直线的斜截式方程,即可求出直线的斜率【详解】解：由题可得,则直线斜率为故选：A【点睛】本题考查直线的一般式方程与斜截式方程的转化,考查直线的斜率,是基础题2.若是异面直线，直线，则与的位置关系是（ ）A. 相交B. 异面C. 平行D. 异面或相交【答案】D【解析】【详解】若为异面直线，且直线，则与可能相交，也可能异面，但是与不能平行，若，则，与已知矛盾，选项、不正确故选：3.点（1，2）到
2、直线3x-4y-3=0的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用点到直线的距离公式代入即可求解【详解】解：点到直线距离为故选：B【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的计算,解题的关键是熟记点到直线的距离公式,属于基础题4.如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可判断这四个几何体依次为（ ）A 三棱台、三棱柱、圆锥、圆柱B. 三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C. 三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D. 三棱柱、三棱台、圆锥、圆台【答案】C【解析】【分析】根据三视图复原,判断4个几何体的形状特征,然后确定选项即可【详解】解：如图（1）三视图复原的几何体是
3、放倒的三棱柱；（2）三视图复原的几何体是四棱锥；（3）三视图复原的几何体是圆锥；（4）三视图复原的几何体是圆台所以（1）（2）（3）（4）的顺序为：三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台故选：C【点睛】本题考查简单几何体的三视图,考查空间想象能力,是基础题5.已知线段的中垂线方程为且，则点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设B的坐标为(a,b)，由题意可知，解得a=2，b=2，所以B点坐标为是(2,2).故选A.点睛：在求一个点关于直线的对称点时，可以根据以下两个条件列方程：（1）两点的中点在对称直线上；（2）两点连线的斜率与对称直线垂直.6.关于直线m、n及平面、，下列命题中正确的
4、是（ ）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】A【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一核对四个命题即可得到答案【详解】解：A.正确,若m,则内存在直线l使得lm,又m,故l,又l,故；B错误,若m且n,则m与n可能平行,可能相交也可能异面；C错误,若m,mn时,则n或n或n；D错误,若m,=n,则mn或异面故选：A【点睛】本题考查了线线、线面平行和垂直关系的判断,熟练掌握线面平行、垂直的判定与性质定理是解题的关键7.直线x+（1+m）y=2-m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（ ）A. 1B. C. 1或D. 【答案】A【解析】【分析】若直线平行,
5、可得,求解即可【详解】解：直线和直线平行,解得或,当时,两直线重合故选：A【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系,需要注意两直线重合的情况,若为,为,当时,8.如图,长方体中,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得，从而可得结论.【详解】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则可得，设异面直线与所成的角为,则，故选D.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，
6、再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.9.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A、B，则以AB为直径的圆的方程是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出两点坐标，为直径的圆的圆心是的中点，半径是的一半，由此可得到圆的方程.【详解】由x0得y3，由y0得x4，A(4,0)，B(0,3)，以AB为直径的圆的圆心是(2，)，半径r，以AB为直径的圆的方程是，即，故选A【点睛】本题主要考查圆的方程，属于基础题. 求圆的方程常见思路与方法有:直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；根据几
7、何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.10.如图所示，在长方体中，则与平面所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】如图，作出在平面上的射影，求出和，然后直接求正弦值即可【详解】如图所示，在平面内过点作的垂线，垂足为，连接.平面，的正弦值即为所求.，.【点睛】本题考查线面角的计算问题，属于基础题，解题核心在于找到平面外直线在平面的射影11.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：，所以直线过定点，曲线变形为，表示圆的
8、上半部分，当直线与半圆相切时直线斜率为，当直线过点时斜率为，结合图像可知实数的取值范围是考点：直线与圆相交的问题12.如图，在正三棱柱中，若二面角的大小为，则点C到平面的距离为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】取的中点，连接和，由二面角的定义得出，可得出、的值，由此可计算出和的面积，然后利用三棱锥的体积三棱锥的体积相等，计算出点到平面的距离.【详解】取的中点，连接和，根据二面角的定义，.由题意得，所以，.设到平面的距离为，易知三棱锥的体积三棱锥的体积相等，即，解得，故点C到平面的距离为.故选：C.【点睛】本题考查点到平面距离的计算，常用的方法有等体积法与空间向量法，等体
9、积法本质就是转化为三棱锥的高来求解，考查计算能力与推理能力，属于中等题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，4，5，则体对角线长为 【答案】【解析】试题分析:由题设可得故应填答案考点：长方体的对角线的及计算14.两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点为_，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_或_【答案】 (1). （3，-2） (2). 2x+3y=0 (3). x+y-1=0【解析】【分析】联立两直线方程即可求得交点坐标；分类讨论直线过原点与不过原点的情况,求解直线方程即可【详解】解：联立,解得,两直线和的交点为；当直线
10、过原点时,直线方程为,即,当直线不过原点时,设直线方程为,则,即,直线方程为经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或故答案为：；【点睛】本题考查两直线的交点坐标,考查直线的斜截式方程,考查分类讨论思想15.过点且与圆相切直线方程 _【答案】【解析】解：因为点在圆上，则过圆上点的切线方程为化为一般式即为16.在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列命题正确的序号是_异面直线AB与CD所成角90；直线AB与平面BCD所成角为60；直线EF平面ACD平面AFD平面BCD【答案】【解析】【分析】在中,由AB平面CDE，知异面直线AB与CD所成角为90；在中,直线AB与平面B
11、CD所成角为；在中由EFAC,知直线EF平面ACD；在中,由BC平面ADF,知平面AFD平面BCD,从而得到结果【详解】解：正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，在中,正四面体ABCD中,点E、F分别是AB,BC的中点,CEAB,DEAB,又,AB平面CDE,CD平面CDE,即异面直线AB与CD所成角为90,故正确；在中,过A作AO平面BCD,交DF=O,连结BO,则ABO是直线AB与平面BCD所成角,设正四面体ABCD的棱长为2,则DF=,BO=,cos=直线AB与平面BCD所成角为,故错误；在中,点E、F分别是AB,BC的中点,EFAC,EF平面ACD,AC平面ACD,直线E
12、F平面ACD,故正确；在中,由AFBC,DFBC,又,BC平面ADF,BC平面BCD,平面AFD平面BCD,故正确故答案为：【点睛】本题考查命题真假的判断,考查线线成角、线面角,考查直线与直线,直线与平面的位置关系,考查空间想象能力三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程【答案】（1）；（2）【解析】(1)已知圆C：的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l斜率为2，直线l的方程为y=2(x-1),即 2x-y-2=0.(2)当弦
13、AB被点P平分时，lPC, 直线l的方程为, 即 x+2y-6=018.如图，已知圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点，若直线PQ与SO所成的角为，求此圆锥的表面积和体积【答案】表面积100，体积【解析】【分析】取OA的中点M,连结PM,QM,则PMSQ,且PM=,MPQ为PQ与SO所成的角,由此能求出此圆锥的表面积和体积【详解】解：取OA的中点M,连结PM,QM,则PMSO,且PM=,故MPQ为PQ与SO所成的角,在RtMPQ中,MPQ=,则PM=QM,由点Q为半圆弧的中点知OQAB,在RtMOQ中,OQ=10,OM=5,得MQ=,故PM=,所以SO=10,Rt
14、SOA中,SA=10,此圆锥的表面积：,此圆锥的体积：【点睛】本题考查圆锥的表面积和体积的求法,考查空间中线线关系等基础知识,考查空间想象能力19.已知圆C经过抛物线y=x2-4x+3与坐标轴的三个交点（1）求圆C的方程；（2）设直线2x-y+2=0与圆C交于A，B两点，求|AB|【答案】(1) （x-2）2+（y-2）2=5(2)【解析】【分析】（1）求出抛物线与坐标轴的交点坐标,确定圆心与半径,即可求圆C的方程；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,再由圆的半径,利用垂径定理及勾股定理即可求出|AB|的长【详解】解：（1）抛物线与坐标轴的交点分别是,所求圆的圆心是直线与的交点,
15、圆的半径是,于是圆C的方程为 （2）圆心C到直线的距离,【点睛】本题考查了圆C的方程,考查直线与圆相交的性质,熟练掌握点到直线的距离公式,圆的标准方程,垂径定理,以及勾股定理是解本题的关键20.如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点（1）求证：VB平面MOC；（2）求证：平面MOC平面VAB（3）求三棱锥V-ABC的体积【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3)【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线得出OMVB,利用线面平行的判定定理证明VB平面MOC；（2）证明OC平面VAB,即可证明平面MOC平
16、面VAB（3）利用等体积法求三棱锥V-ABC的体积【详解】（1）证明：O,M分别为AB,VA的中点,OMVB,VB平面MOC,OM平面MOC,VB平面MOC；（2）AC=BC,O为AB的中点,OCAB,平面VAB平面ABC,OC平面ABC,OC平面VAB,OC平面MOC,平面MOC平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,AB=2,OC=1,等边三角形VAB 中,SVAB=,OC平面VAB,VC-VAB=SVAB=,VV-ABC=VC-VAB=【点睛】本题考查线面平行的判定,考查平面与平面垂直的判定,考查体积的计算,正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键21.已知圆与圆
17、.(1)求证两圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）将圆的方程化为标准方程，求出圆心距及半径，即可证明两圆相交；（2）对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程；（3）先求两圆的交点，进而可求圆的圆心与半径，从而可求圆的方程试题解析：(1)证明:圆与圆化为标准方程分别为圆与圆,与圆,半径都为圆心距为，两圆相交.(2)解:将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程,即,即.(3)解:由(2)得代入圆,化简可得,，当时,;当时,设所求圆的圆心坐标为,则,，,过两圆的交
18、点且圆心在直线上的圆的方程为.22.如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，BAD=60，G为BC的中点，H为CD中点（1）求证：平面FGH平面BED；（2）求证：BD平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3)【解析】【分析】（1）由面面平行的判定定理证明即可；（2）由余弦定理可得BD=,得BDAD,因为平面AED平面ABD,平面AED平面ABD=AD,所以BD平面AED（3）先得到ABM即为所求线面角,由AD=1,AE=,DE=3,得cosADE=,即sin
19、,所以AM=ADsin,代入求出即可【详解】证明：（1）因为G、H为BC、CD的中点,所以GHBD且GH=BD,因为GH平面BED,BD平面BED,所以GH平面BED,又因为EFHD且EF=HD,所以FHED,因为,所以平面FGH平面EBD（2）因为AB=2,BC=AD=1,BAD=60,在中,由余弦定理可得BD=,所以BDAD,因为平面AED平面ABD,平面AED平面ABD=AD,所以BD平面AED（3）因为EFAB,所以AB与平面BED所成角,即为EF与平面BED所成角,由（2）知BD平面AED,所以平面BED平面AED,且平面BED平面AED=ED,所以过A作AM平面BED,垂足M落在DE上,连接BM,则ABM即为所求线面角,由AD=1,AE=,DE=3,得cosADE=,即sin所以AM=ADsin,因为AB=2,所以sin【点睛】考查了线线、线面、面面平行的性质和判定,考查余弦定理求角,考查线面所成的角
